完整版初中列方程解应用题行程问题专题文档格式.docx
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1000
【等量关系式】火车Imin行驶的路程二桥长+火车长;
火车405行驶的路程二桥长-火车长
举一反三：
1.小感和学校相距15^/0小明从家出发到学校，小明先步行到公共汽车站，步行的速度为60∕∏∕mm,再乘公共汽车到学校，发现比步行的时间缩短了20min,已知公共汽车的速度为40W/1,求小明从家到学校用了多长时间。
2.根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项Ll建成后，连云港至徐州的最短客运时间山现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260Qn求提速后的火车速度。
（精确到∖km∕h）
3.徐州至上海的铁路里程为650km,从徐州乘”C“字头列车A,”D”字头列车B都可直达上海，已知A车的速度为B车的2倍，且行驶的时间比B车少2・5力•求A车的速度及行驶时间。
（同学们可能会认为这是双人行程问题，其实这题的类型可归结于例1的类型，把B车的速度看成是A提速后的速度，是不是也可看成单人单程的问题呀！
）
4・一列匀速前进的火车用15秒的时间通过了一个长300米的隧道（即从车头进入隧道到车尾离开隧道）。
乂知其间在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束
光垂直照射火车秒，（光速=3x10"
/”/s）
1）求这列火车的长度
2）如果这列火车用25秒的时间通过了另一个隧道，求这个隧道的长
汽车下坡用了护，回来时走平路用了秸，而回来时总共用了6d则学校到自
然保护区的距离为（x+y）kmo
【等量关系式】去时走平路用的时间+去时爬坡用的时间二去时用的总时间回来时走平路用的时间+回来时爬坡用的时间二回来时用的总时间
注：
单人双程的行程问题抓住来时的路程二回时的路程、路程二速度X时间,再把单人单程的行程问题练练熟就okT，题型跟单人单程的题型差不多，把上面的例题弄懂，这里就不多做练习了。
3.双人行程：
（I）单块应用：
只单个应用同向而行或背向而行或相向而行或追击问题。
1）同时同地同向而行：
A,B两事物同时同地沿同一个方向行驶
例：
屮车的速度为60km∕h,乙车的速度为Sokm/h,两车同时同地出发，同向而行。
经过多少时间两车相距280
【分析】如果设经过X〃后两车相距280如7,则甲走的路程为60Xkm,乙走的路程为80赵：
〃?
，根据题意可画出如下示意图：
80xkm
乙!
ι^—小：
甲F60xfan——"
280kh
【等量关系式】屮车行驶的距离+280二乙车行驶的距离
【列出方程】60x+280=280x
2）同时同地背向而行：
A,B两事物同时同地沿相反方向行驶
屮车的速度为60km∕h,乙车的速度为SOkmfh,两车同时同地出发，背向而行。
经过多少时间两车相距280km.
【分析】如果设经过后两车相距280灯小则屮走的路程为60Xkm,乙走的路程为80Xkm,根据题意可画出如下示意图：
甲乙
严60xkm∙∣∙80xkm气
280km
【等量关系式】屮车行驶的距离+乙车行驶的距离二280
【列出方程】60.v+80x=280
3）同时相向而行（相遇问题）：
屮，乙两人在相距10如?
的A,B两地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，两人同时处发1・5〃后相遇，求甲，乙两人的速度。
【分析】如果设甲的速度为Xkmlh9则乙的速度为Ixkmlh9甲走过的路程为1.5xkm9乙走过的路程为1.5X2xkm,根据题意可ISl出如下示意图:
4）追及问题：
一对学生从学校步行去博物馆，他们以5km∕h的速度行进24mm后，一名教师骑自行车以∖5km∕h的速度按原路追赶学生队伍。
这名教师从出发到途中与学生队伍会合共用了多少时间
【分析】如果设这名教师从出发到途中与学生队伍会合共用了X爪则教师走过的路程为15xkm,学生走过的路程为教师出发前走过的路程加上教师出发
后走过的路程，而学生在教师出发前走过的路程为5×
-km,学生在教师出发后60
走过的路程为5λ⅛,乂山于教师走过的路程等于学生走过的路程。
根据题意可画出如下示意图：
教师［V15XknI-•气
【等量关系式】教师走过的路程二学生在教师出发前走过的路程+学生在教师出发后走过的路程
【列出方程】15x=5×
∣⅛+5x
60
5）不同时同地同向而行（与追击问题相似）：
甲，乙两人都从A地出发到B地，屮出发□后乙才从A地出发，乙岀发3力后甲,乙两人同时到达B地,已知乙的速度为50km∕h,问，甲的速度为多少
【分析】如果设屮的速度为XkmHu则乙出发前屮走过的路程为xkm.乙出发后屮走过的路程为3xkg屮走过的路程等于乙岀发前屮走过的路程加上乙岀发后甲走过的路程，而乙走过的路程为50x3^7,中走过的路程等于乙走过的路程。
根据题意可画岀如下示意图：
HJlVXkm气・~3xkm气
50X3km气
【等量关系式】乙走过的路程二乙出发前屮走过的路程加上乙出发后屮走过的路程
【列出方程】50×
3=x+3x
6）不同时相向而行
屮，乙两站相距448—列慢车从甲站出发，速度为60km/一列快车从乙站岀发，速度为∖00km∕ho两车相向而行，慢车先出发32min,快车开出后多少时间两车相遇
