完整版统计假设检验原理及其在测量中的应用毕业设计Word文档下载推荐.docx
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当从两个正态母体中各自抽取一组字样是，容量分别为n1、n2。
字样方差分别为、，自由度分别为n1-1、n2-1，此时可用F检验法，其中统计量为，
双尾检验时：
单位检验时：
2.4、统计假设检验的两类错误
统计假设检验是以一次事件中的小概率事件不可能发生为前提条件。
虽然这一不可能发生的小概率事件其发生率，但不可能认为它不会发生只不过是发生的几率很小。
比如在选定显著水平=0.05时，原假设成立的几率在95%（是认为=），但还有5%的几率落入拒绝域中。
因此，在进行统计假设检验的时候总有做出错误判断的可能性。
不是不犯错而是犯错的可能性很小。
比如：
原假设备选假设，当原假设为真（即接受原假设），当数值落入拒绝域时的错误为第一类错误，称之为弃真的错误；
当备选假设为真（即接受备选假设），当数值落入接受域时的错误为第二类错误，称之为纳伪的错误。
3、统计假设检验在测量仪器方面的应用
随着测绘技术的快速发展,其研究的内容和范围越来越广，与其相关学科的研究也越来越广泛密不可分。
这对消除或减弱测量误差提出了更高的要求。
想要消除或减弱测量误差，就应该先了解有哪些因素会引起误差的产生。
首先在工作实践中往往总是需要对测量仪器的常数进行检验或对两台测量仪器的测量数据进行检验,以便确定它们的检测的质量是否有存在显著差异。
3.1、仪器常数的检验
现在地面控制边上对测量常数进行检核，一共测了六次（即在定向后前后各测量三次）。
已知当六次测定时，仪器常数互差不超过,则取其平均值作为最或是值。
并按（n为测定仪器常数的次数）对测定值的中误差进行第一次检核评定。
一般在检验时采用服从t分布的统计量。
根据问题的实质作出原假设
统计量为
其概率为
其中
当时，接受原假设H0（即测量仪器常数可靠）；
否则就拒绝原假设H0而接受备选假设H1。
例如:
在某矿近井点后视边上测得陀螺仪器常数六次的均值为。
经用检验法检验观测值服从正态分布。
而在本矿区五个矿井近井点后视边上测得的陀螺仪器常数均值为,试对本次所测常数进行t检验。
解：
根据本矿井六次测定的仪器常数，求得[VV]=108935，则
作出原假设备选假设
在显著水平下，查表得，所以，由于，则原假设H0成立，即本次所测仪器常数经检验可靠。
对仪器的视距常数懂得检验可采用t检验法。
例如：
为测定经纬仪视距常数是否正确，设置一条基线，其长为100m，与视距精度比可视为无误差，用该仪器进行视距测量，量得的长度为：
100.3，99.5，99.7，100.2，100.4，100.0，99.8，99.4，99.9，99.7，100.3，100.2
试检验该仪器视距常数是否正确。
由题意的，
所以有
其中自由度n-1=11，显著性水平，查t分布表得
由于，所以接受原假设H0，即认为在100m左右范围内，视距常数正常。
3.2、仪器精度的检核
方差是用来表明测量的结果的分散程度,它反映了仪器随机误差的大小。
在实际工作中,一般都要求测量数据的分散程度在一定范围之内。
但方差不能仅仅就数值上比较来说明仪器精度谁高谁低。
所以,在对测量仪器精度进行检核时需要在等方差的情况下进行。
下面将从方差的单侧检验和等方差检验两个方面进行检核。
3.2.1、方差的单侧检验
假设最大允许方差为，则可作原假设，备择假设
在合适的显著性水平α下,原假设H0拒绝域为
3.2.2、等方差检验
已知两台仪器的方差分别为和，则可作原假设
在合适的显著性水平α下,原假设H0拒绝域为或
现在有两台测量仪器,测得某一角值如表1所示。
要求最大允许方差为。
检验两台仪器的检测质量有无显著差异。
仪器
测量值
甲
20.5
19.8
19.7
20.4
20.1
20.0
19.0
19.9
乙
20.8
19.4
20.6
19.2
经计算得=19.925，=0.216，=20.00，=0.397,可以看出其测量的结果符合正态分布。
现先定合适的显著性水平定为α=0.05。
a、根据式
计算可得，2台测量仪器都满足最大方差的要求。
b、根据式或计算可得，，查表得，，则有==0.195，因为〈〈，所以接受原假设H0，即两台测量仪器的方差相等。
c、由上面可知两台测量仪器的方差相等，但方差未知，所以现采用
进行检核。
查表得=2.1604.经计算得s=0.5474，则
