高考数学理新课标版考前冲刺复习课件+讲义+练习第3部分一考前学会7种审题方法文档格式.docx
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[跟踪训练]
1．（2016·
太原模拟）已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a＝2csinA.
（1）求角C；
（2）若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．
[解]
（1）由a＝2csinA及正弦定理得，
sinA＝2sinCsinA，
因为sinA≠0，所以sinC＝，
因为△ABC是锐角三角形，所以C＝.
（2）因为C＝，△ABC的面积为，
所以absin＝，即ab＝6.①
因为c＝，由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，
即（a＋b）2＝3ab＋7.②
将①代入②得（a＋b）2＝25，故a＋b＝5.
二 审结论
问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．
（满分12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
（1）证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）证明：
＋＋…＋<
.
（1）要证是等比数列⇔需证为常数
结论
（2）要证＋＋…＋<
[规范解答]
（1）由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.（2分）
又a1＋＝，
所以是首项为，公比为3的等比数列．
（4分）
所以an＋＝，
因此{an}的通项公式为an＝.（5分）
由
（1）知＝.
因为当n≥1时，3n－1≥2×
3n－1，
所以≤.（8分）
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋
＝<
.（11分）
所以＋＋…＋<
.（12分）
数列判断及数列不等式证明的步骤
通过赋值求特殊项．
变换递推关系，转化为“an＋1＋C＝A（an＋C）”或“an＋1－an＝d”，再利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）确定通项公式an，但要注意等式成立的条件，同时要验证n＝1时，通项公式an是否成立．
若所证数列不等式两边均是整式多项式，可以借助比较法；
若所证数列能够求和，且所证不等式与和式有关，可先求出其和，再借助放缩法证明等．
得出所求证的结论．
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且点（2，a2），（a7，S3）均在直线x－y＋1＝0上．
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）设bn＝，Tn＝2b1·
2b2·
…·
2bn，证明Tn<
2.
[解]
（1）设等差数列{an}的公差为d.
由点（2，a2），（a7，S3）均在直线x－y＋1＝0上，得
又S3＝a1＋a2＋a3＝3a2，所以a7＝8.
所以
所以an＝n＋1，Sn＝.
bn＝＝＝－.
令Pn＝b1＋b2＋…＋bn，则Pn＝1－＋－＋…＋－＋－＝－－，
因为n∈N*，
所以Pn<
，
所以Tn＝2b1·
2bn＝2b1＋b2＋…＋bn＝2Pn<
2，所以Tn<
三 审结构
结构是数学问题的搭配形式，某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系．审视结构要对结构进行分析、加工和转化，以实现解题突破．
（满分12分）已知函数f（x）＝sin（x＋θ）＋acos（x＋2θ）．若a＝，θ＝.
（1）求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；
（2）在△ABC中，若f＝，f＝，求cosC的值．
（1）
[规范解答]
（1）f（x）＝sin＋cos
＝（sinx＋cosx）－sinx
＝cosx－sinx＝sin.（3分）
因为x∈[0，π]，所以－x∈.
故f（x）在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.
（6分）
（2）由f（x）＝sin，f＝，
f＝，知sinA＝<
，cosB＝<
所以0<
A<
或π<
π，B>
.（9分）
又因为在△ABC中，所以0<
，（10分）
所以cosA＝，sinB＝，
所以cosC＝－cos（A＋B）＝－.（12分）
三角函数的性质及求值问题的步骤
三角函数式的化简，一般化成y＝Asin（ωx＋φ）＋h的形式或y＝Acos（ωx＋φ）＋h的形式．
将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题或确定其范围．根据性质确定出f（x）的最值．
根据三角函数的和、差角公式及三角形的内角和求出某个角的三角函数值．
3．（2016·
青岛模拟）已知函数f（x）＝sin2ωx－sin2（x∈R，ω为常数且<
ω<
1），函数f（x）的图象关于直线x＝π对称．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，f＝，求△ABC面积的最大值．
[解]
（1）f（x）＝sin2ωx－sin2
＝－
＝－cos2ωx
＝＝sin.
由函数f（x）的图象关于直线x＝π对称，可得
sin＝±
1，
所以2ωπ－＝kπ＋（k∈Z），即ω＝＋（k∈Z），
因为ω∈，k∈Z，所以k＝1，ω＝.
所以f（x）＝sin，
则函数f（x）的最小正周期T＝＝.
（2）因为f（x）＝sin，
所以f＝sin＝，
所以sin＝.
因为0<
π，所以－<
A－<
所以A－＝，A＝.
因为a＝1，所以1＝b2＋c2－2bccos＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤1，当且仅当b＝c时取等号，
所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤，
所以△ABC面积的最大值为.
