概率统计习题册答案Word文档下载推荐.docx
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l000
XL丿
小（1一）=
P（Y_2）=1_P（Y：
2）=1_[p（Y=0）P（Y=1）；
=1_（-）5C5（-）（^）4
[333,
4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。
当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下，该制品便被视为失效。
制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量，记为X。
多数情况下，可以认为X服从指数分布。
设它的概率密度函数为：
0,X£
0
f（x）=」d（X的单位为月）
Me®
xK0
（1）从一批产品中抽取样品，测得有50%的样品有效期大于34个月，求参数■的值。
（2）若一件产品出厂12个月后还有效，再过12个月后它还有效的概率有多大？
r11—e_'
xx启0
指数分布的分布函数为F（x）=p{XEx>
=」-
.0xcO
2
5、设K在（-1,5）上服从均匀分布，求x的方程4x4KxK^0有实根的概率。
要想x有实根，则人.=B2-4AC=16K2-16K2-0则K-2或者K匕-1,
A
又因为K~U-1,5，所以P^'
。
三、分布函数、密度函数的题目
1、
x设随机变量X的分布函数为F（x）={A+Barcsin—
（1）求系数A，B；
（2）求P<
—
求x的分布密度。
ji
AB=0
Tt
AB=12
aa
（2）P-2X2^F
（3）因为f（x）=F（x），
■i3
则f（x）七
x：
a
2、
设随机变量X的分布函数为
求：
（1）常数A,B；
（2）P0*昙；
i3J
（3）X的密度函数
（1）由分布函数的右连续性知:
F丨—a=0=limFx=limABarctan
xya*x>
a'
a
Fa=ABarctanAB=limFx=1I.a4
AB=1
，所以4=
兀
AB=0
I.4、
A1
A=-
2；
B，
71
（2）P0：
X:
:
-F0i；
J；
3
（3）f（x）=Fx二二
2a
a2x2
一a：
x：
o
0,
其它
0,x<
I2
3、设随机变量X的分布函数为Fx]=?
Ax,0：
x<
1,
1,x"
（1）常数A；
（2）PfO.3：
X：
0.7?
;
（3）X的密度函数fx。
（1）由分布函数的右连续性知：
F11=A=limFx二1，所以A=1；
（2）
P〈0.3：
0.7；
=F0.7-F0.3=0.4;
「2x,
0：
x:
1
（3）
f（x）=Fx0
L0,
其它。
x2
广x2、
A+Be^
=A=1故B=-1F（x）=*
<
j
limFx=lim
X1：
：
x）
-
1-厂
⑶X的密度函数为
5、设连续性随机变量X的分布函数为
F（x]A『
10,
x0
x—0.
X的密度函数fx。
（1）常数A,B;
（2）P{-1：
X<
1}；
⑶
（1）由分布函数的右连续性及性质知:
F10=O=limFix=limA■Be'
=A：
；
■Bab0
「5，所以［A+b=0
F：
"
巳im：
Fx=A'
（2）P「_1：
x:
n-F1-F-1=1—e，；
Xc1
6、设随机变量X的概率密度函数为f（x）=R1-x2,
、0,x釘
⑴求常数A；
（2）求P「-0.5：
O.5f；
（3）求X的分布函数。
x-41x11
当X1时FX=JW.Jtdt」tdt1ftdt「二匚x2dt「
0x兰-1
11
所以Fxarcsinx-1：
x空1
2兀
7、设连续型随机变量
X的密度函数为
acosx,
x<
x
1系数a；
2X的分布函数;
3P0：
X：
I4J
-be
（1）由1二f（x）dx-
2_acosxdx=asinx
⑵Po：
兀〕孑11-4
c—,=[4—cosxdx=—sinx0
4J沧220
xx1
（3）F（x）f（t）dtcostdt
二2
1
K
-—
jiji
-—_x：
—
22
x-
sinx1
一一
jijt
_x：
Ax2,
0exc1
&
设随机变量X的密度函数为
f（x）=」
…、，
1.0,
「1
（1）常数A；
pq-1<
X£
丄
（3）X的分布函数F（x）。
12
4
（1）由1
12x1
二f（x）dx=0Axdx二A30
A=3；
（2）P丄：
X
3x2dx=x3
64
xx2
（3）F（x）「一f（t）dt二03tdt,
qI0
0空x:
x3,
1,
0乞x:
x_1
9、设随机变量X的密度函数为
0.x:
其它，求
（1）常数A;
（2）P—0.5：
0.5?
（3）X
的分布函数Fx。
（1）
由1「：
f（x）dx「；
Axdx加
pm"
x：
o.5,gdx
F（x）=J（t）dt=.02tdt,
0三x:
二x2,
X_1
四、变一般正态为标准正态分布求概率
1、调查某地方考生的外语成绩X近似服从正态分布，平均成绩为72分,
96分以上的占考生总数的2.3%。
试求：
（1）考生的外语成绩在60分至84分之间的概率；
（2）该地外语考试的及格率；
（3）若已知第三名的成绩是96分，求不及格的人数。
（G1=0.8413,G
（2）=0.977）
依题意，X~N（72,；
「2）且P〈X_96l=0.023
0.023=1—Pfx空961“_：
＞（）查表得一-12
CF
（1）P〈60zX^84.；
=2：
」
（1）—1=0.6826
（2）P「X_60?
