江苏省南京师范大学附属中学学年高一第一学期期中考试数学试题及答案Word文件下载.docx

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x-1

B.f（x）=

D.f（x）=x

g（t）=（

g（t）=

t）2

7.已知实数a>

0,b>

0，且1+1

=1，则a+2b的最小值为（）．

A.3+2

x3

ab+1

B.2+1

C.4D.3+35

22

8.函数f（x）=x2-1的图像大致为（）．

ABCD.

求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9.设集合A={xx2-2x=0}，则下列表述不正确的是（）．

A.{0}∈A

B.2∉A

C.{2}∈A

D.0∈A

10.下列四个条件中，能成为x>

y的充分不必要条件的是（）

A.xt2>

yt2B.xt>

yt

C.x>

y

D.0<

1<

1

xy

11.下列命题中是真命题的有（）．

A.若函数f（x）在（-∞,0]和（0,+∞）上都单调递增，则f（x）在R上单调递增；

B.

⎨0,x为无理数

狄利克雷函数f（x）=⎧1,x为有理数在任意一个区间都不单调；

⎩

C.若函数f（x）是奇函数，则一定有f（0）=0；

D.若函数f（x）是偶函数，则可能有f（0）=0；

12.已知a>

1，b>

1，且ab-（a+b）=1，那么下列结论正确的有（）．

A.a+b有最大值2+2B.a+b有最小值2+2

C.ab有最大值+1D.ab有最小值2+3

三、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

⎧0,x>

13.已知f（x）=⎪-1,x=0

⎪3x-2,x<

，则f（f（f（6）））=．

14.已知函数f（x）=ax5+bx3+c+7，f（-3）=5，则f（3）=．

x

15.某水果店申报网上销售水果价格如下：

梨子60元/盒，桔子65元/盒，水蜜桃80元/盒，荔枝90元/盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：

一次性购买水果总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80%.

①x=10时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即70%），则x的最大值是．

16.f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）=f（x）-2x2在区间[0,+∞）上是增函数，则不等式

f（x+1）-f（x+2）>

-4x-6的解集为．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上

17.（本小题满分10分）

2

已知a,b均为正数，证明：

a+b≥a+b．

ba

18.（本小题满分12分）计算：

-1

⑴eln2+⎛4⎫2+5-32；

⎝⎭

23

⑵（lg2）2+lg5⋅lg20+log3⋅log4．

19.（本小题满分12分）

已知二次函数f（x）的值域为[-4,+∞），且不等式f（x）<

0的解集为（-1,3）．

⑴求f（x）的解析式；

⑵若对于任意的x∈[-2,2]，都有f（x）>

2x+m恒成立，求实数m的取值范围.

20.（本小题满分12分）

某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一DC

块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建花圃，规定ABCD的每条边长不超过20米．如图所示，要求矩形区域EFGH用来种花，且点A,B,E,F四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域．设AB=x米，种花区域EFGH的面积为S平方米．

⑴将S表示为x的函数；

⑵求S的最大值．

21.（本小题满分12分）已知集合A={y|y=

4x-x2}，集合B={x|x2-x+a-a2<

0}．

⑴若AB=A，求a的取值范围；

⑵在AB中有且仅有两个整数，求a的取值范围．

22.（本小题满分12分）

设f（x）=x+a（x>

0，a为大于0的常数）

⑴若f（x）的最小值为4，求a的值；

⎣

⑵用定义证明：

f（x）在⎡

a,+∞）上是增函数；

⑶在⑴的条件下，当x>

1时，都有f（x）>

m-m+1恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】A；

【解析】由补集定义知选A．2.

【答案】B；

【解析】因为{1}是{xx2-5x+4=0}的真子集，所以“x=1”是“x2-5x+4=0”的充分不必要条件．

3.

【答案】C；

【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选C．4.

【解析】由（x+x-1）2=x2+x-2+2=5，知x+x-1=±

5.

【答案】D；

5，故选C．

【解析】当x<

0时，f（x）=1单调递减，范围为（-∞,0），当0≤x≤3时，f（x）=2x-x2在[0,1]上单调递

增，在[1,3]上单调递减，范围是[-3,1]，所以函数值域为（-∞,1]，故选D．

6.

【解析】A选项，f（x）=x，故错误；

B选项，定义域不同，故错误；

C选项，定义域不同，故错误；

D选项，是同一函数，故选D．

7.

【解析】a+2b=a+2（b+1）-2=⎛1+1⎫⎡a+2（b+1）⎤-2=3+2（b+1）+a-2≥22+1，当且仅当

a=1+

8.

2且b=

ç

ab+1⎪⎣⎦

2时等号成立，故选B．

ab+1

【解析】f（x）定义域为（-∞,-1）（-1,1）（1,+∞），是奇函数，当x→+∞时，f（x）→+∞，故选A．

【答案】ABC；

【解析】A={0,2}，故选ABC．10.

【答案】ACD；

【解析】A选项，若xt2>

yt2，则t2≠0，则x>

y，反之不成立，A正确；

B选项，当t<

0时，x<

y，B错误；

C选项，若x>

y，由y≥y，则x>

y，反之不成立，C正确；

D选项，f（x）=1在（0,+∞）单调递减，若0<

1，则x>

y，反之不成立，D正确；

xxy

故选ACD．

11.

【答案】BD；

【解析】A选项，若f（x）=⎧

x,x≤0

是一个反例，A错误；

12.

