抽象代数习题Word格式文档下载.docx
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〉是〈S,·
〉的子半群,但〈T,·
〉不是〈S,·
〉的子么半群。
9.试证明每一个有限半群至少有一个幂等元素。
定理设〈G,*〉为群。
假设k∈I且a∈G的阶为n,那么ak=e当且仅当n|k。
定理设〈G,*〉为群且a∈G。
假设k∈I且a的阶为n,那么ak的阶为n/(k,n)。
推论设〈G,*〉为群。
假设a∈G,那么a与a-1的阶相同。
定理设〈G,*〉为互换群且a,b∈G。
假设a的阶为m,b的阶为n且(m,n)=1,那么ab的阶为mn。
定理有限群〈G,*〉的每一个元素的阶为有限的,而且不超过#G。
习题
2.设〈G,*〉是群,u∈G,概念G上的二元运算·
a·
b=a*u-1*b,a,b∈G
证明〈G,·
〉也是群。
3.设〈G,*〉为群,若是对任意a∈G均有a2=e,那么〈G,*〉为互换群。
4.设〈G,*〉为群,证明〈G,*〉是互换群,当且仅当对任意a,b∈G,均有(ab)2=a2b2。
5.设〈G,*〉为群,且对任意a,b∈G均有(ab)3=a3b3且(ab)5=a5b5。
证明〈G,*〉为互换群。
5.设〈G,*〉是群,a,b∈G,a不是G的么元且a4b=ba5。
证明ab≠ba。
6.证明每一个元素都可约的有限半群是群。
7.证明有限多个群的积代数结构仍是群。
10.设〈G,*〉是群,a,b,c∈G。
证明
1)a和b-1ab的阶相同;
2)ab和ba的阶相同;
3)abc,bca和cab的阶相同。
11.有限群中阶大于2的元素个数必为偶数。
12.证明〈Nn-{0},·
n〉是群,当且仅当n为素数。
13.设d,m∈I+。
证明d是m的因子当且仅当d是〈Nm,+m〉中某元素的阶。
14.求以下群中每一个元素的阶:
1)〈N5,+5〉;
2)〈N12,+12〉;
3)〈N7-{0},·
7〉;
4)〈N13-{0},·
13〉。
定理假设H为群G的非空子集,那么H≤G,当且仅当对任意a,b∈H皆有a*b-1∈H。
定理假设群G的非空有穷子集H关于G的二元运算封锁,那么H≤G。
定理设f是群G1到G2的群同态,ei为Gi的幺元(i=1,2)。
i)f(e1)=e2。
ii)若a∈G1,那么f(a-1)=(f(a))-1。
iii)假设H≤G1,那么f[H]≤G2。
iv)假设f为群单同态且a∈G1,那么a的阶与f(a)的阶相同。
1.找出以下各群的所有子群。
a)〈N12,+12〉;
b)〈N5,+5〉;
c)〈N7-{0},·
d)〈N11-{0},·
11〉。
2.求以下各群上的自同态。
1)〈N8,+8〉;
2)〈N6,+6〉;
3)〈N5-{0},·
5〉;
4)〈N7-{0},·
7〉。
3.设f是群〈G1,*〉到〈G2,·
〉的群同态,a∈G1。
a与f(a)的阶必然相同吗?
证明你的断言。
4.设H1和H2是群G的子群,证明H1∩H2也是G的子群。
H1∪H2是G的子群吗?
5.设H是群G的非空子集,而且H中每一个元素的阶都有限,那么H为G的子群的充分必要条件是H关于G的乘法封锁。
6.设f和g均为群G1到G2的群同态,令
H={a∈G1|f(a)=g(a)}
证明H是G1的子群。
7.设G是群,H和K是G的子群。
a)HK和KH必为G的子群吗?
试证明或给出反例;
b)HK是G的子群,当且仅当HK=KH。
8.设〈G,*〉是群,令
C(G)={x∈G|若y∈G,那么x*y=y*x}
证明C(G)是G的子群。
C(G)称为群G的中心。
9.设H为群G的子群,a∈G,令
aHa-1={aha-1|h∈H}
证明aHa-1是G的子群。
aHa-1称为H的共轭子群。
10.设H为群G的子群,令
N(H)={a∈G|aHa-1=H}
证明N(H)是G的子群。
N(H)称为H的正规化子。
11.群G的自同构是从G到G的同构。
证明G的所有自同构的集合关于函数的合成运算组成群。
12.设G是有限群,H是G的子群,a∈G。
证明存在最小正整数m使am∈H,且m是a的阶n的因子。
13.设a是群G的阶为n的元素,H是G的子群。
若是am∈H且(m,n)=1,那么a∈H。
2.求以下置换:
a)
b)
c)(12345)
(234)
d)(362)
(15)
(42)
e)
f)(124657)-2
3.将以下置换表示为无公共元素的循环的乘积:
c)
4.除么元外,每一个元素的阶都是2的四阶群称为克莱因(Klein)四元群。
a)列出克莱因四元群的运算表;
b)找出克莱因四元群的所有子群;
c)找出与克莱因四元群同构的置换群。
5.指出以下群是不是为循环群?
