习题2解答物教Word文档下载推荐.docx
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pretty（f2）%验证我们所建立的函数表达式是否正确
（x+2）（x+3）
-----------------------------
（2x+5）
（x+5）
或%直接法创建函数符号表达式
f2=sym（'
（x+2）^（x+2）*（x+3）^（x+3）/（x+5）^（2*x+5）'
L2=limit（f2,inf）
L2=
exp（-5）
2.2分析：
考查知识点——求导数
解：
（1）符号求解
symsx
y1=sqrt（x*sin（x）*sqrt（1-exp（x）））;
pretty（y1）
1/21/2
（xsin（x）（1-exp（x）））
D1=diff（y1,x,1）%
D1=
1/2/（x*sin（x）*（1-exp（x））^（1/2））^（1/2）*（sin（x）*（1-exp（x））^（1/2）+x*cos（x）*（1-exp（x））^（1/2）-1/2*x*sin（x）/（1-exp（x））^（1/2）*exp（x））
（2）符号求解
y2=sqrt（（x-1）*（x-2）/（x-3）/（x-4））;
pretty（y2）
/（x-1）（x-2）\1/2
|---------------|
\（x-3）（x-4）/
D2=diff（y2,x,1）%等价于diff（y2）
D2=
1/2/（（x-1）*（x-2）/（x-3）/（x-4））^（1/2）*（（x-2）/（x-3）/（x-4）+（x-1）/（x-3）/（x-4）-（x-1）*（x-2）/（x-3）^2/（x-4）-（x-1）*（x-2）/（x-3）/（x-4）^2）
（3）解：
考查知识点——隐函数求导
分析：
已知隐函数
则
用MATLAB求解：
F=-diff（f,xj）/diff（f,xi）
symsxy
y3=atan（y/x）-log（x^2+y^2）;
%创建函数符号表达式
pretty（y3）
22
atan（y/x）-log（x+y）
L3=-diff（y3,x）/diff（y3,y）
L3=
（y/x^2/（1+y^2/x^2）+2*x/（x^2+y^2））/（1/x/（1+y^2/x^2）-2*y/（x^2+y^2））
（4）解：
symsxna
y4=-1/n/a*log（（x^n+a）/x^n）;
pretty（y4）
n
x+a
log（------）
x
------------
na
diff（y4）
ans=
-1/n/a*（n/x-（x^n+a）/（x^n）*n/x）/（x^n+a）*x^n
2.3分析：
考查知识点——求参数方程的导数
已知参数方程
，求
symsxyt
x=log（cos（t））;
y=cos（t）-t*sin（t）;
D1=diff（y,t）/diff（x,t）%求dy/dx
-（-2*sin（t）-t*cos（t））/sin（t）*cos（t）
D2=diff（y,t,2）/diff（x,t,2）%求d2y/dx2
（-3*cos（t）+t*sin（t））/（-1-sin（t）^2/cos（t）^2）
2.4分析：
考查知识点——求方程组的导数
可首先将方程组转换为参数方程（通过解方程组实现），然后再求参数方程的倒数。
symsxyuv
f1=x*u+y*v;
f2=y*u+x*v-1;
[u,y]=solve（f1,f2,u,y）
u=
-（v*x*（x*v-1））^（1/2）/x
（v*x*（x*v-1））^（1/2）/x
y=
1/v*（v*x*（x*v-1））^（1/2）
-1/v*（v*x*（x*v-1））^（1/2）
d2uy=diff（u,x,2）/diff（y,x,2）
d2uy=
[-v*（4*x*v-3）/x,0]
[v*（4*x*v-3）/x,0]
或
d2uy1=diff（u,v,2）/diff（y,v,2）
d2uy1=
[-v/（4*x*v-3）/x,0]
[v/（4*x*v-3）/x,0]
2.5分析：
考查知识点——求多元函数的倒数——雅克比矩阵
R=jacobian（f,v）
symsxyz
f=[3*x+exp（y）*z;
x^3+y^2*sin（z）]
f=
3*x+exp（y）*z
x^3+y^2*sin（z）
J=jacobian（f,[x,y]）
J=
[3,exp（y）*z]
[3*x^2,2*y*sin（z）]
2.6分析：
考查知识点——求积分
本题考查知识点：
符号法就不定积分
创建所求积分函数的符号表达式，这里是间接法，也可用直接法创建
symsxabc
f1=（3*x^2+a）/x^2/（x^2+a）^2;
%
（1）题的函数表达式
f2=sqrt（x*（x+1））/（sqrt（x）+sqrt（1+x））;
%
（2）题的函数表达式
f3=x*exp（a*x）*cos（b*x）;
%（3）题的函数表达式
f4=exp（a*x）*sin（b*x）*sin（c*x）;
%（4）题的函数表达式
调用int函数求不定积分
I1=int（f1）%
（1）题的解
I1=
-1/a/x+x/a/（x^2+a）
I2=int（f2）%
（2）题的解
I2=
2/15*（x*（x+1））^（1/2）/（x+1）^（1/2）*x*（3*x+5）-2/15*（x*（x+1））^（1/2）/x^（1/2）*（x+1）*（3*x-2）
I3=int（f3）%（3）题的解
I3=
（a/（a^2+b^2）*x-（a^2-b^2）/（a^2+b^2）^2）*exp（a*x）*cos（b*x）-（-b/（a^2+b^2）*x+2*a*b/（a^2+b^2）^2）*exp（a*x）*sin（b*x）
I4=int（f4）%（4）题的解
I4=
