高等数学练习题附答案Word格式.docx
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将"
或X填入相应的括号内（每题
;
3.X；
4.X
5.x；
6.x；
7.X;
2分，共20分）
8.x；
9"
（每题2分,
共20分）
1.x24x
2.1；
3.1/2;
4.（y
1/y）dx
（x
x/y2）dy；
5.2/3;
6.1
；
7.
336;
8.
9.
1/2
10.0.
三、计算题（每题
1.解：
因为
5分，共40分）
丄
~2n
n1
（2n）
（n
1）2
由迫敛性定理知:
In
2.解：
先求对数
1yy
y（x
1（2n）2丄n2
limn
n
lim（
ln（x
1
lim
1）
（n1）2
1）2ln（x
10）（
3.解:
原式=2J"
x"
=2dx
1（x）2
—）=0
（2n）2
2）10ln（x
10
10）
x10）
4•解:
5•解:
=2arcsin、xc
原式=0sin3xcos2xdx
3
2cosxsin2xdx
2sin2xdsinx
=_[sin
5
2x]2
=4/5
（0,
3x2
cosxsin2xdx
sin2xdsinx
5[sin
8x
2y
（8）
（2）
0）为极大值点
时f"
2）
4
（2）
6•解:
D=（x,y）
0y
i,y
sinydxdy
dy
07
sin
2y
22
D
x]_
y2x
8,fyy（0,0）
fxy（0,0）2
0且A=8
f（0,0）0
fyy（2,2）
无法判断
fxy（2,2）2
ydx=y
0晳心
=[
0（siny
cosy]0
=1
cosl
ysiny）dy
0ydcosy
[ycosy]0
0cosydy
sinl
7•解：
令uxy,
Xu
yu
8•解：
令y
由微分公式知:
四•证明题（每题10分,
1•解：
设
f（x）
f（x）
f（0）
2X/
e（
2^uv
2v£
v
寸v
罷
2v
2亦
v'
31
——dv
InJ3
12v
2u4x
2dx
yv
du
知（u）
dx
c）
4xe
u2
Xv
v■.3
4xe2xdxc）
2x2x
e（2xee
x2
arctanx
2x、
arcsin——
V1x
1x2
1x=0
即：
原式成立。
a1b
F（a）b帀址心）af（t）dt>
故方程F（x）0在（a,b）上至少有一个实根
F（x）2
F（x）在区间［a,b］上单调递增
F（x）在区间（a,b）上有且仅有一个实根
专业学号姓名
、判断题（对的打V,错的打X；
每题2分，共10分）
1.f（x）在点X。
处有定义是f（x）在点Xo处连续的必要条件•
2•若yf（x）在点X。
不可导，则曲线yf（x）在（Xo,f（x。
））处一定没有切线•
3.若f（x）在［a,b］上可积，g（x）在［a,b］上不可积，则f（x）g（x）在［a,b］上必不可积.
4.方程xyz0和x2y2z20在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.
5.设y*是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y是其所对应的齐次方程的通解，则
yyy*为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题（每题2分，共20分）
1.设f（3x）、2x1,f（a）5,则a.
ln（12x）
2.设f（x），当f（0）时，f（x）在点x0连续.
arcsin3x
3.设f（x）limx
（1）2xt，贝Vf（x）
tt
知已
X
导
处
A
\—/
a
mo
Hh
d2
5.若2f（x）cosx[f（x）]2，并且f（0）
6.若f（x）,g（x）在点b左连续，且f（b）
则f（x）与g（x）大小比较为f（x）g（x）.
2厂「dydy
ysinx，贝U2；
d（x2）dx
1，则f（x）
g（b）,f（x）g（x）
（axb），
7.若
8.设
f（x）x2lntdt，则
f
（2）
9.设ze
几，则dz（1,d
10.累次积分
R
R2x2
f（x2y2）dy化为极坐标下的累次积分为
、计算题（前
1.
sinx
（1
0\
x0xt
dt
0sint
6题每题5分，后两题每题6分，共42分）
t）?
2.设y
3.
sinxcosx,dx;
1sin2x
4.
x24x2dx;
5.设Z
x七
求
22
xy
求由方程2yx（x
y）ln（x
y）所确定的函数
设平面区域D是由y
x围成，计算
求方程yInydx（x
四、（7分）
已知f（x）x3ax2
大值与极小值
yy（x）的微分dy.siny
dxdy.
lny）dy0在初始条件yx1e下的特解.
bx在x1处有极值2，试确定系数a、b，并求出所有的极
五、应用题（每题7分，共14分）
1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比•已知当速度为10（km/h）时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元•问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小？
2.过点（1,0）向曲线y.x2作切线，求：
（1）切线与曲线所围成图形的面积；
（2）
图形绕y
轴旋转所得旋转体的体积•
六、证明题（7分）
设函数f（x）在0xa上的二阶导数存在，且f（0）0,f（x）0.证明
g（x）在0xa上单调增加.
