新人教版七年级数学上册应用题专题讲解文档格式.docx
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(1-25%)x
即10%x=1
x=10
油箱里原有汽油10公斤.
(二)等积变形问题
等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为:
原料体积=成品体积。
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.
①圆柱体的体积公式V=底面积×
高=S·
h=
②长方体的体积V=长×
宽×
高=abc
例3.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米,可足够锻造直径为0.4米,长为3米的圆柱形机轴多少根?
设可足够锻造直径为0.4米,长为3米的圆柱形机轴x根,则
3.14×
×
3x=3.14×
30
0.12x=4.8
x=40
可足够锻造直径为0.4米,长为3米的圆柱形机轴40根。
(三)数字问题
1.要搞清楚数的表示方法:
一个三位数,一般可设百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9),则这个三位数表示为:
100a+10b+c.
2.数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;
偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n-2表示;
奇数用2n+1或2n—1表示。
例4.有一个三位数,个位数字为百位数字的2倍,十位数字比百位数字大1,若将此数个位与百位顺序对调(个位变百位)所得的新数比原数的2倍少49,求原数。
设原数百位数为x,则十位数为10(x+1),个位数为2x,于是
100×
2x+10×
(x+1)+x+49=2×
[100x+10(x+1)+2x]
即211x+59=224x+
20
13x=39
x=3
故原数为:
100×
2+10×
4+2×
3=246
原数为246.
例5.一个三位数,三个数位上的数字之和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上的数的3倍,求这个三位数.
[分析]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系,若设十位上的数为x,则百位上的数为x+7,个位上的数是3x,等量关系为三个数位上的数字和为17。
设这个三位数十位上的数为x,则百位上的数为x+7,个位上的数是3x,则
x+x+7+3x=17
解得x=2
x+7=9,3x=6
这个三位数是926。
(四)商品利润问题(市场经济问题或利润赢亏问题)
(1)销售问题中常出现的量有:
进价(或成本)、售价、标价(或定价)、利润等。
(2)利润问题常用等量关系:
商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×
折扣率-商品进价
(3)商品销售额=商品销售价×
商品销售量
商品的销售利润=(销售价-成本价)×
销售量
(4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.即商品售价=商品标价×
折扣率.
例6:
一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?
[分析]探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为x元,
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
x元
8折
(1+40%)X元
80%(1+40%)X
15元
等量关系:
(利润=折扣后价格—进价)折扣后价格-进价=15
设这种服装每件的进价为x元,则
80%x(1+40%)—x=15,
解得x=125
这种服装每件的进价是125元。
例6*:
某商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,但要保持利润率不低于5%,则至多打几折?
解:
设至多打x折,则根据题意有
100%=5%
解得x=0.7=70%
答:
至多打7折出售.
(五)行程问题——画图分析法
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.
1.行程问题中的三个基本量及其关系:
路程=速度×
时间时间=路程÷
速度速度=路程÷
时间
2.行程问题基本类型
(1)相遇问题:
快行距+慢行距=原距
(2)追及问题:
快行距-慢行距=原距
(3)航行问题:
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷
2(4)环路问题甲乙同时同地背向而行:
甲路程—乙路程=环路一周的距离
甲乙同时同地同向而行:
快者的路程—慢者的路程=环路一周的距离
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.即顺水逆水问题常用等量关系:
顺水路程=逆水路程.
常见的还有:
相背而行;
行船问题;
环形跑道问题。
例7:
甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
(此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。
)
解析:
(1)分析:
相遇问题,画图表示为:
等量关系是:
慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
设快车开出x小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480 解这个方程,230x=390
快车开出
小时两车相遇
(2)分析:
相背而行,画图表示为:
两车所走的路程和+480公里=600公里。
解:
设x小时后两车相距600公里,
由题意得,(140+90)x+480=600解这个方程,230x=120∴x=
答:
小时后两车相距600公里。
(3)分析:
等量关系为:
快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。
设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140-90)x+480=600 50x=120 ∴x=2.4
2.4小时后两车相距600公里。
(4)分析:
追及问题,画图表示为:
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
设x小时后快车追上慢车。
由题意得,140x=90x+480 解这个方程,50x=480 ∴x=9.6
9.6小时后快车追上慢车。
(5)分析:
追及问题,等量关系为:
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得,140x=90(x+1)+480 50x=570 ∴x=11.4
快车开出11.4小时后追上慢车。
例8:
一轮船在甲、乙两码头之间航行,顺水航行需要4小时,逆水航行需要5小时,水流的速度为2千米/时,求甲、乙两码头之间的距离。
设甲、乙两码头之间的距离为x千米,则
x=80
甲、乙两码头之间的距离为80千米.