【分析】如果设快车开出后X力两车相遇，则慢车走过的路程为
60x+60×
—kmT快车走过的路程为IOOXkmo根据题意可画出如下示意图：
60
慢车趣茅"
〒60去〒IOOXJ快车
X
448km
【等量关系式】总路程二快车出发前慢车走过的路程+快车出发后慢车走过的路程+快车走过的路程
32
【列出方程】448=60×
-+60λ+100x
涉及此类问题的还有同时不同地同向而行、不同时不同地背向而行、不同时不同地同向而行、不同时不同地背向而行，与上面解法类似，只要画出示意图问题就会迎刃而解，就不再一一给出解答了，此类问题会在后面练习中给岀习题。
（∏）结合应用：
把同向而行、背向而行、相向而行、追击问题
两两结合起来应用。
D相向而行+背向而行
A,B两地相距36km,小明从A地骑自行车到B地，小丽从B地骑自行车到A地，两人同时出发相向而行，经过M后两人相遇；
再过0.5方，小明余下的路程是小丽余下的路程的2倍。
小明和小丽骑车的速度各是多少
【分析】如果设小明骑车的速度为I小丽骑车的速度为y,相遇前小明走过的路程为X,小丽走过的路程为〉，；
相遇后两人背向而行，小明走过的路程为
0.5x,小丽走过的路程为O.5yo根据题意可画出如下示意图:
小丽小明
【等量关系式】相遇前小明走过的路程+相遇前小丽走过的路程二总路程
相遇后小明余下的路程二2X相遇后小丽余下的路程
【列出方程组】
x+y=36
y-0.5X=2×
（x-0.5y）
2）同向而行+相向而行
例^一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合。
1号队员从离队开始到与其他队员重新会合，经过了多长时间
【分析】曲题意“1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后
掉转车头”可知1号队员从离队到调转车头前的时间为—//,不妨设1号队员从45
调转车头到与其他队员重新回合的时间为Xho根据题意可画出如下示意图：
所有队员I
1号队员I
IOkm
【等量关系式】1号队员从离队到调转车头这段时间所有队员走的路程+1号队员从调转车头到与其他队员重新回合这段时间内所有队员走的路程+1号队员从调转车头到与其他队员重新回合这段时间内1号队员走的路程=10。
【列出方程】35×
-+35x+45x=10
45
涉及此类问题的还有同向而行+相背而行.追及+同向而行、追及+相背而行、追及+相向而行，只要把它们分成单个类型，按照题意一步一步求解，这里就不一一举例了，此类问题会在后面练习中给出习题。
1.甲，乙两人从楼底爬楼梯到楼顶，屮平均每分钟爬楼梯40级，乙平均每分钟爬楼梯50级，甲先出发2min,结果两人同时到达楼顶。
问从楼底到楼顶共有楼梯多少级
乙两人相距4伽,
2屮，乙两人在相距IOOm的两地相背而行，30min后屮,已知屮的速度为60/77/min,求乙的速度。
3•小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米，（1如果他们站在白米跑道的两端同时相向起跑，那么儿秒后两人相遇
（2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，儿秒后小明能追上小彬。
4•一队学生去校外进行军事野营训练。
他们以Skmlh的速度行进，走了18min的时候，学校要将一个紧急通知传给队长。
通讯员从学校岀发，骑自行车以14^///7的速度按原路追上去，队长出发后经过多少时间接到通知
5•两辆汽车同时从A地岀发，沿一条公路开往B地。
屮车比乙车每小时多行
8千米，甲车比乙车早40分钟到达途中的C地，当乙车到达C地时，甲车正好到达B地。
已知C至B地的路程是40千米，求乙车每小时行多少km
B两地相距450km,甲，乙两车分别从A,B两地同时岀发，相向而行。
已知屮车速度为∖20km∕h,乙车速度为SOkm/h,经过多少小时两车相距50km0
7.甲乙两车同时从A地出发，在相距900千米的AB两地间不断往返行驶。
已知屮车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米。
请问：
（1）甲车第一次从后面追上乙车是在出发后多长时间
（2）屮车在第一次从后面追上乙车之后乂经过多长时间第二次从后面追上乙车
（3）屮乙两车笫二次迎面相遇是在岀发后多长时间
4.行程问
乍一看，题口中就时间已知，速度、路程都未知，此类问题同学们做起来觉得无从下手。
其实只要把路程看做单位“L（至于为什么，结合以下例题讲解）,这就相当于把行程问题转化为工程问题。
屮开汽车从A地到B地需要6孙乙开汽车从A地到B地需要4爪如果甲，乙两人分别从A,B两地出发，相向而行，经过多少小时后两车相遇。
【分析】题Ll中就时间已知，速度、路程都未知，有些同学想如果知道A与
B的距离，就可以得出A与B的速度，那么问题就迎刃而解了，可是路程未知呀！
是不是路程无论取什么值，都经过相同的时间两车相遇呢为此，我们不妨设A与B的距离为α,经过"
后两车相遇。
我们可以立马得出关系式：
£
xx+£
XX=可以把两边的“消去，得到方程-+-=1,立马得出X=-O
64645
说明路程无论取什么值，都经过相同的时间两车相遇。
遇到类似问题，我们往往把路程看做单位“1”。
1.甲从A地到B地需要3/?
