全等三角形的相关模型总结汇总文档格式.docx
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图9
练习七：
如图10,D、E、F分别是△的三边上的点，，且△的面积与△的面积相等，求证：
平分/。
2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现
延长交射线于F辅助线：
过点E作//射线
（1）.例题应用：
①•如图1所示，在△中，/3/C,是/的平分线，丄于F。
1求证：
BE（AC-AB）
2
证明：
延长交于点F。
②•已知：
如图2，在从BC中，NBAC的角平分线AD交BC于D,且AB=AD,
1
作CM_AD交AD的延长线于M.求证：
AM（ABAC）
ti
图2
而此题突破口就在于,
分析：
此题很多同学可能想到延长线段，但很快发现与要证明的结论毫无关系。
由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.
_FB于N.
过点C作//交的延长线于点E.
例题变形：
如图1=Z2,B为AC的中点，CM丄FB于M,AN
⑶.模型巩固:
D,垂直于，交的延长
练习一、如图3,A是等腰直角三角形，/90°
平分/交于点线于点E。
2。
练习一变形：
如图4,在△中，ND=90°
EC是/DCO的角平分线，且OE丄CE
过点E作EF_OC交OC于点F•猜想：
线段EF与OD之间的关系，并证明
练习三、如图6，丄，丄，E是上一点，平分/，平分/，求证：
点E是中点。
练习四、①、如图7（a），BD、CE分别是也AC的外角平分线，过点A作AD丄BD、
AE_CE，垂足分别是D、E,连接DE.求证:
DE//BC,DE=?
（ABBCAC）
②、如图7（b）,BD、CE分别是心AC的内角分线其条件不变
③、如图7（c）,BD为AABC的内角平分线，CE为AABC的外角平分线，其他条件不变.则在图
7（b）、图6（c）两种情况下，与还平行吗？
它与MBC三边又有怎样的数量关系？
请写出你的猜测，
并证明你的结论.（提示：
利用三角形中位线的知识证明线平行）
练习五、如图8，在直角三角形ABC中，/C=90，乙A的平分线交BC于D.自C作CG_AB交AD于E，交AB于G•自D作DF_AB于F，求证：
CF_DE.
且交AD的延长线于F，求证MFAC_AB.
练习六变形一：
如图
10所示，AD是.ABC中.BAC的外角平分线，CD_AD于D,E是BC的中
、1
点，求证DEIIAB且DE（AB-AC）.2
图10
图11
练习七、如图12,在ABC中，.B=2C,■BAC的平分线AD交BC与D.则有ABB^AC.那么如图13,已知在ABC中，.ABC=3.C,.1=2,BE_AE.求证：
AC-AB=2BE.
图12图13
求证:
练习八、在△ABC中，AB=3AC,.BAC的平分线交BC于D，过B作BE_AD,E为垂足,AD=DE.
3.角分线，分两边，对称全等要记全
两个图形的辅助线都是在射线上取点B,使，从而使OAC.
1、在△中，/60°
/40°
平分/交于P,平分/交于Q,求证:
AO
思路分析：
1）题意分析：
本题考查全等三角形常见辅助线的知识：
作平行线。
2）解题思路：
本题要证明的是。
形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。
可过0作的平行线。
得△望△。
得到，，只要再证出就可以了。
解答过程：
图⑴
如图
（1）,过0作//交于D,
•••//180°
—60°
—40°
=80°
又v/ZZ80°
又v/Z,,
又v//,
•ZZ,
又vZZ,
••?
又v/ZZ70°
ZZZ70
•・0
解题后的思考：
（1）本题也可以在上截取，连，构造全等三角形，即“截长法”
（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：
①如图
（2）,过O作//交于D,则*△从而得以解决。
图
（2）
如图⑶，过0作DE"
BC交AB于D,交直C于E,OJ'
JAADO£
SAAQO,AABO^AAE0从而得以解袂.
③如图⑷，过P作PDT7BQ交AB的延长线于D,则AAPD^AAPCM而得以解决口
小结：
通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。
从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。
②、如图所示，在「ABC中，AD是.BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由.
【解析】PBPCABAC，理由如下.
