物理高考专题 带电粒子在磁场中的运动压轴大题几个增分策略原卷版Word格式文档下载.docx

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[例2]　如图所示，一平行板电容器两极板水平相对放置，在两极板的正中心上各开一孔，孔相对极板很小，因此不会影响两极板间的电场分布。

现给上下两极板分别充上等量的正负电荷，上板带正电、下板带负电，使两极板间形成匀强电场，电场强度大小为E＝

。

一根长为L的绝缘轻质硬杆上下两端分别固定一带电金属小球A、B，两球大小相等，且直径小于电容器极板上的孔，A球带负电QA＝－3q，B球带正电QB＝＋q，两球质量均为m。

将“杆—球”装置移动到上极板上方，保持竖直，且使B球刚好位于上极板小孔的中心处、球心与上极板在一平面内，然后由静止释放。

已知带电平行板电容器只在其两极板间存在电场，两球在运动过程中不会接触到极板，且各自的带电荷量始终不变。

忽略两球产生的电场对平行板间匀强电场的影响，两球可以看成质点，电容器极板厚度不计。

重力加速度取g。

（1）求B球刚进入两极板间时，“杆—球”装置的加速度大小a。

（2）若以后的运动过程中，发现B球从下极板的小孔穿出后，刚好能运动

的距离，求电容器两极板的间距d。

（3）A、B两球从开始到最低点的运动过程中，硬杆上所产生的弹力始终是拉力，则拉力最大值是多大（静电力常量为k）?

递推法的应用

递推法是根据具体问题，建立递推关系，再通过递推关系求解问题的方法，即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式具体步骤是先分析某一次作用的情况，得出结论；

再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广；

最后结合数学知识求解。

方法应用：

（1）建立递推关系——利用物理规律导出第一次相互作用中（或者第一个过程中）物理量之间的关系或相邻两次作用中的递推关系式；

（2）递推关系有何性质——寻找规律，得出第n次相互作用的递推关系；

（3）如何求解递推关系——结合数学知识（如数列）求解。

[注意]　递推法可以分为顺推法（从已知条件出发，逐步推出要解决的问题）与逆推法（从问题出发逐步推到已知条件）。

[例3]　（2015·

天津高考）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。

真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d。

电场强度为E，方向水平向右；

磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。

电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。

一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。

（1）求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；

（2）粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sinθn；

（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。

[提能增分集训]

1.如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的有界圆形匀强磁场区域（图中未画出）；

在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场。

一粒子源固定在x轴上坐标为（－L,0）的A点。

粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子，电子恰好能通过y轴上坐标为（0,2L）的C点，电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与x轴正方向成15°

角的射线ON（已知电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用）。

求：

（1）匀强电场的电场强度E的大小；

（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ；

（3）圆形磁场的最小面积Smin。

2．（2020·

枣庄检测）如图所示，左侧两平行金属板上、下水平放置，它们之间的电势差为U、间距为L，其中有匀强磁场；

右侧为“梯形”匀强磁场区域ACDH，其中，AH∥CD，AH＝

L。

一束电荷量大小为q、质量不等的带电粒子（不计重力、可视为质点），从小孔S1射入左侧装置，恰能沿水平直线从小孔S2射出，接着粒子垂直于AH、由AH的中点M射入“梯形”区域，最后全部从边界AC射出。

若两个区域的磁场方向均垂直于纸面向里、磁感应强度大小均为B，“梯形”宽度MN＝L，忽略电场、磁场的边缘效应及粒子间的相互作用。

（sin53°

＝0.8）

（1）求出粒子速度的大小；

判定粒子的电性；

（2）这束粒子中，粒子质量最小值和最大值各是多少。

3.（2020·

山西四校联考）如图所示，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标为（－L,0），MN与y轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的矩形有界匀强磁场（图中未画出）。

现有一质量为m、电荷量为－e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点（0,0.5L）射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°

