交通红绿灯管制研究Scilab数学建模计算及分析文档格式.docx

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上图中，常规交通灯的绿灯亮状态（通行）顺序如左图所示。

其中，“1-2”表示1P和2P可以通过路口2通行；

“2-3”表示2P和3P可以通过路口3通行；

“3-4”表示3P和4P可以通过路口4通行；

“4-1”表示4P和1P可以通过路口1通行。

2.问题分析与模型的建立

2.1问题的简化与分析

A.在对实际的十字路口交通状况进行了分析之后，我们认为可以对十字路口进行如下的简化：

首先，车流量的堆积同路口的行人没有实质的联系，在此我们先舍去了行人的影响，即图1-2中的“1-2P,2-3P,3-4P,4-1P”即可舍去。

对大部分的十字路口而言，右转车辆一般直接放行，在这样的简化条件下，我们放弃考虑1R,2R,3R,4R的右转车流量而直接考虑路口的直行和左转车辆。

此外对于大多数的道路而言，在路口处都分为，左、直、右三道行驶，因此，在我们的模型中，将把左、直、右三个方向上的车流视为独立的事件，即这些车辆在十字路口处并不构成互相的干扰而独立行驶。

最后考虑到相对于整个红绿灯的交通周期，黄灯的时间较短且对整个交通的影响较小，因此我们在考虑问题时也忽略黄灯带来的影响。

B.对于交通拥堵的原因，我们进行了如下的分析：

交通的堵塞可以归结为3个原因，一个是由于激增的车流量超出的道路的承载力，从而导致堵车等现象，另一个则是因为道路行驶资源分布不均导致部分地区出现拥挤而部分地区没有的情况，最后则是由于道路维修、车祸等意外情况导致的道路拥挤。

最后一种情况非常容易理解，假设三车道的道路最大承载车流量为3A，那个在出现车祸等情况以后，占用的一个车道，则在事故地截面的承载力下降到2A，若道路上的车流量处于2A-3A之间，则在发生事故以后必将产生道路的阻塞。

但是对于红绿灯，我们默认其变化与周期是固定的，因此突发情况不再这个课题的讨论围之。

第一种情况的影响因素只有道路的承载力和激增的车流量本身。

即对于承载力为3A的道路来说，当车流量本身大于3A时，道路也必将堵塞。

想解决这个问题，就必将涉及到道路的加宽和车辆的限行等，这也不在这个课题的讨论围之。

对于第二种情况来说，交通红绿灯的意义就在于调控十字路口各方向上的车流量。

因此，在合理分配红绿灯时间的情况下，我们就能够较为合理的分配交通资源而尽量少的避免交通的阻塞。

2.2模型的建立和分析

A.现有模型的研究

已有的模型是建立在对交通路口的滞留车流的分析的基础上的，以较为简单的丁字路口为例：

丁字路口的车流示意如图所示，不考虑自行车和行人时,对于车流a2、b2和c2都不用加以管制.故我们将先讨论只对a1、b1、c1进行管制的情况.

1）记号

在i=1,2,3时分别为a1、b1、c1在遇到红灯后的停止车队尾部增长速度;

在i=1,2,3时分别为a1、b1、c1的绿灯时间;

在i=1,2,3时分别为a1、b1、c1的红灯时间;

定义交通周期的概念:

一个交通周期即在一个路口,所有的不可同时亮的绿灯依次亮一

遍所需要的总的时间.例如在丁字路口模型中,一个交通周期是

记作T.

2）模型的分析

a1、b1、c1两两相冲突,在某段时间有且只有其中的一条车流通行;

对于某一条车道

而言,红绿灯循环交替.故若不考虑黄灯,我们有

以车流a1为例,在一个交通周期,积累的车队的最大长度约为

对于车流b1、c1的分析也同理.故一个交通周期积累车队的总最大长度为

单位时间路口积累的车队最大长度为

我们的目标是在一定约束条件下求

在这样的模型下，通过给定车的滞留速率U1,U2,,U3，求解目标函数f。

即可得到红绿灯时间的比值，根据现有的经典交通周期，就可以将比值转化为实际的红绿灯亮灯时间。

（同样的方法也可以用于十字路口的求解，只是略微复杂）

B.改进模型的建立和分析

对于上述模型，其求解的关键就在于车的滞留速率U的取值，它和车流量具有同样的实际意义。

事实上，车流量在一天中的各个时段会有明显的变化，尤其是在早晚上下班的高峰时期，此时的车流量远大于平时的车流量。

因此U的取值将直接决定结果的合理性。

而对于U来说，如何根据时间或者统计学规律去确定其大小将带来很大的难度以及结果的不确定性。

对此，我们对模型进行了如下的改进：

1..鉴于上述模型的主要问题是，瞬时表达式f中的U难以取值。

我们将模型时效性延长来使其具有统计意义。

具体的：

我们研究车流高峰时段，孤立交通十字路口的车流量变化（如图）。

，于ANN的时量、其四条曲线分别为（假设南北向为主要车流方向）南北向直行车流量C1，南北向左拐车流量C2，东西向直行车流量C3，东西向左拐车流量C4（我们考虑过模拟现实车流变化，将高峰时期车流量表示成正态分布的曲线，但是考虑到计算的复杂性，我们最终采用了这样的一种简单的模拟函数）。