乙从A地到B地需要4力，甲，乙两人同时从A地岀发，甲先到达B地后掉头向A方向行驶，问，甲，乙两人从A地同时出发到两人相遇需要多长时间
2•甲开汽车从A地到B地需2爪乙骑摩托车从B地到A地需％。
如果乙骑摩托车从B地出发往A地，M后屮开汽车从A地往B地，那么甲出发多少时间与乙相遇
5.环形跑道问题：
环形跑道问题也是形成问题的一种，环形跑道问题就是闭路线上的追击问题。
在环形问题中，若两人所走同时同地出发，同向而行，当第一次相遇时，两人所走路程差为一周长；
相向而行，笫一次相遇时，两人所走路程和为一周长。
运动场跑道周长400〃?
，小红跑步的速度是爷爷的？
倍，他们从同一
3
地点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次追上了爷爷。
你知道他们的跑步速度吗那是不是再过5min两人第二次相遇呢如果不是，请说明理山；
如果是，用方程式表示。
【分析】不妨设爷爷的跑步速度为X加/min,则小红的跑步速度为-Xw∕nιiιι3
【等量关系式】小红跑的路程一爷爷跑的路程二40Onl
【列出方程】5×
∣x-5x=400
再过5min两人第二次相遇，用上面那个方程式就可以表示出来。
屮，乙两车分别以均匀的速度在周长为600〃?
的圆形轨道上运动。
屮车的速度较快，当两车反向运动时，每15$相遇一次;
当两车同向运动时，每Imin相遇一次，求两车的速度。
【分析】设甲，
【等量关系式】
乙两车的速度分别为Xm/S和ymISc
同向而行屮所走的路程-同向而行乙所走的路程二一周长反向而行屮所走的路程+同向而行乙所走的路程二一周长
15x-1Sy=600
60X+60y=600
1.甲，乙两人在周长400/r?
的环形跑道上竞走，已知乙的速度是80/h/min,屮的速度是乙的倍，乙在甲前100/nO问多少分钟后，屮可以追上乙
2.ψ,乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，相向而行，每隔2min相遇一次;
同向而行，每隔6min相遇一次。
已知屮比乙跑得快，求甲，乙两人每分钟个跑儿圈
6.水流问题
一般是研究船在“流水”中航行的问题。
它是行程问题中比较特殊的-种类型,它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。
基本概念和公式有：
船速：
船在静水中航行的速度
水速：
水流动的速度
顺水速度：
船顺流航行的速度
逆水速度：
船逆流航行的速度
顺速=船速+水速
逆速二船速一水速
船行速度=（顺水速度+逆流速度）÷
2
流水速度=（顺流速度一逆流速度）÷
路程二顺流速度X顺流航行所需时间
路程=逆流速度×
逆流航行所需时间
某船在SQkm的航道上航行，顺流航行需1.6∕/,逆流航行需2力。
求船在静水中航行的速度和水流的速度。
【分析】设船在静水中航行的速度和水流的速度分别为X和y，顺流的速度
为一km/h,逆流的速度为一km/h,再利用上面的公式。
1.62
【等量关系式】顺速二船速+水速
80
——=x+y
【列出方程】
1.6
Ψ,乙两艘货船，屮船在前30千米处逆水而行，乙船在后追赶。
ψ乙两人的静水速度分别是36千米/小时和42千米/小时，水流速度是4千米/小时，求甲船行多少时间被乙船追上
【分析】已知屮乙两人的静水速度和水流速度，可以分别求出屮乙两人的逆水速度，分别为32千米/小时和38千米/小时。
不妨设甲船行X小时后被乙船追上，再根据公式路程二逆流速度X逆流航行所需时间，则屮行驶的路程为32x千米，乙行驶的路程为38x千米，这样就可以把此问题转化为追击问题。
【等量关系式】甲行驶的路程+30=乙行驶的路程
【列出方程】32λ+3O=38x
1.一艘小船逆水而行，到A地时随声带的一个重要的水壶掉入水中随波而下。
半小时之后船行到B地，发现丢失了水壶，立即返回寻找，终于在距离A地5千米的地方追上水壶，然后乂用了10分钟返回A地，求从B地顺水行到A地时用了多少分钟
小结：
行程问题主要把握住公式路程=速度X时间，其他公式不需要背诵，只要按照题LJ要求画岀示意图，题Ll的条件就会一Ll了然，做起来得心应手！
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