(六)工程问题
1.工程问题中的三个量及其关系为:
工作总量=工作效率×
工作时间
2.经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1。
即完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1.
工程问题常用等量关系:
先做的+后做的=完成量.
例9:
将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲独做需6小时,乙独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作?
设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.
根据题意,得
+(
+
)x=1
解这个方程,得x=
=2小时12分
甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作.
例10:
一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池;
单独开乙管8小时可注满水池,单独开丙管9小时可将满池水
排空,若先将甲、乙管同时开放2小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池?
[分析]等量关系为:
甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。
设打开丙管后x小时可注满水池,
则
由题意得,
打开丙管后
小时可注满水池。
例11:
一项工程甲单独做需要10天,乙需要12天,丙单独做需要15天,甲、丙先做3天后,甲因事离去,乙参与工作,问还需几天完成?
设还需x天,则
还需
天完成。
(七)储蓄问题
1.顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.
2.储蓄问题中的量及其关系为:
利息=本金×
利率×
期数本息和=本金+利息
利息税=利息×
税率(20%)
例12:
某同学把250元钱存入银行,整存整取,存期为半年。
半年后共得本息和252.7元,求银行半年期的年利率是多少?
(不计利息税)
[分析]等量关系:
本息和=本金×
(1+利率)
设半年期的实际利率为X,依题意得方程250(1+X)=252.7,解得X=0.0108
所以年利率为0.0108×
2=0.0216
银行的年利率是21.6%
(八)配套问题:
这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
例13:
某车间有28名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个,应如何分配生产螺栓和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母)?
设生产螺栓的人有x名,则生产螺母的有28-x名工人,于是
2×
12x=18×
(28-x)
即42x=504
x=12
28-x=16
应分配12名工人生产螺栓,16名工人生产螺母。
例14:
机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?
设分配x
名工人加工大齿轮,则加工小齿轮的有85-x名工人,于是
16x÷
2=10×
(85-x)÷
3
34x=850
x=25
85-x=60
应分配25名工人加工大齿轮,60名工人加工小齿轮。
(九)劳力调配问题
这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:
(1)既有调入又有调出;
(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。
例15.某厂一车间有64人,二车间有56人。
现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间?
设需从第一车间调x人到第二车间,则
(64-x)=56+x
即3x=72
则x=24
需从第一车间调24人到第二车间.
例16.学校分配学生住宿,如果每室住8人,还少12个床位,如果每室住9人,则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
设房间数为x个,则有学生8x+12人,于是
8x+12=9(x-2)
解得x=30
则8x+12=252
房间数为30个,学生252人。
(十)比例分配问题
比例分配问题的一般思路为:
设其中一份为x,利用已知的比,写出相应的代数式。
常用等量关系:
各部分之和=总量。
例17:
甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4:
3;
乙、丙之比为6:
5,又知甲与丙的和比乙的2倍多12件,求每个人每天生产多少件?
设甲每天生产x件,则乙每天生产
x件,丙每天生产
x件,于是
x+
x-12=2×
x
解得x=96
则
x=72,
x=60
甲每天生产96件,则乙每天生产72件,丙每天生产60件.
(十一)年龄问题
例19:
兄弟二人今年分别为15岁和9岁,多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍?
设x年后,兄的年龄是弟的年龄的2倍,
则x年后兄的年龄是15+x,弟的年龄是9+x.
由题意,得2×
(9+x)=15+x
18+2x=15+x
2x-x=15-18
∴x=-3
3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍.