高等数学参考答案
、判断题
1.V；
2.x；
3.V；
4.X；
5.V.
、填空题
1.36；
2.
2；
3.
4（1x）e2x
5A；
5.1
sinx；
6
7.COSx2,
2xcosx2
10.2df（rcos2）rdr.
00
三、计算题
1.原式
（1sinx）sinxcosxlim
2x2x2x2x
2e（e1）e2e
（e2x1）2
e2x12e2x
2e2x（e2x1）2
2T
1e
sinxcosx.
3.原式=2dx
（sinxcosx）
（sinx
2d（sinxcosx）
cosx）
原式=
024sin2t2cost2costdt
16
02sin2tcos'
tdt
sin2tdt202（1
cos4t）dt
2（t
1sin4t）l°
z
5.—
（x2
y2）'
331
2223222
y（xy）2xy-（xy）22x
223
（xy）
/22、3—
两边同时微分得:
2dy
（dxdy）ln（xy）（x
2dydxln（xy）dxln（xy）dx
3ln（xy）
（本题求出导数后，用
8原方程可化为
通解为
y）（dxdy）
ln（xy）dy（dxdy）
dy2
0y2
dxy
0（siny
ysiny）dy
cosy：
ycosy0
cos1
cos1sin、
ocosydy
dyydx解出结果也可）
7.沁dxdy
1sinl
xyiny
而dy[
1dy亠ylnye
byC]y
InIny
InIny1dyy
C]
Iny
1.lny
lnydyC]y
C
lny
112
^[2（M）C]
）上该函数处处可导，且
20（km/h）时，每航
7.2（元）
e代入通解得C1
四、
解：
f（x）3x2axb
因为f（x）在x1处有极值2，所以x
1必为驻点
故
f
（1）32ab0
又
f
（1）1ab2
解得:
a0,b3
于是
f（x）x3xf（x）
3（x1）
f（x）6x
由f
（x）
0得x1，从而
f
（1）
60，在x1处有极小值f
（1）
f（
60，在x1处有极大值f（
1）2
五、
1.解
:
设船速为x（km/h），依题意每航行
1km的耗费为
13
y（kx396）
又x
时，k1036故得k0.006，
所以有
y—（0.006x96），x（0,
）
令
0012
2（x38000）0，得驻点x
20
故所求特解为:
（Iny）22x1ny10
由极值第一充分条件检验得
x20是极小值点.由于在（0,只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为
2.解:
（1）设切线与抛物线交点为（x0,y0），则切线的斜率为
y。
，
x1
又因为y2
x2上的切线斜率满足2yy1，在（X。
，y°
）上即有2y°
y1
所以2yo—1即2yox。
1
Xo1
则所围成图形的面积为:
代入上式得［3］Xf（X）2f（）
XX
由假设f（x）0知f（x）为增函数，又x，则f（x）f（）,
于是f（x）f（）0,从而［上凶］0,故丄凶在（0,a）内单调增加
《高等数学》试卷
、填空题（每小题1分，共10分）
1.函数yarcsin—x2,1的定义域为。
2.函数yxex上点（0,1）处的切线方程是。
3•设f（x）在xo可导且f（x0）A，贝Vlimf（X0——2h^———3h）=。
h0h
4•设曲线过（0,1），且其上任意点（x,y）的切线斜率为2x，则该曲线的方程是
6.limxsin—=xx
•设f（x,y）sinxy，贝Vfx（x,y）=
dx°
Rxf（x2y2）dy化为极坐标下的累次积分为
单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写
在题干的（
）内,
（1〜10每小题1分，11〜17每小题2分，共24分）
1.设函数
—,g（x）1x,
则f（g（x））=
2.x0时,
xsin11是
1无穷大量
2无穷小量
3有界变量
4无界变量
①若f（x）在x
X。
连续，则
f（x）在xxo可导
②若
f（x）在x
不可导，则
xo不连续
③若
不可微，则
极限不存在
④若
不连续，则
不可导
5•设F（x）
G（x），则
（）
①F（x）
G（x）为常数
②F（x）
③F（x）
G（x）。
④—
F（x）dx—G（x）dxx
xdx
=
①上升的凸弧②下降的凸弧
③上升的凹弧④下降的凹弧
①0②1③2④3
7•方程2x3y1在空间表示的图形是（）
①平行于xOy面的平面②平行于Oz轴的平面
③过Oz轴的平面④直线
11•下列函数中为偶函数的是
①yex②yx31
—3
③yxcosx
④yIn;
12.设f（x）在（a,b）可导，ax1x2
b，则至少有一点
（a,b）使
①f（b）f（a）f（）（ba）
②f（b）f（a）f
（）（X2xj
③f（X2）f（xjf（）（ba）
④f（X2）f（xj
f（）（X2X1）
13•设f（x）在x
①cosx②2cosx③1sinx④1sinx
15•过点（1,2）且切线斜率为4x3的曲线方程为y=（）
①X4②x4+c③x4+1④4x3
16.设幕级数anxn在x0（x00）收敛，则
n0n0
①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关
17.设D：
域由
yx,yx所围成，贝U
d
DX
①
1sinx
②
ysinx
dy;
xX
0丿
yX
dx;
③
xsinx
④
0J
dx.