，所以接受H0，即这两台测量仪器的测量结果无显著差异。
由以上计算可知,这两台测量仪器的检测精度无明显的差异。
4、统计假设检验在数据处理上的应用
通过对测量仪器常数等的假设检验，还不能认为其观测数据完全准确还需要对数据进行处理。
一般通过数理统计的方法剔除偶然误差、系统误差、粗差和参数估计等，以保证测量数据的正确性与合理性。
4.1、对偶然误差的假设检验
在测量中，因观测误差的随机性，其观测数据常常带有偶然的因素，这会对观测数据的正确性和精确性造成影响，为了提高观测数据的精度，首先就应该根据偶然误差的特性来进行假设检验。
偶然误差的四个特性：
一定条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的界限（有限性）；
绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会要多（单峰性）；
绝对值相等的正误差与负误差出现的机率相等，（对称性）；
随着观测次数的无限增加，偶然误差的平均值会趋近趋于零，（抵偿性）。
4.1.1、误差正负号个数的统计假设检验
已知服从二项分布的变量其中当为正时，取，为负时。
由于正负号出现的几率相等，则有，下面做出原假设：
当n很大是，按u检验法则有统计量为：
，；
若以二倍中误差为极限误差，即令（置信度为95.45%），则有或
。
若检验结果，则表示服从二项分布的变量与之间没有显著差异：
否则，就有理由怀疑原假设H0的正确性，即不能认为误差正负号出现的概率为（即误差中可能存在系统误差）
现设误差正负号的个数为，将该式代入
中得
，此时联立得，该式用正负号误差个数之差进行检验的公式。
4.1.2、正负误差分配顺序的检验
有时候在某些时段其正负号个数比例差距较大，但从总体看却又基本相等。
如果仅用上述方法检验，就难以发现是否存在着上述系统性的变化。
因此，就应该对误差是否随时间而发生系统性变化进行检验。
现将一组误差值按某一规则的顺序排列，则为第i个与第i+1个误差的正负号的交替变换，当相邻两个误差的正负号相同时，则与，正负号相反时，则有。
设
为相邻两个误差正负号相同是的个数，设原假设p=q=12，则有统计量，同式的推到过程，可得（是相邻两个误差正负号相反时的个数），如果上式不成立，即否定了原假设p=q=12，即误差可能存在系统性的变化。
4.1.3、误差数值和的检验
现有一组误差的和
，根据偶然误差的特性可知的值应该为零。
所以可作原假设为，备选假设，统计量为，若，则原假设H0成立（即改组误差和为零）。
当n很大时，可以用误差的估值代替，则有
4.1.4、个别误差值的检验
对于误差服从的标准正态分布，取置信度95.45%则有，根据偶然误差的特性，误差值超过某一界限的概率接近零。
有上式知，某一误差，其绝对值的概率为4.55%，是很难发生的事件即小概率事件，所以取为极限误差。
当某一误差的绝对值超过这一界限时，可以把该误差作为粗差处理掉，并把其对应的观测值剔除掉。
已知在某一测区内进行三角测量，一共布设了30个三角型，它们的闭合差分别为：
+1.5、+1.0、+0.8、-1.1、+0.6、+11、+0.2、-0.3、-0.5、+0.6、-2.0、-0.7、-0.8、-1.2、+0.8、-0.3、+0.6、+0.8、-0.3、-0.9、-11、-0.4、-1.0、-0.4、-1.0、-0.5、+0.2、+0.3、+1.8、+0.6、-1.1、-1.3，试对该闭合差进行偶然误差特性的检验。
闭合差，取显著水平
1、正负号个数的检验
，所以满足式
2、正负误差分配顺序的检验
，所以满足式
3、误差数值和的检验
，所以满足
4、最大误差值的检验
本例中时一个绝对值最大的闭合差，如果以二倍中误差为极限误差，，则闭合差超限；
如果以三倍中误差为极限误差，，则无闭合差超限。
4.2、对系统参数的统计检验
在经过偶然误差特性的假设检验后，一些数据存在系统性的变化。
在即测量数据中引入了系统参数，而这些系统参数的引入,往往会改变了原来的平差模型,这就产生一个问题：
是否有必要引入系统误差，如果应该引入,但因为又会增加计算工作量，所以还需要考虑引入系统参数的合理性。
在某些函数模型中,则不会存在上述的问题,比如在方向观测中定向角参数必须引入这是无须讨论的。
而在一些测量问题中,则需要判断其数据是否需要引入相应的系统参数,这就需要采用统计检验的方法。
下面介绍了几种检验方法。
4.2.1、模型合理性的检验
已知平差定权时先验方差为,后验方差为,多余观测数f.