如图所示，在AB的延长线上截取AE=AC，连接PE•因为AD是.BAC的外角平分线，
故.CAP二/EAP•
在.ACP和AEP中，AC=AE,.CAP二/EAP,AP公用，因此JACP也.AEP,
从而PC=PE•
在.BPE中，PBPEBE,
而BE二BAAE二ABAC,故PBPCABAC•
变形：
在CABC中，ABAC,AD是.BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：
AB—AC>
PB—PC.
【解析】在AB上截取AE=AC，连结EP，根据SAS证得AEPACP,二PE=PC,AE=AC又iBEP中，BEaPB—PE,BE=AB—AC,二AB—ACaPB—PC
（2）、模型巩固：
练习一、.如图，在△中，丄于D,=+,/B的平分线交于点E,求证：
点E恰好在的垂直平分线上。
+=
练习五、在△ABC中，AB=2AC,AD平分.BAC，E是AD中点，连结CE，求证：
BD=2CE
变式：
已知：
在厶ABC中，B=2.C,BD平分.ABC，AD_BQ于D,
bdJac
练习六、已知：
如图，在四边形中，//平分///的延长线交于点E.
（1）;
（2）.
练习七、已知如图，在四边形中，，/的外角平分线与/的外角平分线交于点P.求证：
TV
D
练习八、如图，在平行四边形（两组对边分别平行的四边形）中，E,F分别是，边上的点，且、交于
G点，，求证：
是/的平分线。
练习九、如图，在△中，/为直角，丄于M平分/交于D,交于T,过D作//交于E,求证:
练习十、如图所示，已知ABC中，AD平分•BAC,E、F分别在BD、AD上.DE二CD,EF二AC.求证：
EF//AB
【补充】如图，在「ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF//AD交CA的延长线于点F,
4.中考巡礼：
（1）.如图1,是/的平分线，请你利用图形画一对以为所在直线为对称轴的全等三角形,请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。
①、如图2,在△中，/是直角，/60°
、是/、/的角平分线，相交于点F,请你判断并写出与之间的数量的关系。
（1）中的结论是
②、如图3,在△中，/不是直角，而
（1）中的其他条件不变，请问,否任然成立？
若成立，请证明；
若不成立，请说明理由。
（2）.如图，在平面直角坐标系中，B（-1,0）,C（1,0）D为y轴上的一点，点A为第二象限内一动点，且/2Z,过点D作丄于M
1、求证：
2、若点E在的延长线上，求证：
平分/;
3、当点A运动时，（）的值是否发生变化？
若不变，求其值；
若变化，请说明理由。
操作过程：
连.
（1）.使（），导出*△.
二、等腰直角三角形模型
1.在斜边上任取一点的旋转全等:
（1）.将△逆时针旋转90°
，使△也△，从而推出△为等腰直角三角
形•（但是写辅助线时不能这样写）
（2）.过点C作MC-BC,连导出上述结论.
2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：
（2）.使//180°
，导出ABA.
（1）、例题应用:
①.
在等腰直角△45（7中・^BAC=9^.点A在斜边BC上滑动，且NV£
LV=4即是探究J53AJ/5\CA之间的数量关系.
解析：
方法一：
过点C作
使ATOB同连丄W.
2■两个全等的含3叭60斓的三角板.3窈0三角板4EG如图所示放萱,E、A.CH点在一条直线上，连接5D,取歩D的中点忆连接ME,HC是判断的形状，并证明你的结论.
②•
连接，证明△也△.特别注意证明ZZ.
方法二：
过点M作丄交于点N,得出为直角梯形的中位线，从而导出△为等腰直角三角形•
（2）、练习巩固：
①已知：
如图所示，△中，，NBAC=90■，0为中点，若MN分别在线段、上移动，且在移动中保持.
1、是判断△的形状，并证明你的结论.
2、当MN分别在线段、上移动时，四边形的面积如何变化？
思路：
两种方法:
B
②在正方形中，3，5，4，求//为多少度.
3.构造等腰直角三角形
（1）、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角（略）；
（2）、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.如下图：
图3-1图3-2
在图3-2中，先将△以所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A与MD与E重合.