角，此后，粒子做匀速直线运动，进入磁场并从矩形磁场边界上Q点

射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力，求：

（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小和电子在磁场中运动的时间t；

（3）矩形有界匀强磁场区域的最小面积Smin。

4．（2020·

肇庆模拟）如图甲所示，竖直挡板MN左侧空间有方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面的水平匀强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度E＝40N/C，磁感应强度B随时间t变化的关系图像如图乙所示，选定磁场垂直纸面向里为正方向。

t＝0时刻，一质量m＝8×

10－4kg、电荷量q＝＋2×

10－4C的微粒在O点具有竖直向下的速度v＝0.12m/s，

′是挡板MN上一点，直线OO′与挡板MN垂直，取g＝10m/s2。

（1）微粒再次经过直线OO′时与O点的距离。

（2）微粒在运动过程中离开直线OO′的最大高度。

（3）水平移动挡板，使微粒能垂直射到挡板上，挡板与O点间的距离L应满足的条件。

电磁学压轴大题增分策略

（二）——“数学圆”模型在电磁学中的应用

圆是数学中的重要概念之一，在物理学中也有其特殊的作用和价值。

本文结合实例阐述“放缩圆”“动态圆”“平移圆”在物理学中的应用，进一步培养学生用数学方法解决物理问题的能力，同时加强对解题技巧和解题思路的构建。

“放缩圆”模型在电磁学中的应用

1．适用条件

（1）速度方向一定，大小不同

粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。

（2）轨迹圆圆心共线

如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度v越大，运动半径也越大。

可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。

2．界定方法

以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩做轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆法”。

[例1]　如图所示，宽度为d的匀强有界磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线。

现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝45°

要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？

[对点训练]

1.[多选]如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点，一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，现设法使该带电粒子从O点沿纸面与Od成30°

角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（　　）

A．若粒子在磁场中经历的时间是

t0，则它一定从cd边射出

B．若粒子在磁场中经历的时间是

t0，则它一定从ad边射出

C．若粒子在磁场中经历的时间是

t0，则它一定从bc边射出

D．若粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出

“动态圆”模型在电磁学中的应用

（1）速度大小一定，方向不同

粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝

如图所示。

（2）轨迹圆圆心共圆

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝

的圆（这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”）上。

将一半径为R＝

的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“动态圆”法。

[例2]　[多选]如图所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界。

一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场。

若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A点。

下列说法正确的是（　　）

A．若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0

B．若粒子落在A点的右侧，其速度一定大于v0

C．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能小于v0－

D．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能大于v0＋

2.[多选]如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A＝60°

，AO＝a。

在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为

，发射速度大小都为v0，且满足v0＝

，发射方向由图中的角度θ表示。

对于粒子进入磁场后的运动（不计重力作用），下列说法正确的是（　　）

A．粒子有可能打到A点

B．以θ＝60°

飞入的粒子在磁场中运动时间最短

C．以θ＜30°

飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等

D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出

“平移圆”模型在电磁学中的应用

（1）速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上

粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝

，如图所示。

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线，该直线与入射点的连线平行。

将半径为R＝

的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”。

[例3]　[多选]利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。

图中板MN上方是磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L。

一群质量为m、电荷量为q，具有不同速度的粒子从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是（　　）

A．粒子带正电

B．射出粒子的最大速度为

C．保持d和L不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大

D．保持d和B不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大

3．（2020·

邢台质检）如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；

若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场（M点未画出）。

设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1∶t2为（　　）

A．2∶1　　　　　　　　　B．2∶3

C．3∶2D.

∶

[提能增分集训]　　

1.（2020·

广州综合测试）不计重力的两个带电粒子M和N沿同一方向经小孔S垂直进入匀强磁场，在磁场中的运动轨迹如图。

分别用vM与vN、tM与tN、

与

表示它们的速率、在磁场中运动的时间、比荷，则（　　）

A．如果

＝

，则vM＞vN

B．如果

，则vM＜vN

C．如果vM＝vN，则

＞

D．如果tM＝tN，则

2.如图所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，两个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b，以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场，其运动轨迹如图。