-；
」
（1）=0.8413
2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布N65,100，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩
为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。
［述〔2=0.9772
依题意，X~N（65,100），85分以上学生为优秀，则
X—6585—65
pfx_85；
=1-P「X：
85；
=1-P—:
—=1-：
」2=1-0.9772=0.0228=2.28%
I1010J'
'
所以优秀学生为2.28%。
3、设某工程队完成某项工程所需时间X（天）近似服从N（100,5）。
工程队上级规定：
若工程在100
天内完工，可获得奖金7万元；
在100~115天内完工可获得奖金3万元；
超过115天完工，罚款4万元。
求该工程队在完成此项工程时，所获奖金的分布律。
（参考数据：
」3=0.9987:
」0=0.5）
p{Y=/}=p{X>
115}=1—①W°
°
〕=1-①（3）=0.0013
I5丿
P（Y=3}=P「100：
X叮15—；
」3]©
「0二0.9987—0.5=0.4987
-4
P：
Y=7；
=0.5
所以，可获奖金Y的分布律为
4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高X~N170,62，
问车门的高度应如何确定？
（门2.33=0.99）
设车门的高度为x厘米，则
f,「X—卩x—S「X—170x—170】亠,
P1X乞x；
=P-xp<
_1一0.01=0.99，:
'
2.33=0.99
J“-IJ66
x_170
所以2.33,x:
183.98。
即车门的高度至少要183.98厘米。
6
5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高X:
N168,72，
（门2.33计0.99）
X」xX-168x-168
P.X-xPP1-0.01二0.99，
.二二.77
门2.33=0.99所以xT68=2.33,x:
184.31。
即车门的高度至少要184.31厘米。
6、某地区18岁的女青年的血压（以mm-Hg计）服从N（11Q102），在该地区任选一18岁女青年，测
量她的血压X。
（1）P（X<
105）
（2）P（100<
120。
（①（0.5）=0.66，①
（1）=0.8413）
（1）P（X乞105）-门（105-110）_：
.：
」（一0.5）=1-：
」（0.5）=1-0.6915=0.3085
10
+下120—110下100—110下下
P（100：
X乞120）八」（）~'
\）=：
」
（1）一j（T）
1010
=2^
（1）-1=20.84131=0.6826
五、数学期望、方差的题目
1x,一1_x：
1、设随机变量X的概率密度为：
f（x）=*1_x,0兰x兰1,卩，其它
E（X）,D（X）
01
EXxfxdx=」x1xdx亠|x1-xdx=0
xdxJ
22022
EX=xf（x）dxx1xdx°
x21-
所以DXX2—EX=丄
2、一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布,
1上二1-
-1001e4dx1100;
e4dx
EY二EgXgxfxdx「0
3、假设有10只同种电器兀件，其中有两只废品，从这批兀件中任取一只，如是废品则扔掉重取一只，如仍是废品则扔掉再取一只，求：
在取到正品之前，已取出的废品数的期望和方差。
设X为取到正品之前已取出的废品数，贝UX的分布为
片的号码之和，求EX
设Xm表示第m次取出的号码，则Xm的分布律为
P、Xm=i,i=1,2,…n,m=1,2…k，
n
所以EXj二'
丄二n-，X=X1X2Xk，
yn2
n+1
则EX二EX1X2Xkk
布函数；
（3）EY2
EY2=DYE2Y二npqn2p2
6、某车间生产的圆盘直径在区间a,b服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。
ax:
b
所以
7、某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量X（吨）服从区间［0,5］上的均匀分布•这种产品生产出来后，在市场上每售出1吨可获利6万元。
如果产量大于需求量，则每多生产1吨要亏损4万元.如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分产品能获利。
问：
为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量a应该定为多少吨？
150vxv5解：
因为X〜U（0,5）,X的概率密度为f（x）=
设Y为该厂每月获得的利润（单位：
万元），根据题意
f6X—4（a—X）=10X—4a丫二g（x）：
6a
当X^a时
当Xa时
该厂平均每月利润为:
E（Y）二E（f（X））二
[f（x）g（x）dx
a10x「4a
）5
?