(点拨:
-3年的意义,并不是没有意义,而是指以今年为起点前的3年,是与3年后具有相反意义的量)
例20:
三位同学甲乙丙,甲比乙大1岁,乙比丙大2岁,三人的年龄之和是41,求乙同学的年龄。
设乙同学的年龄为x岁,则甲的年龄为(x+1)岁,丙同学的年龄为(
x-2)岁,于是
x+(x+1)+(x-2)=41
即3x=42
x=14
乙同学的年龄为14岁,甲同学的年龄为15岁,丙同学的年龄为12岁.
(十二)比赛积分问题
例21:
某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50道选择题组成,评分标准规定:
每道题的答案选对得3分,不选得0分,选错倒扣1分。
已知某人有5道题未作,得了103分,则这个人选错了8道题。
设这个人选对了x道题目,则选错了45-x道题,于是
3x-(45-x)=103
4x=148
解得x=37
则45-x=8
这个人选错了8道题.
例22:
某学校七年级8个班进行足球友谊赛,采用胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分的记分制。
某班与其他7个队各赛1
场后,以不败的战绩积17分,那么该班共胜了几场比赛?
设该班共胜了x场比赛,则
3x+(7-x)=17
解得x=5
该班共胜了5场比赛.
(13)方案选择问题
例23:
某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机,出厂价分别为A种每台1500元,B种每台2100元,C种每台2500元.
(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案.
(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元,销售一台B种电视机可获利200元,销售一台C种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为了使销售时获利最多,你选择哪种方案?
按购A,B两种,B,C两种,A,C两种电视机这三种方案分别计算,
设购A种电视机x台,则B种电视机y台.
(1)①当选购A,B两种电视机时,B种电视机购(50-x)台,可得方程
1500x+2100(50-x)=90000
即5x+7(50-x)=300
2x=50
x=25
50-x=25
②当选购A,C两种电视机时,C种电视机购(50-x)台,
可得方程1500x+2500(50-x)=90000
3x+5(50-x)=1800
x=35
50-x=15
③当购B,C两种电视机时,C种电视机为(50-y)台.
可得方程2100y+2500(50-y)=90000
21y+25(50-y)=900,4y=350,不合题意
由此可选择两种方案:
一是购A,B两种电视机25台;
二是购A种电视机35台,C种电视机15台.
(2)若选择
(1)中的方案①,可获利
150×
25+250×
15=8750(元)
若选择
(1)中的方案②,可获利
35+250×
15=9000(元)
9000>
8750
故为了获利最多,选择第二种方案.
(14)古典数学问题
例24:
100个和尚100个馍,大和尚每人吃两个,小和尚两人吃一个,问有多少大和尚?
多少小和尚?
设有大和尚x人,小和尚100-x人,则
2x+
=100
解得x=
≈33
约有大和尚33人,小和尚67人。
例25:
有若干只鸡和兔子,他们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只?
设有鸡x只,兔88-x只,则
2x+4(88-x)=244
x=54
则88-x=34
有鸡54只,兔34只.
(15)增长率问题
例26:
民航规定:
乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李,超过部分每千克按飞机票价的1
.5%购买行李票。
一名旅客带了35千克行李乘机,机票连同行李费共付了1323元,求该旅客的机票票价。
设该旅客的机票票价为x元,则
x+15×
1.5%x=1323
1.015x=1323
x=1303
该旅客的机票票价为1303元.
(16)浓度问题
常用等量关系式:
.
例27:
有含盐20%的盐水5千克,要配制成含盐8%的盐水,需加水7.5千克。
某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克,要把它配成浓度为25%的硫酸,需要加入浓度为50%的硫酸多少千克?
(1)设需加水
x千克,则
解得x=7.5
(2)设需要加入浓度为50%的硫酸y千克,则
解得y=70
故需要加入浓度为50%的硫酸70千克。
例28
:
有甲、乙两种铜和银的合金,甲种合金含银25%,乙种合金含银37.5%,现在要熔制含银30%的合金100千克,两种合金应各取多少?
设取甲种合金x千克,则需取乙种合金100-x千克,于是
解得x=60
则100-x=40
应取甲种合金60千克,则需取乙种合金40千克.