概率方法在积分中的应用Word格式文档下载.docx
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b
W=[g（x）dx,
作线性变换y=（x-a）（x-b），即可化成［0,1］区间上的积分。
进一步若
则0乞f（y）<
1此时有
b1
W=ag（x）dx=So0f（y）dy+c（b-a），
其中$=2-a）（d-c）。
这说明以上方法带有普遍性。
二、广义积分计算
广义积分是高等数学中较难的概念之一，需要我们掌握其定义和相关性质。
在进行广义积分计算时，我们应选取简便且有效的方法。
对于广义积分，现有如下定义：
设函数f（x）在［a,•：
：
）有定义，并且对任意的A（Aa）在区间［a,A）上可
A
积，当极限limf（x）dx存在时，称这极限值I为f（x）在区间［a,，：
）上的广义
A—卉CLa
:
A:
积分。
记作.f（x）dx=llim…f（x）dx，这时也称积分.f（x）dx是收敛的，
aA■.aa
并且用记号：
f（x）dx表示它的值。
如果上述的极限不存在，称积分是发散
a
f（x）dx的，这时虽用同样的记号，但已经不表示数值了。
而含参变量的广义
积分，就是形如：
f（x,y）dx的积分，称为含参量y的广义积分。
在数理方程和
概率论中经常出现这种形式的积分。
对于广义积分的计算，我们有很多方法，比如说换元法，拉普拉斯变换，Fourier积分变换或丨函数的性质等很多方法，而对于一些特殊类型的广义积分的计算，我们还可以用概率论的有关知识。
在概率论中，有一些重要的分布，比如说正态分布，指数分布，丨分布等等，而关于这
些分布的数字特征均是关于概率密度函数的广义积分，例如，概率积分是标准正
态概率密度函数的广义积分，是很重要的积分之一，在概念论方面经常遇到，且有广泛应用。
下面通过一些实例，对概率论在特殊类型广义积分计算中的应用进行探索，并期望在这一探索中，领会出一些令人耳目一新的方法。
1.用概率论中的指数分布计算广义积分
7e~xxA0
定义1:
密度函数为p（x）=<
e,0,分布函数为
Q,xc0
1_e~'
摂x>
0
F（x）二，0这里■0，是常数，这个分布称为指数分布。
0，xvO
例2计算p（4x5x6）e^xdx
这个例题可以用广义积分的分部积分法直接求解，但要用到两次分部积分
法，并要求极限。
这里注意到被积函数中含有因式，刚好是参数为一2的
指数分布概率密度函数的一部分，故有，
[（4x2+5x+6）e，xdx=3f0_（4x^5^6）2e^xdx
2.利用概率论中的正态分布计算广义积分
1）利用正态分布的概率密度性质计算广义积分
定义2:
设X为连续型随机变量，若X的概率密度函数为
1Jx-u）2
f（x^,e2^，（4CX£
+2C），其中u，62为已知参数，则称X服从正态
分布，记作X~N（u,「.2）
概率密度具有规范性，即
⑴令X二I
t2
eT
上
e2dt
_O0
—（沁
⑵e4dx
JjoCi
此例中，⑴看作随机变量X~N（0,12）;
2看作随机变量X~N（3,、、22）。
通常微积分方法求解本例题比较困难，把被积函数看作或变换成某个正态分布的概率密度，再利用①式计算积分，则较为简单。
2）利用正态分布的期望定义计算广义积分
定义3:
设连续型随机变量的概率密度为f（x），若.…xf（x）dx绝对收敛,
则称此积分为X的期望，记作E（X）
对于正态分布X~N（u「2）可以证明EX=u，即有:
恳1一仝£
fx_—e2。
dx=u②
—（x-a）2
利用②式可以较为方便地计算'
xe2pdx型广义积分
■^）0
二2）2
例4计算广义积分（x-1）e6dx
__（xQ2Jx^4）2
原式二xe2（3*dx-'
e2（"
dx
¥
jqQ¥
（x/）2（X/）2
「^3,：
x土e"
dx-云-3；
揺
=.6-4一、、61=3'
、6二
本例中可看作随机变量，x~（4,0-3）2）这类广义积分一般用换元法比较麻
烦，而把被积函数看作或变换成某随机变量正态分布的期望表达式，则很容易求
解。
3）利用正态分布的方差定义计算广义积分
定义4设连续型随机变量的期望为E（X），概率密度函数为f（x），若
E（X-E（X））2存在x二，则称
-be
」x-E（xf]f（x）为xX的方差，记作D（X）
若X~N（u,s2），则可证明D（X）二S2，即有：
乂1亠啤
"
52亦°
dx"
2
由方差的定义可以推算出其计算公式D（X）二EX2-（EX）2，即有
EX?
