完全平方公式的几何背景专题训练试题精选附答案Word文档格式.docx
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(a+b)2
(a﹣b)2
a2﹣b2
5.如图的图形面积由以下哪个公式表示( )
a2﹣b2=a(a﹣b)+b(a﹣b)
6.如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式,那么m的值是( )
8或﹣8
8
﹣8
无法确定
二.填空题(共7小题)
7.(2014•玄武区二模)如图,在一个矩形中,有两个面积分别为a2、b2(a>0,b>0)的正方形.这个矩形的面积为 _________ (用含a、b的代数式表示)
8.如图,边长为(m+2)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为2,则另一边长是 _________ .(用含m的代数式表示)
9.有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得图甲,将A,B并列放置后构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形A,B的面积之和为 _________ .
10.如图1和图2,有多个长方形和正方形的卡片,图1是选取了2块不同的卡片,拼成的一个图形,借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a(a+b)=a2+ab成立.根据图2,利用面积的不同表示方法,写出一个代数恒等式 _________ .
11.如图,正方形广场的边长为a米,中央有一个正方形的水池,水池四周有一条宽度为
的环形小路,那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为 _________ 平方米.
12.如图,请写出三个代数式(a+b)2、(a﹣b)2、ab之间的等量关系是 _________ .
13.如图,长为a,宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形,且大正方形的面积为64,中间小正方形的面积为16,则a= _________ ,b= _________ .
三.解答题(共10小题)
14.阅读学习:
数学中有很多等式可以用图形的面积来表示.如图1,它表示(m+2n)(m+n)=m2+3mn+2n2,
(1)观察图2,请你写出(a+b)2,(a﹣b)2,ab之间的关系 _________ .
(2)小明用8个一样大的长方形,(长为a,宽为b),拼成了如图甲乙两种图案,图案甲是一个正方形,图案甲中间留下了一个边长为2的正方形;
图形乙是一个长方形.
①a2﹣4ab+4b2= _________ ②ab= _________ .
15.【学习回顾】我们已经知道,根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式,说明如下:
如图1,正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积+(长方形AEHM的面积+长方形HNCF的面积)+正方形MHFD的面积.即:
(a+b)2=a2+2ab+b2.
【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明,请你尝试完成.
如图2,长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣ _________ 的面积,即:
(2a﹣b)(a+b)= _________ .
【尝试实践】计算(2a+b)(a+b)= _________ .仿照上述方法,画图并说明.
16.阅读下列文字,我们知道对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积,可以得到一个数学等式,例如由图1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.请解答下列问题:
(1)写出图2中所表示的数学等式 _________ ;
(2)利用
(1)中所得到的结论,解决下面的问题:
已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;
(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片.若干个长为a和宽为b的长方形纸片,利用所给的纸片拼出一个几何图形,使得计算它的面积能得到数学公式:
2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b).
17.如图1,将一个长为4a,宽为2b的长方形,沿图中虚线均匀分成4个小长方形,然后按图2形状拼成一个正方形.
(1)图2的空白部分的边长是多少(用含ab的式子表示)
(2)若2a+b=7,且ab=3,求图2中的空白正方形的面积.
(3)观察图2,用等式表示出(2a﹣b)2,ab和(2a+b)2的数量关系.
18.动手操作:
如图①是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形,然后按照图②所示拼成一个正方形.
提出问题:
(1)观察图②,请用两种不同的方法表示阴影部分的面积;
(2)请写出三个代数式(a+b)2,(a﹣b)2,ab之间的一个等量关系.
问题解决:
根据上述
(2)中得到的等量关系,解决下列问题:
已知:
x+y=6,xy=3.求:
(x﹣y)2的值.
19.图①是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线剪开,可分成四块小长方形.
(1)将图①中所得的四块长为a,宽为b的小长方形拼成一个正方形(如图②).请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法,直接写出代数式(a+b)2、(a﹣b)2、ab之间的等量关系是 _________ ;
(2)根据
(2)题中的等量关系,解决如下问题:
已知m+n=8,mn=7,则m﹣n= _________ ;
(3)将如图①所得的四块长为a,宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部(如图③),未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示.若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4,且小长方形的周长为8,则每一个小长方形的面积为 _________ .
20.把几个图形拼成一个新的图形,再通过图形面积的计算,常常可以得到一些有用的式子,或可以求出一些不规则图形的面积.
