常见不等式通用解法Word文档格式.docx
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步骤
1
首先判定次项系数是否为0,为0则
化为一元一次不等式,再分类讨论
2
二次项系数非0,将其化为正的,讨论判别式的正负性,从而确定不等式的解集
3
若可以直接看出两根,或二次式可以因式分解,则无需讨论判别式,直接根据不同的参数值比较两根大小
4
综上,写出解集
如不等式x^ax+1沁,首先发现二次项系数大于
0,而且此不等式无法直接看出两根,所以,讨论,寻-4的正负性即可。
i<
0,R
此不等式的解集为:
=o,{xRix—a》
ac,-a-Ja—4、-a+\!
a—4,、A>
OC,—2—)5—2—,-)
又如不等式x2_(a2+a)x+a\0,发现其可以通过因式分解化为(x-a)(x-a2)0,所以只需要判定a2和a的大小即可。
fa=0ora=1,{xER|xHa}
此不等式的解集为0:
a:
1,(一:
才)一(a,;
acOora:
>
1,(-°
o,a)5a,讼)
又如不等式ax2-2(a1)x40,注意:
有些同学发现其可以因式分解,就直接写成始判断两根2和2的大小关系,这样做是有问题a
的。
事实上,这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式,所以参数a是有可能为0的。
讨论完a=0的情况再讨论a,:
0和a0的情况。
所以此不等式的解集应该是:
'
a=0,(皿,2)
av0,(2,2)
a
a1,(-*,)-(2,:
a=1,{x^R|x式2}
Ova<
1,(-«
2)u(2,耘)
La
注意,a0和a=:
0时解区间的状况不同,一种为中间,一种为两边。
二、数轴标根法(又名穿针引线法)解不等式
这种问题的一般形式是(X—aj(x—a2)(x—a3)...(x—an)£
0(或,—)
步骤:
1将不等式化为标准式,一段为0,另一端为一次因式的乘积(注意!
系数为正)或二次不可约因式(二次项系数为正)。
2画出数轴如下,并从最右端上方起,用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。
3记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集。
例如,求不等式(x—1)(x—2)(x—3)(x—4)0的解集,画出图如下,发现解集为(=,1)一(2,3)一(4,;
为什么数轴标根法是正确的呢?
对于不等式(x—1)(x—2)(x—3)(x—4)0来说,要满足四项相乘为正,说明①四项均正,解集为(4「:
)②两正两负,只能是(x—1),(x—2)正,(x—3),(x—4)负,此时解集为(2,3)③四项均负,解集为(V)。
综上,解集为这三种情况的并集。
当不等式左侧有奇数项的时候同理。
由此可知,遇到奇数个一次项系数为负的情
况,如果不把系数化为正的,结果一定是错误的。
注意,这种方法要灵活使用,若不等式为(x_1)2(x_2)(x_3)(x_4).0,使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样,因为(x-1)2是偶次项,必然非负,所以在“穿针引线”时,可以忽略,或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。
分式不等式的解题思路,前面讲了一些不等式的求解,都是讲不等式的一边化为0,另一边为
含x的多项式。
把一个分式不等式经过移项和通分处理,最终总能化为^<
0(或,-,的形式),此g(x)7
时解f(x)g(x)<
0就可以解出原不等式的解集。
特别地,若要解怦0,则解畀雪0即可。
g(x)'
、g(x)丸
例如牛叮,移项化简得学葺_0,使用穿针
x_x_6x_x_6
引线法得到解集为{x|x,:
_2或1g2或x.3},—定要注意分母不为零,而分子可以为零。
例:
一道比较复杂的题,求心半,1)的解集,
x_2
现写出此题的完整解题过程。
解:
原不等式通过移项通分可化为(—2)A。
,x_27
a-2
由于a-1,所以可以进一步化为(0,两根
‘x-2'
为口和2。
a-1
当a1时,解集为两根的两边,显然有^2:
2,
77a-1丁
所以此时解集为(-:
?