则可作原假设和备择假设是
用统计量检验：
拒绝域是
在引入系统参数后，经过平差后所求得的残差是V而不是,当经过计算后用V判断，如果原假设HO成立,则可认为引入系统参数是合理的。
如果原假设H0不成立,则用代替V作同样的检验,若HO成立,那么就表示不应引入系统参数;
用代替V作同样检验，若H0不成立，则就表示要考虑引入,但需要通过调整BY项来引入合适的系统参数。
4.2.2、系统参数必要性的检验
已知,通过计算，得,为原模型多余观测数。
经过带有系统参数的平差后求得,相应的多余观测数是，与是非随机独立,设
或
R=
计算，R与随机独立，检验
F=
拒绝域是F>
引入系统参数后，根据平差的结果，判断是否比原模型存在有显著差异。
若接受H0,则没有显著性差异表示引入即并不一定必要；
若接受Hl,则有现在行差异即表示能够引入。
4.2.3、单个系统参数的期望是否为零的检验
拒绝域为
观测方程中是否包含单个系统参数的检验
如果以上两项检验结果原假设H0都成立,则没有必要引进该参数。
4.2.4、一组系统参数（g个）期望是否为零的检验
4.3、对粗差的统计假设检验
上面介绍了偶然误差的特性,可知当误差超过某一限值时，其概率接近于零。
服从正态分布的误差,其绝对值大于3的概率为0.26%,这是一个小概率事件,即
因此,可取3为极限误差。
当哪个误差的绝对值超过3时,可将那个误差作为粗差处理，并将与之相关的观测数据剔除。
一般在实际作业中,经常会根据平差计算中观侧值改正数的大小进行判断来对观侧值粗差的检验。
例如,四等三角测量的测角中误差为,其观测数据在经过平差处理后，发现某一个角度改正数的绝对值超过3m（即）可认为该角度观测可能存在粗差。
当在一个平差系统中只存在一个粗差，则可以采用荷兰巴尔达教授在下面以间接平差来说明数据探测法的原理。
其误差方程式为
将和代入上式得到式子
式中
由此可见R值取决于系数阵B和权阵P它与观测值无关。
令
则式可以写出
由于R=0所以上式的n个改正数，不能解算出n个
对式两边去数学期望的
由此可见，当仅是偶然误差是，,古，V是的线性函数，V和的概率相同啊，因此当是偶然误差式，V可作为正太随机变量，其期望为零，方差。
数据探测法的原假设为，即观测值不存在粗差，考虑，则采用u检验法，统计量为
如果，则否定H0，即，可能存在粗差。
4.4、对平差参数的统计假设检验
在测量中，还要检核所求参数是否正确用以验证所求的参数是否满足“一定的条件”；
或着检验所求的参数是否与“一定的条件”之间有着某种相互间影响的关系。
所以要检核一般检验平差后的某个参数与某个“一定的条件”的差异是否显著，则可作原假设和备选假设为
如果一个平差问题中有k个参数需要进行上述检验，即
，
4.4.1、平差参数显著性检验（以间接平差为例）
参数显著性检验常用的方法有μ检验法、t检验法等。
μ检验法：
当已知时，可采用μ检验法。
统计量为拒绝域为
t检验法：
当未知时，可采用μ检验法。
例：
如图所示的水准网中，A，B，C为已知高程点，其高程HA=6.016m,HB=6.016m,Hc=7.045m,P1，P2为待测点。
经过实地踏勘，怀疑C点可能发生了移动，因此在平差时便将C点作为未知点处理，设P1，P2，C三点的坐标为未知数，经过间接评差后得到如下结果：
试在α=0.05的水平下检验C点高程点是否发生了变化。
做如下假设
则有：
所以拒绝原假设H0，接受备选假设H1（即C点发生了变动）。
因此经过检验得出C点发生了变动，其原有的高程点数据不能作为起算数据，应该将其当多未知点处理。
4.4.2、两个对立平差系统的同名参数差异性的检验
设对控制网进行了不同时刻的两期观测，分别平差获得同名点坐标X的两期平差结果为：
第一期
第二期
试检验这个同名点坐标两期平差所得的平差值之间是否存在差异。
一般地设原假设：