(1)如图1,是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形,试用不同的方法计算这个图形的面积,你能发现什么结论,请写出来.
(2)如图2,是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B、C、G三点在同一直线上,连接BD和BF,若两正方形的边长满足a+b=10,ab=20,你能求出阴影部分的面积吗
21.阅读材料并填空:
我们知道,完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示,
如:
(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图
(1),或图
(2)等图形的面积表示.
请你写出图(3)所表示的代数恒等式 _________ .
请你写出图(4)所表示的代数恒等式 _________ .
22.图1是一个长为2x、宽为2y的长方形,沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形,然后按图2所示拼成一个正方形.
(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 _________ .
(2)试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1:
_________ ;
方法2:
_________ .
(3)根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗
代数式:
(x+y)2,(x﹣y)2,4xy. _________
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:
若x+y=4,xy=3,则(x﹣y)2= _________ .
23.已知图甲是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形,然后按图乙的形状拼成一个正方形.
(1)你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少 _________ .
(2)请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积.
方法一:
方法二:
(3)观察图乙,你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗
(m+n)2;
(m﹣n)2;
mm
若a+b=8,ab=5,求(a﹣b)2的值.
参考答案与试题解析
考点:
完全平方公式的几何背景.
专题:
计算题;
压轴题.
分析:
根据图示可知,阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2,即为对角线分别是2m,2n的菱形的面积.据此即可解答.
解答:
解:
(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn.
故选B.
点评:
本题是利用几何图形的面积来验证(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn,解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式.
根据图形,左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积,然后加上多减去的右下角的小正方形的面积.
大正方形的面积=(a﹣b)2,
还可以表示为a2﹣2ab+b2,
∴(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2.
正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键,也考查了对完全平方公式的理解能力.
根据图形得出阴影部分的面积是(a﹣b)2和b2,剩余的矩形面积是(a﹣b)b和(a﹣b)b,即大阴影部分的面积是(a﹣b)2,即可得出选项.
从图中可知:
阴影部分的面积是(a﹣b)2和b2,剩余的矩形面积是(a﹣b)b和(a﹣b)b,
即大阴影部分的面积是(a﹣b)2,
∴(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,
故选C.
本题考查了完全平方公式的应用,主要考查学生的阅读能力和转化能力,题目比较好,有一定的难度.
先求出正方形的边长,继而得出面积,然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案.
由题意可得,正方形的边长为(a+b),
故正方形的面积为(a+b)2,
又∵原矩形的面积为4ab,
∴中间空的部分的面积=(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2.
此题考查了完全平方公式的几何背景,求出正方形的边长是解答本题的关键,难度一般.
通过图中几个图形的面积的关系来进行推导.
根据图形可得出:
大正方形面积为:
(a+b)2,大正方形面积=4个小图形的面积和=a2+b2+ab+ab,
∴可以得到公式:
故选:
本题考查了完全平方公式的推导过程,运用图形的面积表示是解题的关键.
根据两平方项确定出这两个数,再根据乘积二倍项列式求解即可.
∵x2﹣mx+16是一个完全平方式,
∴﹣mx=±
2×
4•x,
解得m=±
8.
故选A.
本题是完全平方公式的考查,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
7.(2014•玄武区二模)如图,在一个矩形中,有两个面积分别为a2、b2(a>0,b>0)的正方形.这个矩形的面积为 (a+b)2 (用含a、b的代数式表示)
求出大正方形的边长为a+b,再利用正方形的面积公式求解.
解;
∵两个小矩形的长为a,宽为b,
∴正方形的边长为:
a+b
∴它的面积为:
故答案为:
本题主要考查完全平方公式的几何表示,运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键.
8.如图,边长为(m+2)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为2,则另一边长是 2m+2 .(用含m的代数式表示)
几何图形问题.
由于边长为(m+2)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),那么根据正方形的面积公式,可以求出剩余部分的面积,而矩形一边长为2,利用矩形的面积公式即可求出另一边长.
依题意得剩余部分为
(m+2)2﹣m2=m2+4m+4﹣m2=4m+4,
而拼成的矩形一边长为2,
∴另一边长是(4m+4)÷
2=2m+2.
2m+2.
本题主要考查了多项式除以单项式,解题关键是熟悉除法法则.