例题应用：
平面直角坐标系中的三个点，A1,°
B2,-1,C0,3,求//的
度数.
4.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图:
5.
如图，在等腰直角4C=BC,^ACB=W^砂ZUBM部一点，满足PB二PC,.4P=.4U求证二4CZP
从而得证•例题拓展：
若△不
^C：
4P=30oAP=AC
，再由于，故而得到
^14CB^90o^ACB=2^ABC
是等腰直角三角形，即，而是
其他条件不变，求证：
/2=2/1.
练习巩固：
在平面直角坐标系中，A（0,3），点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0，当A、B、C三点围成等腰直角三角形时，求点B、C的坐标.
（1）、当点B为直角顶点：
、三垂直模型（弦图模型）
由△也△导出由△也△导由△也△导出
出
1.例题应用：
例1.已知：
如图所示，在△中，,BAC=90,d为中点，丄于E,交于F,连接.
ZZ.
过点C作丄交的延长线于点再证△也△即可.
过点A作丄分别交、于HM先证△也厶，再证
△也△即可.
方法三：
过点A作丄分别交、于HMl先证△台△，得出
//•由MD分别为线段、的中点，可得为△的中位线
从而推出//,又由于BAC=90,故而丄，丄，所以为
线段的中垂线.所以/仁/2.再由//仁ZZ2，则
ZZ.
例1拓展
（1）:
如图所示，在△中，，，丄于E,交于F，连接•
①//.②
同上题的方法一和方法二一样
拓展
（2）：
其他条件不变，只是将和分别延长交于点P，求证：
①
例2.如图2-1，已知//,△和△是等腰直角三角形，ZZ90,
2,5，求四边形的面积.
图2-1
如图2-2，过点E、B分别作丄，丄交延长线于点N、M.
过点F、C分别作丄，丄交及延长线于点
P、Q
111,
S四边形EAFD=SAEDSadfR*AD*EN*AD*FP・AD・ENFP
•••△和△是等腰直角三角形，•••ZZ90,，
•••丄，丄，丄，丄，•••ZZZZ90.
ZZ，ZZ./.△^△，△也△.
••，・••・
•••//,//,Z90，•四边形是矩形.•
•/2，5•••5-2=3
S四边形EAFD=223=3.
图2-2
2.练习巩固：
（1）、如图
（1）-1，直角梯形中，//,/90l是的垂直平分线,
交于点M以腰为边做正方形，丄I于点P.
22.
（1）-1
（1）-2
（2）、如图，在直角梯形中，/90'
//,,E是的中点,
丄.
1求证：
；
2求证：
是线段的垂直平分线；
3△是等腰三角形吗？
请说明理由
四、手拉手模型
1.△和△均为等边三角形
结论：
（1）.*△
（2）./60°
（“八字模型证明”）
（3）平分/
拓展：
条件：
△和△均为等边三角形
（1）、
（2）、ZZ（3）、△为等边三角形
（4）、//（5）、（6）、平分/（7）、
（8）、（（7）,（8）需构造等边三角形证明）
2.△和△均为等腰直角三角形
（1）、
（2）丄
3和均为正方形
（1）、丄
（2）、变形一：
和均为正方形，丄交于T,
①M为的中点.②SABC二SADF.
变形二：
和均为正方形，T为的中点,求证：
丄
五、双垂直+角平分线模型
若平分/,其他条件不变，求证：
六、半角模型
1-一：
且—-1800.
2
（1）、延长其中一个补角的线段
（延长到E，使，连或延长到F,使，连）
①②CCMN=2AB③、分别平分/和/
（2）、对称（翻折）
分别将△和△以和为对称轴翻折，但一定要证明
MP、N三点共线.（//1800且）
例1、在正方形中，若MN分别在边、上移动，且满
足，求证：
①./45
2C曲mn=2AB
3、分别平分/和/.
思路同上略.
例1拓展：
在正方形中，已知/45〔若MN分别在边、
的延长线上移动，
②.求证:
例2.在四边形中，ZZ180=,,若E、F分别在边、且
NEAF」NBAD.
上，满足.求证：
如图，在四边形中，//90=,,若E、F分别
NEAFJnBAD.
在边、上的点，且2.求证:
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