6a,
dxdx
5
2a——+
5
c2
6a2
6a—二6a-a。
由空」@d"
-2a=0dada
可解得
（吨）。
可见，要使得每月的平均利润达到最大,
月产量应定为
3吨。
2,
2_x_4,
其他.
ax,
8、设随机变量X的概率密度为f（x）=*cx+b,
、0,
已知E（X）=2,P（1：
3）=
（2）随机变量丫二eX的数学期望。
2（cxb）dx
（1）a,b,c的值；
（1）1-
■be
f（x）dx二oaxdx
2cx
02
4-bx
-2a2b6c,
.:
.xf（x）dx二
224856
0axdx亠12（cxb）xdxac6b
33
1axdx
35
（cxb）dxacb,'
222
f
a+b+3c=_
解方程组
8a18b56c=6二
3a2b5c=
a=—
b=1;
c=—
L.4
E（Y）二E（eX）=_exf（x）dx二xexdx（x1）exdx（e2-1）2
■--0■2
9、设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工
作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障可获利润5万元，发生两次故障获利0万元,发生三次或三次以上故障则亏损2万元，求一周内的利润期望。
设一周5个工作日内发生故障的天数为X，则X~B5,0.2，设T为一周内获得的利润，
则T为离散型随机变量，其所有可能取
值为10,5,0,-2（万元）其分布律为：
p[T=10；
=p「x=0.；
=C00.20.85=0.328
p{T=5}=P{X=1}=C；
x0.21x0.84=0.410
p：
T=0}=P：
X=2；
=d0.220.8^0.205
P^T二二plx_3：
，1-Ct=10.；
-「T=5?
-汁=0}=0.057
即可获利润T的分布律为：
T
-2
p
0.057
0.205
0.410
0.328
E（T）=-20.05700.20550.410100.328=5.21&
六、点估计（矩估计和极大似然估计）的题目
其他
4、设总体X具有分布律
日2
20（1_日）
（1-日）2
（日+1）xe
2、已知随机变量X的密度函数为f（X）=丿
.0
其中二为未知参数，求二的矩估计量与极大似然估计量。
3、设总体X概率密度为fwO：
1"
其他X<
1，其中。
为未知参数，Xi,X2，…，Xn为总体的
一个样本,X1,X2,…，Xn是样本值，求参数二的矩估计量和极大似然估计量。
其中二（0十：
1）为未知参数，已知取得了样本值X1=1,X2=2,X3=1。
试求二的矩估计值和极大似然估计值。
I"
5、设总体X的密度函数为：
f（x）=」$e1X>
■0，其中日>
0为未知参数
[0,X"
X1,X2/,Xn是来自总体X的样本，求参数二的矩估计量和极大似然估计量。
Ocx<
1—「亠一厶,,
6、设X1,X2^,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数f（x）=
（其中未知参数
10,
0>
0），x1,x2^-,xn是样本值，求参数P的矩估计量和最大似然估计量。
n—/X
扎e,
x>
7、设X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数f（x）=<
其中未知参数’・0，X1,X2,…，Xn是样本值，求参数，的矩估计量和最大似然估计量。
A（日+1）（x-5）5£
x£
6.
已知随机变量X的密度函数为f（x）=」亠…（日A—1），
0其他
其中T为未知参数，设X1,X2-,Xn为总体的一个样本，x1,x2^,xn是样本值，求参数V的矩估
计量和极大似然估计量
七、区间估计
1、为考察某大学成年男性的胆固醇水平，现抽取了样本容量为25的一个样本，并测得样本均值为X=186,样本标准差为s=12。
假定胆固醇水平X~N（」,；
「2）,」与匚2均未知,求总体标准差二的置信度为
90%勺置信区间。
（瞪。
5（24）=36.415,3095（24）=13.848）
2、设某异常区磁场强度服从正态分布N（・i,；
「2），现对该地区进行磁测，今抽测16个点，算得样本均值
X-12.7,样本方差s2=0.003,求出匚2的置信度为95%的置信区间。
参考数据：
（瞪025（15）=27.5,瞪975（15）=6.26,汛25（16）=28.845,瞪.975（16）=7.564）
3、某单位职工每天的医疗费服从正态分布N（巴/），现抽查了25天，得2=170,s=30求职工每天
医疗费均值」的置信水平为0.95的置信区间。
（10.02524-2.064t°
.0524-1.711）
4、某超市抽查80人，调查他们每月在酱菜上的平均花87费，发现平均值为X=5.9元，样本标准差S=1.2
元。
求到超市人群每月在酱菜上的平均花费J的置信度为95%的区间估计。
（t0.025（8^_1）U0.025-1.96,t0.05（80_1），＞U0.05-1.65）
5、随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11ms，设炮口速度服从正态分布，求
这种炮弹的炮口速度的标准差二的置信度为0.95的置信区间。
2222
0.975（8）=2.18,0.025（8）=17.535,。
.975（9）=2.7,0.025（9）=19.023
6、从某商店一年来的发票存根中随机抽取26张,算得平均金额为78.5元,样本标准差为20元。
假定发
票金额服从正态分布，求该商店一年来发票平均金额的置信度为90%勺置信区间。
（t°
.05（25）=1.7081如5（26）=1.7056,如25（25）=2.0595,如25（26）=2.0555）
八、假设检验
1、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取25位考生的成绩，算得平均成绩为亲=66分，
标准差s=20分，问在显著性水平〉二0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为71分？
并给出检验过程。
t0.025（24）=2.0639，t0.05（24）=1.7109）
2、机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，要求每袋盐的标准重量为500克。
某天开工后，
为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机取9袋，测得样本均值x=499,样本方差
S16.03.问这天自动包装机工作是否正常（〉=0.05）？
10.0258=2.
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