9.有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得图甲,将A,B并列放置后构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形A,B的面积之和为 13 .
设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,由图形得出关系式求解即可.
设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,
由图甲得a2﹣b2﹣2(a﹣b)=1即a2+b2﹣2ab=1,
由图乙得(a+b)2﹣a2﹣b2=12,2ab=12,
所以a2+b2=13,
13.
本题主要考查了完全平方公式的几何背景,解题的关键是根据图形得出数量关系.
10.如图1和图2,有多个长方形和正方形的卡片,图1是选取了2块不同的卡片,拼成的一个图形,借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a(a+b)=a2+ab成立.根据图2,利用面积的不同表示方法,写出一个代数恒等式 (a+b)(a+2b)=a2+2b2+3ab .
计算题.
表示阴影部分的面积有两种方法:
①大长方形的面积=(a+b)(a+2b),②3个正方形的面积加上3个矩形的面积a2+ab+ab+ab+b2+b2,推出即可.
由图2可知:
阴影部分的面积是:
①(a+b)(a+2b),②a2+ab+ab+ab+b2+b2=a2+2b2+3ab,
∴(a+b)(a+2b)=a2+2b2+3ab,
(a+b)(a+2b)=a2+2b2+3ab.
本题考查了完全平方公式的几何背景的应用,关键是检查学生能否正确表示图形中阴影部分的面积,题目具有一定的代表性,考查了学生的理解能力、观察图形的能力等
的环形小路,那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为 a2﹣4ab+4b2或(a﹣2b)2 平方米.
根据图示计算出中央正方形的水池的边长,然后根据正方形的面积公式来计算水池的面积.
水池的边长是:
a﹣2b,
所以,正方形水池的面积是(a﹣2b)(a﹣2b)=a2﹣4ab+4b2或(a﹣2b)(a﹣2b)=(a﹣2b)2.
故答案是:
a2﹣4ab+4b2或(a﹣2b)2.
本题考查对完全平方公式几何意义的理解.解题时,主要围绕图形面积展开分析.
12.如图,请写出三个代数式(a+b)2、(a﹣b)2、ab之间的等量关系是 a+b)2=(a﹣b)2+4ab .
通过观察图形知:
(a+b)2,(a﹣b)2,ab分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积.
由图可以看出,大正方形面积=阴影部分的正方形的面积+四个小长方形的面积,
即:
(a+b)2=(a﹣b)2+4ab,
(a+b)2=(a﹣b)2+4ab.
此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力,关键是通过观察图形找出各图形之间的关系.
13.如图,长为a,宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形,且大正方形的面积为64,中间小正方形的面积为16,则a= 6 ,b= 2 .
先求出大正方形的边长为:
a+b,小正方形的边长为:
a﹣b,再列出方程组求解.
大正方形的边长为:
a﹣b
解得
6,2.
本题的关键是求出大正方形的边长和小正方形的边长.列出方程组.
(1)观察图2,请你写出(a+b)2,(a﹣b)2,ab之间的关系 (a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab .
①a2﹣4ab+4b2= 4 ②ab= 60 .
数形结合.
根据图形的面积公式来进行分析即可得到.
(1)(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab;
(2)①4②ab=60
该题目考查了利用图形的面积来得到数学公式,关键是灵活进行数学结合来分析.
如图2,长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣ 正方形MHFD 的面积,即:
(2a﹣b)(a+b)= 2a2﹣ab﹣b2 .
【尝试实践】计算(2a+b)(a+b)= 2a2+3ab+b2 .仿照上述方法,画图并说明.
(1)利用长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣正方形MHFD的面积计算.
(2)利用长方形ABCD的面积=正方形GBHF的面积+正方形FHQN的面积+长方形AGFE的面积+长方形EFNM的面积+长方形NQCO的面积+正方形MNOD的面积计算.
(1)长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣正方形MHFD的面积,即:
(2a﹣b)(a+b)=2a2﹣ab﹣b2.
正方形MHFD,2a2﹣ab﹣b2.
(2)(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2.
如图,
2a2﹣ab﹣b2.
本题主要考查了完全平方公式的几何背景,解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释.
(1)写出图2中所表示的数学等式 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ;
(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片.若干个长为a和宽为b的长方形纸片,利用所给的纸片拼出一个几何图形,使得计算它的面积能得到数