假设是循环群,那么给出其一个生成元:
1)有理数加群〈Q,+〉;
2)正有理数乘法群〈Q+,·
〉;
3)〈Gn,·
〉,其中Gn={x|x∈C且xn=1},n为正整数,·
为复数的乘法。
4)〈I,*〉,其中a*b=a+b-2,a,b∈I。
6.设G为群,a,b∈G,a的阶为素数p且a
(b)。
证明(a)∩(b)={e}。
8.设H=(am),K=(an)是循环群G=(a)的两个子群,且d=[m,n]。
证明H∩K=(ad)。
9.任一无穷群必有无穷多个子群。
10.证明循环群的子群必为循环群。
11.证明无穷循环群恰有两个生成元。
12.无穷循环群的子群除{e}外均为无穷循环群。
13.设存在代数结构〈G,·
〉到〈G′,*〉的满同态,若是〈G,·
〉是循环群,那么〈G′,*〉也是循环群。
14.设G是无穷循环群,G′是任意循环群。
证明存在G到G′的满同态。
定理(拉格朗日定理)若是H是有限群G的子群,那么#H整除#G,而且#G=#H·
[G∶H]。
推论1有限群G的每一个元素的阶整除G的阶。
推论2素数阶群必为循环群。
例4假设将同构的群视为一个群,那么只存在两个4阶群,而且都是互换群。
例5假设H和K是群G的子群且K△G,那么H∩K△H。
定理设H△G,那么G关于H的陪集关系R是G上的同余关系。
定理设H为群〈G,·
〉的不变子群,那么〈G,·
〉关于H的陪集关系的商朝数结构〈G/H,⊙〉是群,并称为G关于H的商群。
其中对任意a·
H,b·
H∈G/H,(a·
H)⊙(b·
H)=(a·
b)·
H。
定理设R是群〈G,·
〉上的同余关系,那么[e]R△G,而且R是G关于[e]R的陪集关系。
概念设f是群G1到G2的群同态,集合{g∈G1|f(g)=
}称为f的同态核,记为Kerf,其中
为G2的幺元。
定理设f:
G1→G2为群同态,那么
i)Kerf△G1;
ii)f是内射当且仅当Kerf={
}。
定理(群第一同构定理)设f是群〈G1,·
〉到〈G2,*〉的群同态,那么商群〈G1/Kerf,⊙〉同构于〈f[G1],*〉。
这只是定理的特例。
定理假设H,K是群G的有限子群,那么|HK|=|H|·
|K|/|H∩K|。
定理设G为群。
假设K≤G且H△G,那么
i)H∩K△K;
ii)H△〈H∪K〉;
iii)HK=〈H∪K〉;
iv)若是K△G且H∩K={e},那么对任意h∈H,k∈K,均有hk=kh。
定理(群第二同构定理)设G为群且K≤G。
假设H△G,那么K/H∩K≅HK/H。
定理(群第三同构定理)设G为群,H△G且K△G。
假设K≤H,那么H/K△G/K且(G/K)/(H/K)≅G/H。
1.设n∈I+,p为素数,证明pn阶群必有p阶子群。
2.证明6阶群恰有一个3阶子群。
3.设G为群,C(G)为G的中心,证明C(G)△G。
4.H△G且K△G,证明
1)H∩K△G;
2)HK△G。
5.证明指数为2的子群必为不变子群。
6.求〈N24,+24〉的6阶子群H及N24关于H的商群。
7.设K△H,H△G,问K是不是必为G的不变子群?