四 审范围
范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件．审视范围要适时利用相关量的约束条件，从整体上把握问题的解决方向．
（满分12分）已知函数f（x）＝lnx＋a（1－x）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
（1）f（x）f′（x）f′（x）的正负―→结论．
（2）由
（1）知―→f（x）的最值lna＋a－1＜0g（a）―→a的范围．
[规范解答]
（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝－a.（1分）
若a≤0，则f′（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增．
（3分）
若a＞0，则当x∈时，f′（x）＞0；
当x∈时，f′（x）＜0.所以f（x）在上单调递增，在上单调递减．（6分）
（2）由
（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上无最大值；
（7分）
当a＞0时，f（x）在x＝处取得最大值，最大值为
f＝ln＋a＝－lna＋a－1.（9分）
因此f＞2a－2等价于lna＋a－1＜0.（10分）
令g（a）＝lna＋a－1，则g（a）在（0，＋∞）上单调递增，
g
（1）＝0.
于是，当0＜a＜1时，g（a）＜0；
当a＞1时，g（a）＞0.
因此，a的取值范围是（0，1）．（12分）
求解函数的单调性、最值、极值问题的步骤
确定函数的定义域．如本题函数定义域为（0，＋∞）．
求函数f（x）的导数f′（x）．
求方程f′（x）＝0的根．
利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格．
由f′（x）在小开区间的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性，求极值、最值．
第六步：
明确规范地表述结论．
第七步：
4．（2016·
合肥模拟）已知函数f（x）＝ex－xlnx，g（x）＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的图象在点（1，f
（1））处的切线方程；
（2）若g（x）≥f（x）对任意x∈（0，＋∞）恒成立，求t的取值范围．
[解]
（1）由f（x）＝ex－xlnx易知f′（x）＝e－lnx－1，则f′
（1）＝e－1，而f
（1）＝e，
则所求切线方程为y－e＝（e－1）（x－1），
即y＝（e－1）x＋1.
（2）因为f（x）＝ex－xlnx，g（x）＝ex－tx2＋x，t∈R，
所以g（x）≥f（x）对任意x∈（0，＋∞）恒成立等价于ex－tx2＋x－ex＋xlnx≥0对任意x∈（0，＋∞）恒成立，
即t≤对任意x∈（0，＋∞）恒成立．
令F（x）＝，
则F′（x）＝
＝（ex＋e－－lnx），
设G（x）＝ex＋e－－lnx，
则G′（x）＝ex－－
＝>
对任意x∈（0，＋∞）恒成立．
所以G（x）＝ex＋e－－lnx在（0，＋∞）上单调递增，且G
（1）＝0，
所以当x∈（0，1）时，G（x）<
0，当x∈（1，＋∞）时，G（x）>
0，
即当x∈（0，1）时，F′（x）<
0，当x∈（1，＋∞）时，F′（x）>
所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
所以F（x）≥F
（1）＝1，
所以t≤1，即t的取值范围是（－∞，1]．
五 审图形
图形或者图象的力量比文字更为简洁而有力，挖掘其中蕴涵的有效信息，正确理解问题是解决问题的关键.对图形或者图象的独特理解很多时候能成为问题解决中的亮点．
（满分12分）（2016·
高考全国卷甲）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.
（1）证明：
D′H⊥平面ABCD；
（2）求二面角BD′AC的正弦值．
[规范解答]
（1）证明：
由已知得AC⊥BD，AD＝CD.
又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.（1分）
因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6得
DO＝BO＝＝4.（2分）
由EF∥AC得＝＝.
所以OH＝1，D′H＝DH＝3.（3分）
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，
故D′H⊥OH.（4分）
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，
所以D′H⊥平面ABCD.（5分）
（2）如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz.则H（0，0，0），A（－3，－1，0），B（0，－5，0），C（3，－1，0），D′（0，0，3），＝（3，－4，0），＝（6，0，0），＝（3，1，3）．
设m＝（x1，y1，z1）是平面ABD′的法向量，则
即
所以可取m＝（4，3，－5）．（8分）
设n＝（x2，y2，z2）是平面ACD′的法向量，则即
所以可取n＝（0，－3，1）．（10分）
于是cos〈m，n〉＝＝＝－，
sin〈m，n〉＝.
因此二面角BD′AC的正弦值是.（12分）
空间角计算问题的答题模板
作出（或找出）具有公共交点的三条相互垂直的直线．
建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标．
求（或找）所需的方向向量、平面的法向量．
求方向向量与法向量的夹角．
将夹角转化为所求角．
反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范．
5.
（2016·
郑州市第二次质量检测）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°
，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.
（1）求证：
AD⊥平面BFED；
（2）点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．
[解]
（1）证明：
在梯形ABCD中，
因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°
所以AB＝2，
所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·
AD·
cos60°
＝3.
所以AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BD.
因为平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，DE⊂平面BFED，DE⊥DB，
所以DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AD，又DE∩BD＝D，所以AD⊥平面BFED.
由
（1）可分别建立以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示，令EP＝λ（0≤λ≤），则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），P（0，λ，1），
所以＝（－1，，0），＝（0，λ－，1）．
设n1＝（x，y，z）为平面PAB的法向量，
由，得，
取y＝1，则n1＝（，1，－λ），
因为n2＝（0，1，0）是平面ADE的一个法向量，
所以cosθ＝＝＝.