⎨lnx,x>

B选项，在任意区间I上总可以取x1,x2∈Q，使f（x1）=f（x2），则f（x）在I上不单调，B正确；

C选项，f（x）=1是一个反例，C错误；

D选项，f（x）=x2符合要求，D正确；

故选BD．

【解析】法一：

令a+b=s,ab=t，由题意可得s>

2,t>

1，t-s=1，

由基本不等式s≥2t，

则t-1≥2

，由t>

1可得t2-2t+1≥4t，则t≥3+2

，a=b=

2+1取等；

s≥2

s+1，由s>

2可得s2-4s-4≥0，则s≥2+2

故选BD；

法二：

由ab-（a+b）=1可得（a-1）（b-1）=2，令m=a-1>

0,n=b-1>

0，

则a+b=m+n+2≥2+2

=2+2

，m=n=

2取等；

ab=（m+1）（n+1）=mn+m+n+1=3+m+n≥3+2

故选BD．

【答案】-5；

【解析】f（f（f（6）））=f（f（0））=f（-1）=-5．

14.

【答案】9；

【解析】f（3）+f（-3）=7+7=14，所以f（3）=14-5=9．

15.

【答案】130；

15．

【解析】①60+80-10=130；

②由题意可知，购买总价刚好为120元时，折扣比例最高，此时有0.8⨯（120-x）≥0.7⨯120，

解得x≤15．

16.

【答案】⎛-∞,-3⎫；

2⎪

【解析】由f（x）为偶函数，可知g（x）也为偶函数，且在R上先减再增，由f（x+1）-f（x+2）>

-4x-6，

可知f（x+1）-2（x+1）2>

f（x+2）-2（x+2）2，即g（x+1）>

g（x+2），

可知x+1>

x+2，解得x<

-3.

17.

【答案】详见解析．

由基本不等式可得，

b++a≥2

a

⨯b+2

=2（a+b），

bab

⎧a2=

当且仅当⎪b

b2

=

⎩a

则原式得证．

b

，即a=b时取等，

法二：

ç

⎪（a+b）=a

2+b2

+a3+b3

⎝ba⎭ba

由a>

0，可得a+b>

0，b0,a>

0，ab>

ab

⎛a2

则ç

+

⎪（a+b）≥a

2+b2+2

=a2+b2

+2ab=（a+b）2，

⎝ba⎭

由a+b>

0可得a+b≥a+

a2b2

a2-b2

b2-a2

（a-b）（a2-b2）（a-b）2（a+b）

法三：

+-（a+b）=+==，

babaabab

0可得a+b-（a+b）≥0即a+b≥a+b．

baba

18.

【答案】⑴3；

⑵3．

【解析】⑴

eln2+⎛4⎫2+

=2+3-2=3；

⑵（lg2）2+lg5⋅lg20+log3⋅log4=（lg2+lg5）2+2=3．

19.

【答案】⑴

f（x）=x2-2x-3；

⑵

m<

-7．

【解析】⑴设f（x）=ax2+bx+c，由题意可知：

⎧f（-1）=a-b+c=0

⎧a=1

⎪f（3）=9a+3b+c=0，解得⎪b=-2，即f（x）=x2-2x-3；

⎪f

（1）=a+b+c=-4

⎪c=-3

⑵m<

x2-4x-3对x∈[-2,2]恒成立，令g（x）=x2-4x-3，

当x∈[-2,2]，可知g（x）∈[-7,9]，

故m<

20.

S=102-200-x（5≤x≤20）；

⑵S的最大值为102-202．

【解析】⑴因为AB=x，

所以AD=100，EF=x-2，FG=100-1；

xx

所以S=（x-2）⎛100-1⎫=102-200-x

x⎪x

因为0<

x≤20,0<

100≤20，解得5≤x≤20，所以S=102-200-x（5≤x≤20）；

⑵S≤102-2

=102-20

，当且仅当x=102时取等

所以S的最大值为102-202．

21.

【答案】⑴0≤a≤1；

⑵[-1,0）（1,2]；

【解析】⑴因为A

所以B⊆A，

因为4x-x2≤4，所以A=[0,2]；

集合B的不等式可化为（x+a-1）（x-a）<

①B=∅，即∆≤0，解得a=1，符合；

②B≠∅，即a≠1时，此时0≤a≤2,0≤1-a≤2，解得0≤a≤1且a≠1；

综上0≤a≤1；

⑵集合A中有三个整数0,1,2，B={x|（x-a）（x+a-1）<

0}；

由AB中有且仅有两个整数，可得B中有0,1,2中的两个整数；

a<

1-a即a<

1时，B=（a,1-a），

则B中整数仅有有0,1或仅有1,2，

若仅有0,1，则-1≤a<

0,1<

1-a≤2，解得-1≤a<

0；

若仅有1,2，则0≤a<

1，2<

1-a≤3，无解；

a=1-a即a=1时，B=∅，不满足题意；

a>

1-a即a>

1时，B=（1-a,a），

若仅有0,1，则-1≤1-a<

a≤2，解得1<

a≤2，若仅有1,2，则0≤1-a<

a≤3，无解；

综上，实数a的取值范围是[-1,0）（1,2]．

22.

【答案】⑴4；

⑵证明见解析；

⑶

【解析】⑴由基本不等式f（x）≥2

2

+2．

当且仅当x=

解得a=4；

⑵任取x1,x2∈⎡

a时取等，所以2=4

a,+∞），设x1<

x2，

f（x）-f（x）=（x-x）+

a（x

-x）=（x

-x）x1x2-a，

xxxx

1212

因为≤x1<

x2；

2112

1212

所以x1x2>

a,x1x2-a>

0，又因为x1-x2<

所以f（x1）-f（x2）<

所以f（x1）<

f（x2）

所以f（x）在⎡

a,+∞）上是增函数

得证；

⑶原不等式可化为x2+4>

mx-m-1

x2+56

即m<

=x+1+

恒成立

因为x+1+

6

=x-1+

+2≥26+2，

当且仅当x-1=即x=1+

6时取等

所以m<

2+2．