证明或举出反例。
7.设p,q是两个不同的素数,G为pq阶互换群。
证明G是循环群。
9.证明存在从m阶循环群G1到n阶循环群G2的满同态,当且仅当n|m。
10.设H是循环群G的子群,证明G/H也是循环群。
11.设H为群G的不变子群,且#H=2。
证明H
C(G)。
12.设H是群G的阶为n的子群,且G只有一个阶为n的子群。
证明H是G的不变子群。
13.设H是群G的子群,若是H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集,那么H是G的不变子群。
14.设H,K是群G的有限子群,且#H与#K互素。
证明H∩K={e}。
15.设p和q为素数,p<
q,且G为pq阶的群。
证明G的q阶子群必为不变子群。
16.设H是群G的子群且H
C(G),那么H是G的不变子群。
而且假设G/H是循环群,那么G是互换群。
17.设H是群G的子群,N(H)为H的正规化子。
H△G当且仅当G=N(H)。
20.证明阶数为p2的群必为互换群,其中p为素数。
21.设G是互换群,H={x∈G|x的阶是有限的}。
1)H是G的子群;
2)在商群G/H中,除幺元H外不含阶为有限的元素。
22.设H,K是群G的不变子群,且G/H和G/K均是互换群,那么G/(H∩K)必为互换群。
23.设H△G,证明G/H是互换群的充分必要条件为:
对任意g1,g2∈G有
。
24.设G是n阶互换群且p是素数。
假设p|n,那么G中存在阶为p的元素。
25.设G是群,关于任意a∈G,概念
σa(x)=axa-1,x∈G
则σa是G的自同构映射,称之为G的内自同构。
G的内自同构的全部组成G的自同构群的不变子群。
26.设f是群G到G′的群同态映射,K=Kerf。
对任意a∈G,f-1(f(a))=aK。
27.证明除零同态之外,不存在〈Q,+〉到〈I,+〉的群同态映射。
28.设f是群G到G′的满同态映射,A是G的子群。
试证:
若是A的阶与G′的阶互素,那么A包括在Kerf中。
29.设群G只含有限多个子群,f是G到其自身的满同态。
证明f是G的自同构。
30.设H是群G的不变子群,且[G:
H]=m,那么对任意x∈G,必有xm∈H。
31.证明在同构的意义下只有两个6阶群,一个是循环群,一个是S3。
32.证明:
在同构的意义下只有两个不同的10阶群。
定理假设〈R,+,·
〉是环,那么以下条件等价:
定理有限整环都是域。
定理体仅有零理想和单位理想。
定理设D是环〈R,+,·
〉的理想。
假设在R/D上概念二元运算⊕与⊙如下:
(D+r1)⊕(D+r2)=D+(r1+r2)r1,r2∈R
(D+r1)⊙(D+r2)=D+(r1·
r2)r1,r2∈R
那么〈R/D,⊕,⊙〉为环,称为〈R,+,·
〉关于D的商环。
定理假设f是环〈R,+,·
〉到环〈S,⊙,*〉的环同态,那么Kerf是〈R,+,·
〉到〈S,
〉的环同态,那么〈R/Kerf,⊕,⊙〉≅〈f[R],
〉。
例9设D1和D2都是环〈R,+,·
假设D2⊆D1,那么D1/D2是R/D2的理想,而且R/D2/D1/D2≅R/D1
例13假设p为素数,那么(p)为〈I,+,·
〉的极大理想。
定理假设D是含幺元互换环〈R,+,·
〉的理想,那么〈R,+,·
〉关于D的商环〈R/D,⊕,⊙〉是域,当且仅当D是〈R,+,·
例14模m的剩余类环〈Zm,⊕,⊙〉是域,当且仅当m为素数。
2.关于乘法来讲,每一个元素都是幂等元的环称为布尔环。
证明以下结论。
a)设X为集合,那么〈P(X),⊕,∩〉是布尔环。
b)Z2和Z2×
Z2都是布尔环。
c)布尔环的每一个元素都以自己为负元。
d)布尔环必为互换环。
e)阶大于2的布尔环不可能是整环。
3.若A和B为环〈R,+,·
〉的子环,那么A∩B也是〈R,+,·
〉的子环。
假设A和B为环〈R,+,·
〉的理想,那么A∩B也是〈R,+,·