、计算题（1〜3每小题5分，4〜9每小题6分，共51分）
5.求过点A（2,1,—1）,E（1,1,2）的直线方程
计算
xasin
rsindrd
8•求微分方程dy（J）2dx的通解.
2.（7分）借助于函数的单调性证明：
当x>
1时，2X3
、填空题（每小题1分，
共10分）
1.（—1,1）2
.2x—y+1=03.5A
.2.
4.y=x+1
5.1arctanx2c
6.17.ycos（xy'
8.2df（r2）rdr
9.三阶10.发散
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的
（）内，1〜10每小题1分，11〜17每小题2分，共24分）
1.③2.③3.④4.④5.②6.②7.②8.⑤9.④10.③
11.④12.④13.⑤14.③
15.③16.①17.②
（1〜3每小题5分，
4〜9每小题6分，共51分）
1.解:
丄[1n（x1）InxIn（x3）]
11111yy2（厂；
门
x（x3）（x1
2.解:
18xcos（9x216）lim
x433
442
18（3）cos（9（才2
16）
=8
3•解：
原式=（1*即
（1ex）2
=dxd（1ex）
xx、2
（1e）（1e）
=（1exex）dx1
xx
1e1e
X1
=xln（1e）c
1e
4.解：
因为dx（cost）arctgtdt,dy（sint）arctgtdtdy（sint）arctgtdt
dx（cost）arctgtdt
tgt
5.解：
所求直线的方向数为{1,0,-3}
所求直线方程为
「1z2
6.解:
xysinz■
dued（x
ysinz）
21ydy
coszdz）
7.解:
原积分=0sin
asin
rdr
丄a2sin3d
20
8.解:
两边积分得
两边同除以
（y
（1y）2
（1x）2
9.解:
分解，得
f（x）="
x21
x-
n02
n0
12n
1且
1）
=[1
（1）*]xn（x1）
nO2
四、应用和证明题（共1$分）
「解：
设速度为"
u满足m竽mgku
解方程得u1（mgcekt）
由u「°
=0定出c,得umg（1ekt）
k
2.证:
令f（x）
3则f（x）在区间［1,+^］连续
因此f（x）在］1,+s］单调增加
从而当x1时，f（x）f
（1）=0
即当x1时，2匸3-
'
、判断正误（每题2分，共20分）
1.两个无穷大量之和必定是无穷大量•
2.初等函数在其定义域内必定为连续函数•
3.yfx在点Xo连续，则yfx在点Xo必定可导.
5.
初等函数在其定义域区间内必定存在原函数
方程x2
1表示一个圆.
在点M0x0,y0可微，则zfx,y在点M
2x
ex是二阶微分方程.
sintdt
sinxsinl.
10.若yfx
为连续函数，则ftdt必定可导.
、填空题（每题4分，共20分）
2.
sin2xlim
3.设fx1，且f01，贝Ufxdx
4.zxy,贝Udz
db.2
——sinx
dxa
三、计算题与证明题（共计60分）
“J
1lim
（5分）；
2lim
（5分）。
e1
.求函数
cosxsinx,
cosx的导数。
（10分）
fx
3.若在,上fx0,f00•证明：
Fx在区间，0和0,上
单调增加•（10分）
4.对物体长度进行了n次测量，得到n个数X2，,x.。
现在要确定一个量x，使之与
测得的数值之差的平方和最小.X应该是多少？
（10分）
5•计算xsinx2dx.（5分）
6.由曲线yInx与两直线ye1x,y0所围成的平面图形的面积是多少•（5分）
7.求微分方程xdyxy满足条件yx70的特解。
（5分）
dx"
8.计算二重积分x2dxdy,D是由圆x2y21及x2y24围成的区域.（5分）
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