备选假设：
在H0成立情况下，t分布的统计量为
自由度拒绝域
如左图所示，A，B为已知高程点，P1，P2为待定点，1988年进行第一次观测，采取间接平差法，选取P1，P2点的高程为参数，平差结果如下
1992年采用与第一次同样的观测方法和平差方法，对该网进行第二次观测、平差，平差后得如下有关结果
因为网形不变、观测精度不变，因此误差方程系数阵B和观测值的权阵P也不变，故参数的协因数阵仍为
试检验两次所得的同一点的平差高程参数有无显著的差异。
使用的统计量对于同一个但不同次平差参数的差异检验，可使用如下统计量
和分别是两次观测的控制网的自由度（多余观测数）
设：
计算统计量
点：
p1点在1988～1992年间其高程有显著变化；
而p2点在1988～1992年间其高程没有显著变化。
4.5、对单位权方差的假设检验
为了能够满足控制网的平差结果是否达到“规范”的需要或工程需要，通常会在网平差计算过程解算观测值或未知数的平差值后,还会对某些观测值的精度进行精度评定。
许多案例在经过控制网平差后其最弱相邻点相对点位中误差能满足规范的要求，但单位权方差估值却常常会超限，又因为单位权方差是衡量控制网精度的基本指标之一，所以要衡量每个观测值的精度,就必须先求得单位权方差估值（即）,然后根据求得各观测值的中误差。
4.5.1、单位权方差估值超限的原因
已知观测值的真误差,则有单位权方差的计算公式为:
由于在实际作业中观测值的个数n总是有限的,而且大多数情况下观测值的真误差都是未知的,因此,我们只能求出的估值（下文记为）:
由可知是由观权P及改正数V等计算而的。
因此,当出现定权不合理、观测值精度不高等时,都可能会引起超限,此时所求的不是单位权方差的最优无偏估计量,而会带有一定的偏差，会对参数改正数和函数精度造成影响，从而对控制网的精度和测量成果不好的影响。
以下归纳出三条超限的主要原因归纳如下:
1.观测值带有系统误差和粗差;
2.观侧值定权的的不合理;
3起算数据存在系统误差。
当超限时,应当认真分析其超限原因,合理采用适当的方法对超限成果作进行处理。
这就需要数理统计——假设检验的方法进行检核。
4.5.2、定权合理性的假设检验
已知权
在导线网或边角网的平差中,边长和角度观测值的定权公式为:
在实际工作中,一般是以角度观测的方差估值为单位权方差,即,则有
平差前,必须合理地确定观测值的权,才能在平差中求得边角观测值的最优无偏估计量,否则严密平差仅能保持表面上的严密性。
由知,观测值的权的确定是通过边长和角度的方差估值算得的,通常称这些方差估值为先验值。
根据式子，可以看出不同的先验值会得到不同的平差结果。
如果观测值的权不正确,就会导致边长或角度改正数异常,从而会引起单位权方差估值超限。
因此在平差过程中，当超限时,我们不仅需要对观测值进行系统误差和粗差的检验,还需对定权的合理性进行假设检验。
检验的步骤：
已知为测角的母体方差,则设为定权时给定的测角方差,可作原假设，用检验法进行检验。
当成立时,表明即测角的母体方差,否则与没有关系。
4.5.3、起算数据统一性的假设检验
由于多年来人类的活动和自然因素的影响,致使某些起算数据精度不高,相互之间存在显著的矛盾,用于平差计算时会严重损害平差质量成果。
因此,当超限时,经过检验证明如果不是观测值精度和定权的问题,可通过分组平差的方法对起算数据的进行假设检验，分析是否是因为起算数据不正确的因素。
分组平差的统计假设检验的步骤：
首先将与起算数据无关的条件和与起算数据有关的的条件分别列为第一组（记为子样一，其条件式的个数为）、第二组（记为子样二，其条件式的个数为），然后将这两组分别平差求得、和、。
已知设，
统计量
在适当的显著水平下，有自由度和查取分位值，若，则原假设成立，即起算数据无显著差异；
否则起算数据有显著差异。
5、统计假设检验在控制网中的应用