4.假设〈R,+,·
〉是环,而且〈R,+〉是循环群,那么〈R,+,·
〉是互换环。
5.设〈R,+,·
〉是具有么元1的环,在R上概念运算⊕和⊙如下:
r⊕s=r+s+1
r⊙s=r·
s+r+sr,s∈R
a)证明〈R,⊕,⊙〉是环;
b)求出〈R,⊕,⊙〉的零元和么元;
c)证明〈R,⊕,⊙〉与〈R,+,·
〉同构。
6.求出〈N6,+6,·
6〉,〈N8,+8,·
8〉,〈N12,+12·
12〉的所有子环和理想。
7.设D1和D2是环〈R,+,·
〉的理想,证明D1+D2也是〈R,+,·
〉的理想,其中D1+D2={d1+d2|d1∈D1且d2∈D2}。
8.证明两个域的积代数结构不可能是域。
10.设〈R,+,·
〉是I上二阶方阵的环,A是元素为偶数的所有二阶方阵组成的集合。
证明A是〈R,+,·
〉的理想,并求R/A的阶。
11.设m,r∈I+且r|m,找出Zm到Zr的一个满同态f,求Kerf和Zm/Kerf。
12.找出环〈I,+,·
〉的所有自同态,并求每一个自同态的核。
13.设环〈R,+,·
〉有且只有一个右么元,试证R有么元。
14.设〈R,+,·
〉为具有么元1的环,u∈R且u有右逆元。
证明关于u的下述条件是等价的:
1)u有多于一个的右逆元;
2)u不是可逆的;
3)u是左零因子。
15.设环〈R,+,·
〉的每一个左理想都有左么元,试证〈R,+,·
〉的每一个左理想都有么元。
16.设〈R,+,·
〉是具有么元1的环。
假设{0}和R是〈R,+,·
〉仅有的两个左理想,证明〈R,+,·
〉是体。
17.设〈R,+,·
〉是具有么元1的环,D为R之理想。
(a)设U={x|x∈R且x关于·
可逆},那么〈U,·
〉为群。
(b)设G={a|a∈U且a-1∈D},那么G是U的不变子群。
18.设f是环〈R,+,·
〉到〈S,⊕,*〉的环同态,且A
R。
证明:
f-1(f(A))=A+Kerf。
19.设f是环〈R,+,·
〉到〈S,⊕,*〉的环同态,H1和H2均为R之子环,且包括Kerf。
假设f(H1)=f(H2),那么H1=H2。
20.含么环不可能与任何不含么元的环同构。
1.若pn阶域有pm阶子域,那么m|n。
2.求出4阶域和5阶域上的所有不可约的首1二次多项式。
3.证明x2+1是GF(7)上的不可约多项式。
4.设p(x)和q(x)是GF(p)上互素的多项式,那么它们在GF(p)的扩域上仍为互素的。
5.证明域的加法群和乘法群不能同构。
6.试证明:
a)有理数域〈Q,+,·
〉的自同构映射只有一个。
b)域〈{a+bi|a,b∈Q},+,·
〉的自同构映射只有两个。
7.设m>2,〈{a1,a2,…,am},+,·
〉是m阶有限域,0是其零元。
证明
定理pn阶域的元素都是多项式
的根。
定理有限域的乘法群必为循环群。
定理设域〈F,+,·
〉的特点为p。
若是α,β∈F,那么
(α+β)p=αp+βp
推论设域〈F,+,·
假设α,β∈F,那么
(α-β)p=αp-βp
第四章格与布尔代数
定理4.1.3设〈L,≤〉是格,假设a,b,c∈L,那么
i)a≤b当且仅当a*b=a当且仅当a⊕b=b;
ii)假设b≤c,则a*b≤a*c且a⊕b≤a⊕c;
iii)a⊕(b*c)≤(a⊕b)*(a⊕c),a*(b⊕c)≥(a*b)⊕(a*c);
iv)a≤c当且仅当a⊕(b*c)≤(a⊕b)*c。
4.设〈L,≤〉是格,a,b,c∈L。
若是a≤b≤c,那么a⊕b=b*c且(a*b)⊕(b*c)=(a⊕b)*(a⊕c)=b。
5.设〈L,≤〉是格,a,b,c,d∈L。
若是a≤b且c≤d,那么a*c≤b*d。
6.设〈L,≤〉是格,a,b,c,d∈L,那么
(a*b)⊕(c*d)≤(a⊕c)*(b⊕d)
(a*b)⊕(b*c)⊕(c*a)≤(a⊕b)*(b⊕c)*(c⊕a)
7.设〈L,≤〉是格,a,b,c∈L,那么