2)_.(2,;
a—1
当a<
1时,解集为两根中间,此时必须根据a的取值判断两根范围。
1当0:
a<
1时,=2,此时解集为(2,平)
a_1a_1
2当a=0时,口=2,此时解集为.一
3当a汐时,口:
2,此时解集为(口2)
a—1a—1
至此,a的所有值都讨论完毕,所以这道题讨论到这样就结束了
当然,如果这道题不给a-1的限制条件,只需要再讨论一下a=1时的解集情况即可。
补充内容:
一类经典但易错的分式不等式问题
1求「1的解集
x
2求-1的解集
X
3求-<
-1的解集
4求1一的解集
5求3丄:
2的解集
解答:
①(0,1)②(一:
0)(1,:
)③(-1,0)④(-:
-1)(0,:
)⑤
(-:
-3)-g,=),注意①②的区别
四、绝对值不等式
对于含有绝对值的不等式,解题思想为
1直接脱去绝对值符号
f(x)|.;
g(x)=_g(x):
f(x):
g(x),f(x)g(x)=f(x)g(x)或f(x):
_g(x)
2构造函数,数形结合
3在不等式的一端有多个绝对值时,使用零点分段法分类讨论(分类讨论思想随处可见)
4平方法(不等式两边都是非负时才能用,慎用)
图形法某经典问题,解不等式1」<
a,先
x7
画出f(x)=W的图像如下,然后分类讨论a的取值,通过观察y=f(x)和y=a的图像,来确定不等式的解
集情况
点(1,1),此时显然不等式无解
2当a=1时,y=f(x)的图像与y=a的图像交点为中),此时的解集为(*:
3当0:
a<
1时,y=f(x)的图像与y=a的图像交点横坐标为+,亠,此时解集为(71■'
宀
1—a1+a1+a1—a
4当a1时,y=f(x)的图像与y=a的图像交点横坐标
为丄
1-a
,+,此时解集为(严宀“于严
1a1-a1a
当然此题使用f(x)|•;
g(x)=—g(x):
f(x):
g(x)也可以做,化
成円<
1一亠a,只是在讨论的时候需要细心,考虑到
x11
a的所有取值。
绝对值不等式的零点分段法,以及特别的做题
技巧
例如X-1*2_5,发现不等号左边有两个绝对
值,所以应该根据两个不同的零点分段讨论
1当x1时,原不等式化为2x1_5,解得x2
2当时,原不等式化为35,显然无解
3当X2时,原不等式化为一仁2x5,解得X"
综上,原不等式的解集为三种情况下的并集
(注意,为什么是并集而不是交集?
),(-:
,-3]一【2,=)技巧:
可以将绝对值看成距离,也就是将x_1看成数轴上点x到点1的距离,将x2看成x到-2的距离,若画出数轴,发现位于区间【21泊勺点(绿色点)到区间端点的距离之和为3,位于区间【一2,1]之外的点到区间端点的距离之和大于3,特别地,
在2处和-3处距离之和为5,所以令x继续远离区间[-2,1],发现距离之和大于5。
11•O■*•'
11
-21
也就是说X-1x2的取值范围是[3,•:
]
同理,遇到减号的情况,例如x3_x_1,发现其取值范围是[44]
此技巧常用于填空题,既可以求不等式解集,又可以求参数的范围。
例1:
若存在实数x使得不等式x1x-a£
1成立,则a的取值范围是?
(答案【-2,0])
例2:
不等式x2-x-1£
2的解集是?
(答案
(曷)
五、无理不等式
无理不等式能出的考题较少,主要是要注意偶次根号下式子要非负。
(终于可以用平方法了,但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用)。
对于奇次根号,由于不需考虑根号下式子的正负性,直接打开根号即可。
有与f(X)_0?
[g(x)>
.而:
g(x)=f(x)一0
lf(x)c[g(x)]2