5.1、统计假设检验在控制网失稳起算点钟的应用
在建筑物生产建设过程中,由于地壳运动、人为破坏等影响,许多地面控制点可能发生了位移,对于这些可能发生位移的点,只有在充分验证没有发生位移,才能做为新的测量工作的起算数据。
一般可采用统计假设检验的F检验法检验两正态母体方差是否相等
下面是以某一测区布设的控制网为例（如下图）。
通过实地勘察因通视条件布设成一个单独的网,进行施测,然后解算。
控制网网以A、B、C为起算点。
在控制网中，其中三个已知点A、B、C中，B、C两个已知点均为稳定点，可以统计假设检验的方法检验A点是否稳定。
步骤如下：
首先以三点中任意两点（我们取A、B）之坐标做为起算数据进行自由网平差，其中条件方程式的个数为，经计算得单位权中误差和；
然后以A、B、C三点的坐标做为起算数据进行平差解算。
因为增加了两个强制附合条件。
所以将自由网个条件做第一组（记为子样一，）,两个强制附合条件作第二组（记为子样二）按分组平差的放法进行平差，计算出此时的单位权中误差和；
最后根据子样一的中误差,是按自由网平差得到,与起算数据无关,子样二的中误差与起算数据有关知：
“如果C是稳定的,没有位移,则起算数据间没有显著矛盾,子样一和子样二应来自同一母体,它们的母体方差应相同,即E（）=E（）。
所以可设两个子样的母体方差为E（）和E（）数学期望E（）和E（），统计量：
，在适当的显著水平下，自由度，，查F分布表得，比较与F的大小：
F<
则接受原假设，即起算数据（三个已知点）间没有显著差异
F>
则拒绝原假设，即起算数据（三个已知点）间有显著差异
一般而言，如果在一测区内有若干已知点，已知有两个或两个以上的已知点是稳定的，其余已知点不能确定是不是稳定的，那么在缺乏充分的外业数据检核的条件下都可以用以上方法检验这些不能确定是否稳定的已知点。
其基本步骤是“从控制网中选取2个稳定的已知点和一个需要检核是否稳定的已知点，然后根据上面例子中的步骤进行检核（若不确定是否稳定的已知点数目在一个以上，则需要对这些已知点分别检验）。
5.2、统计假设检验对控制网稳定性的检验
一般在某一测区都存在控制网，有时由于测量目标的自重、使用中的动荷载、震动等因素的影响，会对控制网造成影响。
所以在目标区域建立控制网时，必须选取稳定的控制点进行构建。
下面将会对秩亏自由网通过平差解算和F检验进行其稳定性的检验。
5.2.1、秩亏自由网平差的原理
对于一个经典平差，当缺少其必要的起算数据时，则称其为秩亏自由网。
其解算步骤如下：
在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为
式中系数阵为列满秩矩阵，其秩为。
在最小二乘准则下得到的法方程为
由于其系数阵的秩为
，所以为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆，因此具有唯一解，即
当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u，误差方程为
式中
为必要的起算数据个数。
尽管增加了个参数，但的秩仍为必要观测个数，即
其中为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为。
组成法方程
式中，且
，所以也为秩亏阵，秩亏数为：
由上式知，起算数据的个数是指控制网的秩亏数，所以有：
在控制网秩亏的情况下，法方程没有唯一解（即仅满足最小二乘准则，仍无法像经典自由网一样求得的唯一解），这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。
所以有必要增加新的约束条件，来求得秩亏自由网的唯一解。
附加约束条件的解算步骤主要有两种：
a附加参数极值函数，用
升级会员 