(a*b)⊕(a*c)≤a*(b⊕(a*c))
(a⊕b)*(a⊕c)≥a⊕(b*(a⊕c))
8.设〈L,≤〉是格,a,b,c∈L,若是a*b*c=a⊕b⊕c,那么a=b=c。
9.设〈L,≤〉是格,a,b∈L。
令S={x∈L|a≤x≤b},证明〈S,≤〉也是格。
概念4.2.1若是集合L上的两个二元运算*和⊕知足互换律、结合律、吸收律,那么称代数系统〈L,*,⊕〉为格。
定理概念和概念是等价的。
概念设〈P,≤〉和〈Q,≤′〉是两个半序结构且f:
P→Q。
i)若是对任意a,b∈P,当a≤b时必有f(a)≤′f(b),那么称f为保序的。
ii)若是f是双射,而且f和f-1都是保序的,那么称P和Q是顺序同构的。
由上述概念可知,假设P和Q是顺序同构的,那么对任意a,b∈L,均有
a≤b当且仅当f(a)≤′f(b)。
定理设格〈L,*,⊕〉和〈S,∧,∨〉中的半序关系别离是≤和≤′。
i)若g是从〈L,*,⊕〉到〈S,∧,∨〉的同态,那么g是保序的。
ii)若g是从〈L,*,⊕〉到〈S,∧,∨〉的同构,那么L和S是顺序同构的。
定理设〈L,*,⊕〉和〈S,∧,∨〉是两个格,其中的半序关系别离为≤和≤′,那么L和S同构当且仅当它们是顺序同构的。
5.证明群〈G,
〉的不变子群集合是G的子群格的子格,并证明两个不变子群N和N2的最小上界是N1
N2。
6.画出24阶循环群的子群格的图,并证明它同构于〈S24,D〉。
7.画出C6和C8的子群格的图。
当n为素数时,
的子群格的图是什么?
当n=p1p2(其中p1,p2是素数)时,
8.设A和B是集合,f:
A→B。
证明S={f[x]|x
A}是〈P(B),
〉的子格。
9.设〈S,*,⊕〉是格,J是S的非空子集。
若是关于任意a,b∈J和c∈S,a⊕b∈J且a*c∈J,那么称J为S的理想。
a)S的理想必为S的子格,但S的子格不必然是S的理想。
b)设f是格S到S′的同态映射,A是S的子格,J是S的理想,那么f[A]是f[S]的子格,f[J]是f[S]的理想。
f[A]是不是S′的子格?
f[J]是不是S′的理想?
概念设〈L,*,⊕〉是格。
若是关于任意a,b,c∈L,当a≤b时必有a⊕(b*c)=b*(a⊕c),那么称〈L,*,⊕〉为模格。
定理格〈L,*,⊕〉是模格的充要条件是不含如下形式的子格:
定理每一个链都是分派格。
定理格〈L,*,⊕〉是分派格的充要条件是:
关于任意的a,b,c∈L,均有
(a*b)⊕(b*c)⊕(c*a)=(a⊕b)*(b⊕c)*(c⊕a)
定理模格〈L,*,⊕〉是分派格的充要条件是不含如下形式的子格
1.求出格〈S75,D〉中每一个元素的补元。
2.试证明:
在有一个以上元素的格中,可不能有元素是它本身的补元。
3.画出格〈S30,D〉和〈S45,D〉的图。
其中哪个格是有补格?
5.格〈S30,D〉和〈S45,D〉是不是是分派格?
6.证明〈I,min,max〉是分派格。
8.试证明:
在有界分派格中,有补元的各元素组成一个子格。
9.试证明每一个分派格都是模式格。
10.设〈L,*,⊕〉是格。
证明L是分派格当且仅当,关于任意a,b,c∈L,(a⊕b)*c≤a⊕(b*c)。
11.设〈L,*,⊕〉是分派格,a∈L。
概念ϕ:
L→L为:
关于任意x∈L,ϕ(x)=x*a。
概念ψ:
关于任意x∈L,ψ(x)=x⊕a。
证明ϕ和ψ是L的两个自同态,并求出ϕ[L]和ψ[L]。
12.设E是格L的所有自同态的集合,证明E关于函数合成运算组成独异点。
13.设〈L,*,⊕〉是分派格,a,b∈L,且a<b,b/a={x|x∈L∧a≤x≤b}。
概念ϕ:
L→b/a为ϕ(x)=(x⊕a)*b。
证明ϕ是同态映射。
14.设〈L,*,⊕〉是格。
L是模格当且仅当,关于任意a,b,c∈L,a⊕(b*(a⊕c))=(a⊕b)*(a⊕c)。
15.设〈L,≤〉是模格,a,b,c∈L。
假设b,c为a的覆盖且b≠c,那