2.在十字路口的一个交通周期，南北方向直行，左拐，东西方向直行，左拐的车流分别随着其方向上绿灯的亮起独立通过，且占满整个交通周期。

我们用平均1MIN，以上四个方向上的绿灯平均亮的时间分别为T1,T2,T3,T4。

这里在假设，绿灯期间，每秒中能有1辆车通过十字路口。

此时T1,T2,T3,T4还表示了，每分钟以上四个方向平均通过十字路口的车流量。

因为我们研究的是整个高峰时段的车流量变化，因此我们不必研究期间的每个红绿灯周期，而是用总体的平均值去加以替代。

将这一点表现在图上，则如图。

四条与X轴平行的直线分别为Y=T1，Y=T2，Y=T3，Y=T4，T1+T2+T3+T4=60其意义就是该十字路口放行车流的能力，即在该方向上通过的车流量。

阴影部分就分别表示了在C1方向上，车流由于高峰期而导致的堆积以及之后的逐渐疏通。

3.交通灯的目的就在于平衡各个道路的运载能力，在高峰时期的个时刻t,如图，我们能够得到C1,C2,C3,C4方向上的堆积车流S1,S2,S3,S4。

我们的目的就是要平衡交通资源从而让S1,S2,S3,S4尽量小。

在这里，Si（i=1,2,3,4）可能出现负数，即这个方向上的车流已经畅通。

但是显然，这时候还有道路在拥堵，这就不满足道路资源的最优分配。

因此我们设计目标函数F（T1,T2,T3,T4）=S1*S1+S2*S2+S3*S3+S4*S4,其中T1,T2,T3,T4为变量，通过调节红绿灯，我们的目标就是MINF（T1,T2,T3,T4）。

3.目标函数的建立和问题的求解

根据上述分析，我们可以得到：

分析对应的一个车流量曲线，其他的三种情况可以同样的方法得出而具有普遍性。

如下所示，我们所要求的即为S+和S-的面积之差。

故有：

S+=0.5*（A-T）*（Dt+Dt+2*（A-T）/k）=（A-T）*（Dt+（A-T）/k）=（A-T）*（A-T）+Dt*（A-T）

S-=0.5*（T-B）*（T-B）/k

从而可以得到目标函数

S（T）=（S+）-（S-）=0.5*T*T/k+（（B-2A）/K-Dt）*T+（A*A-0.5B*B）/k+Dt*A

上式中各参数意义：

A高峰期的最大车流量；

B日常车流量；

Dt高峰时期最大车流量持续时间；

k高峰来临时车流量的增加速度，T实则为vT,v为通行时的车辆疏散速度，在此我们假设v=1,j即每单位时间通过一辆车，则，vT变为T。

为了简化，我们假设各种情况下车流高峰来临时间相同，故可以得到其余交通路线的滞留车流量S1,S2,S3,S4。

在实际情况下，T1,T2,T3,T4的分配不能只根据平时车流量比例来决定，在高峰时期，假定南北向为主要交通流量方向，则高峰时段，南北直行的车流增量将远大于其它三条线路（南北向左拐，东西向直行，东西向左拐）的车流增量。

此时我们需要在根据平时的交通流量建立的红绿灯模型基础上，增加南北向直行的绿灯时间，同时减少其他三个方向上的绿灯时间来调配交通资源。

一般意义上的交通高峰时期是17-19点，我们研究19点时的交通状况，即t=19。

考虑到T1+T2+T3+T4=60，我们用60-T2-T3-T4来替换T1。

这样最终的目标函数就可以表示为：

F（T2,T3,T4）=S1（T2,T3,T4）*S1（T2,T3,T4）+S2（T2）*S2（T2）+S3（T3）*S3（T3）+S4（T4）*S4（T4）

运用PSO工具箱进行求解，分别设定

A1=32,B1=14；

A2=14,B2=7；

A3=12,B3=7；

A4=10,B4=7；

Dt=60；

k1=0.6,k2=0.2,k3=1/6,k4=2/15；

T2,T3,T4的取值围是7至12；

利用PSO工具箱求得：

T2=12,T3=11,T4=9时，T1=28，Fmin=19764.27。

一般的红绿灯总周期为120S,此时南北向前行，南北向左拐，东西向前行，东西向左拐的绿灯时间分别为：

56S,24S,22S,18S，较符合实际情况。

4.总结

交通灯的管制问题一直是大家讨论和研究的焦点，这次我们通过对交通高峰时期的车流进行研究，在前人的模型基础上改进并由此得出了考虑高峰时期的最佳交通资源分配的红绿灯模型。

我们的模型还有很多的不足和值得改进之处，但是相信通过这个学期对数学建模课的学习和这次建模作业而培养出来对建模的兴趣，以及独立思考，创新的能力，将会给我们未来的学习和工作带来极大的帮助。

附录：

利用PSO工具箱求解函数

A1=32,B1=14,

A2=14,B2=7,

A3=12,B3=7,

A4=10,B4=7,

Dt=60,

k1=0.6,k2=0.2,k3=1/6,k4=2/15;

functiony=fit（Swarm）;

[sizeSwarm,dim]=size（Swarm）;

swarm1=Swarm（:

1）;

swarm2=Swarm（:

2）;

swarm3=Swarm（:

3）;

y=（0.5*（60-swarm1-swarm2-swarm3）^2/k1+（（B1-2*A1）/k1-Dt）*（60-swarm1-swarm2-swarm3）+（A1^2-0.5*B1^2）/k1+Dt*A1）^2+

（0.5*swarm1.^2/k2+（（B2-2*A2）/k2-Dt）*swarm1+（A2^2-0.5*B2^2）/k2+Dt*A2）^2+

（0.5*swarm2.^2/k3+（（B3-2*A3）/k3-Dt）*swarm2+（A3^2-0.5*B3^2）/k3+Dt*A3）^2+

（0.5*swarm3.^2/k4+（（B4-2*A4）/k4-Dt）*swarm3+（A4^2-0.5*B4^2）/k4+Dt*A4）^2;

endfunction

参考文献

[1]华年.交通灯数学模型.数学的实践与认识.2006年第5期36卷

[2]阮晓青，周义仓.数学建模引论.高等教育