知识点31平行四边形1.docx
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知识点31平行四边形1
一、选择题
1.（2019台湾省，17，3分）如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：
如图，设，，，平行四边形的面积分别为，，和，
过点作，则由为平行四边形，易得四边形也为平行四边形，从而，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：
D．
【知识点】平行四边形的性质；三角形的面积
2.
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二、填空题
1.（2019四川达州，题号14，3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为_______.
【答案】16
【解析】O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，点E是AB的中点，可得OE=AD，BE=AB，BO=BD，可得△BEO的周长是△BAD周长的一半，而△BCD的周长和△BAD周长相等，即△BCD的周长为16.
【知识点】平行四边形的性质、中位线
2.（2019四川成都，14，3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为 ．
【答案】4
【解析】解：
由作法得∠COE＝∠OAB，
∴OE∥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA，
∴CE＝BE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OEAB8＝4．
故答案为4．
【知识点】平行四边形的性质；作图
3.
4.
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三、解答题
1.（2019重庆A卷，25，10）如图，在□ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积；
（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：
AD＝CM＋2CE．
【思路分析】
（1）过点C作CQ⊥AD于点Q，利用勾股定理，建立关于PQ的方程，求出PQ的值，进而求得AD边上的高，即可求得△ACD的面积．
（2）连接NE．首先由EM⊥AE，AF⊥BC，BG⊥AE，得到∠EAF＝∠NBF＝∠MEC，再证明△BFN≌△AFE，从而BF＝AF，NF＝EF．于是∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，FC＝AF＝BF．然后通过证明△ANE≌△ECM，得到CM＝NE．最后在等腰Rt△EFN中，由NF＝NE＝CM，加上AD＝2AF，AF＝AN＋NF，AN＝EC，即可锁定答案．
【解题过程】
（1）如答图1，过点C作CQ⊥AD于点Q．
∵DP＝2AP＝4，
∴AP＝2，AD＝6．
设PQ＝x，则DQ＝4－x，根据勾股定理，得CP2－PQ2＝CD2－DQ2，即17－x2＝52－（4－x）2，解得x＝1，从而CQ＝＝4，故S△ACD＝AD•CQ＝×6×4＝12．
（2）如答图2，连接NE．
∵EM⊥AE，AF⊥BC，BG⊥AE，
∴∠AEB＋∠FBN＝∠AEB＋∠EAF＝∠AEB＋∠MEC＝90°．
∴∠EAF＝∠NBF＝∠MEC．
在△BFN和△AFE中，，
∴△BFN≌△AFE（AAS）．
∴BF＝AF，NF＝EF．
∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，FC＝AF＝BF．
∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF．
在△ANE和△ECM中，，
∴△ANE≌△ECM（ASA）．
∴CM＝NE．
又∵NF＝NE＝CM，
∴AF＝CM＋CE．
∴AD＝CM＋2CE．
【知识点】平行四边形的性质；勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的判定与性质．
2.（2019浙江省衢州市，19，6分）如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上。
（1）在图1中面出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点。
（2）在图2中面出平行四边形ABEC，其中E是格点。
【思路分析】
【解题过程】
线段CD就是所求作的困形……3分□ABEC就是所求作的图形.……6分
【知识点】垂线平行四边形网格作图
3.（2019浙江省金华市，20，8分）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上.试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可.
（第20题图）
【思路分析】根据网格的特点，画出符合相应条件的图形即可．
（1）利用平行四边形的对角线互相平分先定点E，F，再画线线EF；
（2）利用一线三直角先确定经过点A垂直于AC的垂线，再利用平行线的性质画线线EF；（3）利用一线三直角先确定经过点A垂直于AB的垂线，再利用三角形中位线的性质画线线EF；
【解题过程】解：
如图，
【知识点】平行四边形的性质；三角形中位线的性质
4.（2019安徽省，20，10分）如图，点在内部，，．
（1）求证：
；
（2）设的面积为，四边形的面积为，求的值．
【思路分析】
（1）根据证明：
；
（2）根据点在内部，可知：
，可得结论．
【解题过程】解：
（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
同理得，
在和中，
，
；
（2）点在内部，
，
由
（1）知：
，
，
，
的面积为，四边形的面积为，
．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
5.（2019湖北荆门，19，9分）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求证：
BD⊥BC．
【思路分析】
（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，设BE＝x，由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出AF＝BE，BF＝5，DF＝CE，从而求出BD的长，在△BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．
【解题过程】解：
（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：
设BE＝x，CE＝h
在Rt△CEB中：
x2+h2＝9①
在Rt△CEA中：
（5+x）2+h2＝52②
联立①②解得：
x，h
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•h＝12；
（2）作DF⊥AB，垂足为F
∴∠DFA＝∠CEB＝90°
∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAF＝∠CBE
又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC
∴△ADF≌△BCE（AAS）
∴AF＝BE，BF＝5，DF＝CE
在Rt△DFB中：
BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16
∴BD＝4
∵BC＝3，DC＝5
∴CD2＝DB2+BC2
∴BD⊥BC．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
6.（2019江苏南京，19，7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：
△ADF≌△CEF．
【思路分析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD＝CE，依据CE∥AD，即可得出∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
【解题过程】证明：
∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BD＝CE，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝EC，
∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，
∴△ADF≌△CEF（ASA）．
【知识点】全等三角形的判定；平行四边形的判定
7.（2019江苏扬州，24，10分）如图，在平行四边形中，平分，已知，，．
（1）求证：
；
（2）求．
【思路分析】
（1）根据平行四边形的性质得出，，，推出，再根据角平分线性质得出，推出，得出，由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）由平行线得出，由勾股定理求出，得出，即可得出结果．
【解题过程】解：
（1）证明：
四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，，
，
是直角三角形，；
（2）解：
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形；平行四边形的性质；勾股定理的逆定理
8.（2019四川广安，19，6分）如图，点是的边的中点，、的延长线交于点，，，求的周长．
【思路分析】先证明，得到，，从而可求平行四边形的面积．
【解题过程】解：
四边形是平行四边形，
，
，．
又，
．
，．
．
平行四边形的周长为．
【知识点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
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