常见不等式通用解法Word文档格式.docx
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步骤
1
首先判定次项系数是否为0，为0则
化为一元一次不等式，再分类讨论
2
二次项系数非0,将其化为正的，讨论判别式的正负性，从而确定不等式的解集
3
若可以直接看出两根，或二次式可以因式分解，则无需讨论判别式，直接根据不同的参数值比较两根大小
4
综上，写出解集
如不等式x^ax+1沁，首先发现二次项系数大于
0,而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论，寻-4的正负性即可。
i<
0,R
此不等式的解集为：
=o,{xRix—a》
ac,-a-Ja—4、-a+\!
a—4,、A>
OC,—2—）5—2—，-）
又如不等式x2_（a2+a）x+a\0,发现其可以通过因式分解化为（x-a）（x-a2）0，所以只需要判定a2和a的大小即可。
fa=0ora=1,{xER|xHa}
此不等式的解集为0：
a：
1,（一：
才）一（a,；
acOora:
>
1,（-°
o,a）5a，讼）
又如不等式ax2-2（a1）x40，注意：
有些同学发现其可以因式分解，就直接写成始判断两根2和2的大小关系，这样做是有问题a
的。
事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a是有可能为0的。
讨论完a=0的情况再讨论a，：
0和a0的情况。
所以此不等式的解集应该是：
'
a=0,（皿,2）
av0,（2,2）
a
a1,（-*,）-（2,：
a=1,{x^R|x式2}
Ova<
1,（-«
2）u（2，耘）
La
注意，a0和a=：
0时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。
二、数轴标根法（又名穿针引线法）解不等式
这种问题的一般形式是（X—aj（x—a2）（x—a3）...（x—an）£
0（或，—）
步骤：
1将不等式化为标准式，一段为0,另一端为一次因式的乘积（注意！
系数为正）或二次不可约因式（二次项系数为正）。
2画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。
3记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。
例如，求不等式（x—1）（x—2）（x—3）（x—4）0的解集，画出图如下，发现解集为（=,1）一（2,3）一（4,；
为什么数轴标根法是正确的呢？
对于不等式（x—1）（x—2）（x—3）（x—4）0来说，要满足四项相乘为正，说明①四项均正，解集为（4「：
）②两正两负，只能是（x—1）,（x—2）正，（x—3）,（x—4）负，此时解集为（2,3）③四项均负，解集为（V）。
综上，解集为这三种情况的并集。
当不等式左侧有奇数项的时候同理。
由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情
况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。
注意，这种方法要灵活使用，若不等式为（x_1）2（x_2）（x_3）（x_4）.0，使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样，因为（x-1）2是偶次项，必然非负,所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。
分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0,另一边为
含x的多项式。
把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为^<
0（或，-,的形式），此g（x）7
时解f（x）g（x）<
0就可以解出原不等式的解集。
特别地，若要解怦0，则解畀雪0即可。
g（x）'
、g（x）丸
例如牛叮，移项化简得学葺_0，使用穿针
x_x_6x_x_6
引线法得到解集为{x|x，：
_2或1g2或x.3},—定要注意分母不为零，而分子可以为零。
例：
一道比较复杂的题，求心半，1）的解集，
x_2
现写出此题的完整解题过程。
解：
原不等式通过移项通分可化为（—2）A。
，x_27
a-2
由于a-1,所以可以进一步化为（0，两根
‘x-2'
为口和2。
a-1
当a1时，解集为两根的两边，显然有^2：
2，
77a-1丁
所以此时解集为（-：
?
2）_.（2,；
a—1
当a<
1时，解集为两根中间，此时必须根据a的取值判断两根范围。
1当0：
a<
1时，=2，此时解集为（2,平）
a_1a_1
2当a=0时，口=2，此时解集为.一
3当a汐时，口:
2，此时解集为（口2）
a—1a—1
至此，a的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了
当然，如果这道题不给a-1的限制条件，只需要再讨论一下a=1时的解集情况即可。
补充内容：
一类经典但易错的分式不等式问题
1求「1的解集
x
2求-1的解集
X
3求-<
-1的解集
4求1一的解集
5求3丄：
2的解集
解答：
①（0,1）②（一：
0）（1,：
）③（-1,0）④（-：
-1）（0,：
）⑤
（-：
-3）-g，=），注意①②的区别
四、绝对值不等式
对于含有绝对值的不等式，解题思想为
1直接脱去绝对值符号
f（x）|.；
g（x）=_g（x）：
f（x）：
g（x），f（x）g（x）=f（x）g（x）或f（x）：
_g（x）
2构造函数，数形结合
3在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（分类讨论思想随处可见）
4平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用）
图形法某经典问题，解不等式1」<
a，先
x7
画出f（x）=W的图像如下，然后分类讨论a的取值，通过观察y=f（x）和y=a的图像，来确定不等式的解
集情况
点（1,1）,此时显然不等式无解
2当a=1时，y=f（x）的图像与y=a的图像交点为中）,此时的解集为（*：
3当0:
a<
1时，y=f（x）的图像与y=a的图像交点横坐标为+，亠，此时解集为（71■'
宀
1—a1+a1+a1—a
4当a1时，y=f（x）的图像与y=a的图像交点横坐标
为丄
1-a
，+，此时解集为（严宀“于严
1a1-a1a
当然此题使用f（x）|•；
g（x）=—g（x）：
f（x）：
g（x）也可以做，化
成円<
1一亠a，只是在讨论的时候需要细心，考虑到
x11
a的所有取值。
绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题
技巧
例如X-1*2_5，发现不等号左边有两个绝对
值，所以应该根据两个不同的零点分段讨论
1当x1时，原不等式化为2x1_5,解得x2
2当时，原不等式化为35，显然无解
3当X2时，原不等式化为一仁2x5，解得X"
综上，原不等式的解集为三种情况下的并集
（注意，为什么是并集而不是交集？
），（-：
，-3］一【2,=）技巧：
可以将绝对值看成距离，也就是将x_1看成数轴上点x到点1的距离，将x2看成x到-2的距离，若画出数轴，发现位于区间【21泊勺点（绿色点）到区间端点的距离之和为3,位于区间【一2,1］之外的点到区间端点的距离之和大于3，特别地，
在2处和-3处距离之和为5,所以令x继续远离区间［-2,1］，发现距离之和大于5。
11•O■*•'
11
-21
也就是说X-1x2的取值范围是［3,•：
］
同理，遇到减号的情况，例如x3_x_1，发现其取值范围是［44］
此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集，又可以求参数的范围。
例1：
若存在实数x使得不等式x1x-a£
1成立，则a的取值范围是?
（答案【-2,0］）
例2：
不等式x2-x-1£
2的解集是？
（答案
（曷）
五、无理不等式
无理不等式能出的考题较少，主要是要注意偶次根号下式子要非负。
（终于可以用平方法了，但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用）。
对于奇次根号，由于不需考虑根号下式子的正负性，直接打开根号即可。
有与f（X）_0？
[g（x）>
.而：
g（x）=f（x）一0
lf（x）c[g（x）]2
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