二DXE2（X），于是对于正态分布有:
产dx=、2a2
分。
由③式知,
原式二2壬22
=8、2~
这类广义积分的计算一般需要换元法和分部法，是比较繁杂的，这里把所求积分变换成某随机变量正态分布的方差表达式，简化了积分计算。
3.利用丨分布求被积函数中含有三角函数的广义积分
对于被积函数含有三角函数形式的广义积分，可以借助概率论中特征函数的知识来判断积分的敛散性，并进行求值。
定理：
设X为服从概率密度为f（x）的随机变量，其特征函数为（t）[3]，■
为常数，则有广义积分：
-beEe"
x+Ee丛1
.cos■xf（x）dx二——=一[（'
）（」；
）]
22
说严一
sin'
xf（x）dx二————_[（，）_（-'
；
22i
证明：
由欧拉公式e'
=e（co^isin：
）可知，
i'
xi・x
e=coS-x十is^x，e=cos扎x—isin扎x，
故有
Eeix
Ee」'
x
Ecos■x
cos■xf（x）dx
J-od
E#x+E—sinx/s汕xfxdx
2i；
又由特征函数的定义，得e%=®
（财,（-九），即证
例6计算广义积分（cos■x）xe9x（：
»
1,“：
0）
因被积函数含有-分布密度函数的一部分，故
xe"
■
」i¥
才（JJ）]
（1）"
其中x为服从参数:
的丨分布的随机变量，其密度函数为
f（x）=p^T©
+1），八00）
f（x）二0,x：
可以考虑用
更进一步，如果遇到被积函数中为含有三角函数稍复杂的形势,
三角函数的积化和差等公式先降价处理，在进行计算，也可以简化计算
f—"
fxdx。
2b-aa
三、引进随机变量证明积分不等式
例7求证，当f（x）为［a,b］上的连续的下凸函数时,
1fxdx。
当f（x）为［a,b］上的连续的上凸函数时，fM
设连续型随机变量•的密度函数为:
丄，当a誉兰时，
Px产「0，其它，―
则E=xp（x）dx
b
Ef二.f（x）p（x）dx=Jaf（x）
b1.ab帛
xdx,而
ab-a2
丄dx=-b-ab-a
af（x）dx。
fE<
Ef（），
由引理1可知，当f（x）为［a,b］上的连续的下凸函数时,
兰丄ff（x）dx
2b_aa
当f（x）为［a,b］上的连续的上凸函数时
，fE-Ef（），即
fab1f（x）dx。
2b-aa
这两个不等式是数学分析中的两个重要积分不等式。
例8求证，对于可积函数f（x）,（f（x）>
0）,
af（x）dxfz（b-a$。
aaf（x）
令Ua,b,y二fx为严格整函数，则
=fi为正随机变量，考
察0,:
上的连续下凸函数fX二丄，对该函数运用引理1,得:
E1-
，从而EE--1，
b11b
XpxdXjfx£
dx二応J心，
b11
p（x）dx=〔dx=「
fxafxb-ab-aafx
b1dx，
1b
所以f（x）dx
b-aa
1b1dx_1，b-aafx
rbb
即afXdXafx
例9若f（x）与g（x）与a,b1上连续，则
b2b2b2
（[f（x）g（x）dx）（{f（x）dx）（[g（x）dx。
设随机变量•的概率分布F（x）及其概率密度函数p（x）分别为:
Qxya
F（x）二严,x
b—a
1,xb
b,blp（x）=」b-a'
i
0,else
•一2"
-21b2
Ef=Jf（x）p（x）dx二一Jf（x）dx,
则：
=b—「
g（）g（x）p（x）dxg（x）dx,贝V：
士b_aa
!
f（）g（'
）=.f（x）g（x）p（x）dx二
y」b—a
ria
f（x）g（x）dx,
由引理2知if（）g（）<
if2（）g2（）,把以上各式代入，即
af（x）g（x）dx乞af2（x）g2（x）dxag2（x）dx成
成立。
四、结束语
本文将概率的基本思想应用于证明和计算积分，通过以上的一些例子，使我们看到，概率论方法不仅在数学分析中能方便的应用，在其他的数学分支中也有其重要的应用。
运用概率的思想方法解决问题，其思想方法独特、简捷，这不但有利于揭示不同数学分支之间的内在联系，而且可以加强逆向思维能力的训练，从而有利于对知识的理解和掌握，为我们在今后的解题过程中提供了一种新的思虑，新的方法，有利于我们开阔视野，丰富想象，培养创新精神。
参考文献：
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高等教育出版社，2002年7月
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