因为0≤λ≤，所以当λ＝时，cosθ有最大值，
所以θ的最小值为.
六 审图表、数据
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．
（满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
图①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
2
8
14
10
6
（1）在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
图②
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？
说明理由．
（1）频数分布表―→频率―→频率/组距―→直方图―→结论．
（2）直方图―→频率―→概率―→结果．
[规范解答]
（1）如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；
B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．（6分）
（2）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件：
“A地区用户的满意度等级为不满意”；
CB表示事件：
“B地区用户的满意度等级为不满意”．
（8分）
由直方图得P（CA）的估计值为（0.01＋0.02＋0.03）×
10＝0.6，P（CB）的估计值为（0.005＋0.02）×
10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
（12分）
求解概率统计问题的步骤
读图，定范围．读取频率分布直方图中的相关数据，横轴对应着组距，纵轴对应着，以及各个小长方形的高度．确定所求问题涉及的数据的取值范围，根据频率分布直方图确定数据所在的各个区间．
分段求解．由频率分布直方图的性质，各个小长方形的面积表示数据落在该区间内的频率，分别求出各个数据落在各个区间内的频率．
定结果．数据落在指定范围内的频率等于数据落在这些区间内的频率之和，然后根据频率的性质求解相关的数据．
算概率．计算基本事件总数n，事件A包含的基本事件数m，代入公式P（A）＝.
6．（2016·
河南省八市重点高中质量检测）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：
厘米）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在[50，60），[90，100]的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（2）在选取的样本中，从高度在80厘米以上（含80厘米）的植株中随机抽取3株，设随机变量X表示所抽取的3株高度在[80，90）内的株数，求随机变量X的分布列及数学期望．
[解]
（1）由题意可知，样本容量n＝＝50，y＝＝0.004，
x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.
（2）由题意可知，高度在[80，90）内的株数为5，高度在[90，100]内的株数为2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）内的株数X的可能取值为1，2，3，则
P（X＝1）＝＝＝，
P（X＝2）＝＝＝，
P（X＝3）＝＝＝.
所以X的分布列为
X
1
3
P
所以E（X）＝1×
＋2×
＋3×
＝.
七 审方法
数学思想是问题的主线，方法是解题的手段．审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题的解决事半功倍．审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍．
（满分12分）已知椭圆C：
＋＝1（a>
b>
0）的左焦点为F（－2，0），离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．
（1）焦点，离心率―→c，a的值―→b的值―→椭圆的标准方程．
（2）▱OPTQ→S▱OPTQ＝2S△OPQ↔S△OPQ＝|OF||y1－y2|↔y1和y2关系↔直线PQ的方程与椭圆C的方程联立．
[规范解答]
（1）由已知可得，＝，c＝2，所以a＝.
又由a2＝b2＋c2，解得b＝，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.（4分）
（2）设T点的坐标为（－3，m），
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.（5分）
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．（7分）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得（m2＋3）y2－4my－2＝0，（8分）
其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>
0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m（y1＋y2）－4＝.（9分）
因为四边形OPTQ是平行四边形，
所以＝，即（x1，y1）＝（－3－x2，m－y2）．
解得m＝±
1.（10分）
此时，四边形OPTQ的面积
S四边形OPTQ＝2S△OPQ＝2×
·
|OF|·
|y1－y2|
＝2＝2.（12分）
圆锥曲线综合问题的答题模板
由已知条件写出曲线方程．
联立方程，得出关于x或y的一元二次方程．
写出根与系数的关系，并求出Δ>
0的参数范围（或指出直线过曲线上一点）．
根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2（或y1y2，y1＋y2）的关系式，求得结果．
反思回顾，查看有无忽略特殊情况．
7．（2016·
贵州省适应性考试）已知椭圆G：
0）在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，∠F1MF2＝120°
，△MF1F2的面积为.
（1）求椭圆G的方程；
（2）过椭圆G长轴上的点P（t，0）的直线l与圆O：
x2＋y2＝1相切于点Q（Q与P不重合），交椭圆G于A，B两点．若|AQ|＝|BP|，求实数t的值．
[解]
（1）由椭圆性质，知|MF2|＝a，
于是c＝asin60°
＝a，b＝acos60°
＝a.
所以△MF1F2的面积S＝·
2c·
b＝·
a·
a＝，
解得a＝2，b＝1.
所以椭圆G的方程为＋y2＝1.
（2）显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为y＝k（x－t）．
由于直线l与圆O相切，则圆心O到l的距离d＝＝1，即k2t2＝k2＋1.①
联立，化简得（1＋4k2）x2－8tk2x＋4（t2k2－1）＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1＋x2＝.
设Q（x0，y0），有，解得x0＝.
由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1＋x2＝t＋x0.
因此＝t＋，化简得k2＝，
将其代入①式，可得t＝±
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