若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（　　）

A．a粒子速率较大

B．b粒子速率较大

C．b粒子在磁场中运动时间较长

D．a、b粒子在磁场中运动时间一样长

3．一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0，方向与ad边夹角为α＝30°

已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。

（1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v0的大小；

（2）若粒子带正电，且粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围。

4.如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。

O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。

已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。

（1）推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨道半径；

（2）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。

5.如图所示，磁感应强度大小为B＝0.15T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R＝0.10m的圆形区域内，圆的左端跟y轴相切于直角坐标系原点O，右端跟很大的荧光屏MN相切于x轴上的A点。

置于原点的粒子源可沿x轴正方向以不同的速度射出带正电的粒子流，粒子的重力不计，比荷

＝1.0×

108C/kg。

（1）请判断当粒子分别以v1＝1.5

×

106m/s和v2＝0.5

106m/s的速度射入磁场时，能否打到荧光屏上？

（2）要使粒子能打在荧光屏上，求粒子流的速度v0的大小应满足的条件。

（3）若粒子流的速度v0＝3.0×

106m/s，且以过O点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转90°

，求此过程中粒子打在荧光屏上离A的最远距离。

电磁学压轴大题增分策略（三）——突破“磁发散”和“磁聚焦”两大难点

带电粒子在磁场中的运动形式很多，其中有一种是带电粒子在圆形磁场中的运动。

当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象。

带电粒子在圆形磁场中的发散运动

不同带电粒子在圆形磁场中从同一点沿不同方向出发，做发散运动，离开磁场后速度方向都相同。

例如：

当粒子由圆形匀强磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场，如图所示。

[例1]　真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示。

从O点在纸面内向各个方向发射速率相同的电子，设电子间相互作用忽略，且电子在磁场中运动的圆周轨迹半径也为r。

所有从磁场边界射出的电子，其速度方向有何特征？

[例2]　如图所示，真空中有一个半径r＝0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B＝2×

10－3T，方向垂直于纸面向外，在x＝1m和x＝2m之间的区域内有一个方向沿y轴正向的匀强电场区域，电场强度E＝1.5×

103N/C。

在x＝3m处有一垂直x轴方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的比荷

＝1×

109C/kg，且带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内，一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场最右侧的A点离开磁场，不计重力及阻力的作用，求：

（1）沿y轴正方向射入的粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动时间；

（2）速度方向与y轴正方向成θ＝30°

角（如图中所示）射入磁场的粒子，离开磁场时的速度方向；

（3）

（2）中的粒子最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐标。

带电粒子在圆形磁场中的汇聚运动

速度相同的不同带电粒子进入圆形匀强磁场后，汇聚于同一点。

当速度相同的粒子平行射入磁场中，会在圆形磁场中汇聚于圆上一点，如图所示。

[例3]　真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示，速率相同，方向都沿Ox方向的不同电子，在磁场中运动的圆周轨迹半径也为r。

进入圆形匀强磁场后，所有从磁场边界出射的电子，离开磁场的位置有何特征？

[例4]　如图甲所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图乙所示的方波形电压，t＝0时，A板比B板的电势高，电压的正向值为u0，反向值为－u0，现有质量为m、带电荷量为q的正粒子组成的粒子束，从AB的中点O1以平行于金属板方向O1O2的速度v0＝

射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。

（1）粒子射出电场时位置离O2点的距离范围及对应的速度；

（2）若要使射出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感应强度是多大？

1．电子质量为m、电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图所示。

现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求：

（1）荧光屏上光斑的长度；

（2）所加磁场范围的最小面积。

2.如图所示，质量m＝8.0×

10－25kg、电荷量q＝1.6×

10－15C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30°

的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v0＝2.0×

107m/s。

现在某一区域内加一垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上，并且当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。

（π＝3.14）

（1）粒子从y轴穿过的范围；

（2）荧光屏上光斑的长度；

（3）从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差；

（4）画出所加磁场的最小范围（用阴影表示）。

3．设在某一平面内有P1、P2两点，由P1点向平面内各个方向发射速率均为v0的电子。

请设计一种匀强磁场分布，使得由P1点发出的所有电子都能够汇集到P2点。

电子电量为e，质量为m。