1/2*a/（a^2+（b-c）^2）*exp（a*x）*cos（（b-c）*x）-1/2*（-b+c）/（a^2+（b-c）^2）*exp（a*x）*sin（（b-c）*x）-1/2*a/（a^2+（b+c）^2）*exp（a*x）*cos（（b+c）*x）+1/2*（-b-c）/（a^2+（b+c）^2）*exp（a*x）*sin（（b+c）*x）
2.7分析：
考查知识点——泰勒级数展开
r=taylor（f,n,v,a）%求泰勒级数展开
注意每个参数的物理意义。
具体看书。
f=sym（'
sin（t）/t'
f1=int（f,'
t'
0,'
）%
（1）题的函数表达式
f1=
sinint（x）
T1=taylor（f1,5,'
0）%
（1）题的解,等价于taylor（f1）
T1=
x-1/18*x^3
log（（1+x）/（1-x））'
%
（2）题的函数表达式
pretty（f2）
1+x
log（-----）
1-x
T2=taylor（f2,8,'
0）%
（2）题的解,等价于taylor（f2,8）
T2=
2*x+2/3*x^3+2/5*x^5+2/7*x^7
f3=sym（'
exp（-5*x）*sin（3*x+pi/3）'
%（3）题函数表达式
pretty（f3）
exp（-5x）sin（3x+1/3pi）
T31=taylor（f3）%（3）题的解,关于x=0的幂级数展开
T31=
1/2*3^（1/2）+（3/2-5/2*3^（1/2））*x+（4*3^（1/2）-15/2）*x^2+（33/2+5/6*3^（1/2））*x^3+（-161/12*3^（1/2）-20）*x^4+（305/12*3^（1/2）+239/20）*x^5
T32=taylor（f3,'
a'
）%（3）题的解,关于x=a的幂级数展开
T32=
exp（-5*a）*sin（3*a+1/3*pi）+（3*exp（-5*a）*cos（3*a+1/3*pi）-5*exp（-5*a）*sin（3*a+1/3*pi））*（x-a）+（8*exp（-5*a）*sin（3*a+1/3*pi）-15*exp（-5*a）*cos（3*a+1/3*pi））*（x-a）^2+（33*exp（-5*a）*cos（3*a+1/3*pi）+5/3*exp（-5*a）*sin（3*a+1/3*pi））*（x-a）^3+（-161/6*exp（-5*a）*sin（3*a+1/3*pi）-40*exp（-5*a）*cos（3*a+1/3*pi））*（x-a）^4+（305/6*exp（-5*a）*sin（3*a+1/3*pi）+239/10*exp（-5*a）*cos（3*a+1/3*pi））*（x-a）^5
2.8分析：
考查知识点——多项式——数值运算
MATLAB约定降幂多项式
P（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
¢
用以下系数矢量（系数行向量）表示：
p=[an,an-1,…,a1,a0],即把多项式的各项系数依降幂次序排放在行向量的元素位置上。
!
!
假如多项式中缺某幂次项，则应认为该幂次项的系数为零。
创建多项式的方法:
系数矢量的直接输入法
●在命令窗直接输入多项式的系数矢量，
特征多项式输入法
●由矩阵的特征多项式取得，由函数poly实现。
由根矢量创建多项式
●由给定的根矢量创建多项式，由函数poly实现。
多项式运算函数:
指 令
含 义
pA=polyval（p,S）
按数组运算规则计算多项式值。
P为多项式，S为矩阵
PM=polyvalm（p,S）
按矩阵运算规则计算多项式值。
r=roots（p）
求多项式p的根
p=conv（p1,p2）
p是多项式p1和p2的乘积多项式
[q,r]=deconv（p1,p2）
多项式p1被p2除的商多项式为q,而余多项式是r
[r,p,k]=residue（b,a）
部分分式展开：
b,a分别是分子和分母多项式系数向量;
r,p,k分别是留数、极点、直项
p=poly（AR）
求方阵AR的特征多项式p；
或求向量AR指定根所对应的多项式
p=polyfit（x,y,n）
求x,y向量给定的数据的n阶拟合多项式p
D=polyder（p,n）
求多项式的n阶导数
创建多项式
p=[1-120256];
%注意缺幂项补0
poly2str（p,'
）%将多项式系数行向量转换为字符串，可验证创建的符号表达式是否正确
x^4-12x^3+25x+6
或poly2sym（p）%将多项式系数行向量转换为符号表达式，可验证创建的符号表达式是否正确
x^4-12*x^3+25*x+6
调用roots函数求多项式的根
r=roots（p）.'
%roots函数的返回值是列向量，我这里做转置运算时为了打印方便
r=
11.81731.6636-1.2335-0.2474
多项式伴随矩阵的特征值求根法。
eig（compan（p））'
%同上
所有关于多项式的操作还可以通过符号运算实现。
符号求解时首先要创建多项式的符号表达式，可直接创建也可通过poly2sym将数值类型转换为符号类型。
本题的符号求解：
x^4-12*x^3+25*x+6'
）
或p=[1-120256];
%注意缺幂项补0
f=poly2sym（p）
r=vpa（solve（f）,5）%可以看出符号求解得出的是负数解，是因为其求解精度很高的原因，但可以看出其虚部的值很小，可忽略
11.818-.11848e-4*i
1.6635+.25342e-5*i
-.24695+.19682e-3*i
-1.2340-.18750e-3*i
2.9分析：
考查知识点——解线性代数方程组
线性代数方程（组）
AX=b
1、数值方法
●矩阵除法
X=A\b
●利用linsolve函数
X=linsolve（A,b）
A=[8-54-2;
-3-326-9;
5-50-3;
61-61]
A=
8-54-2
-3-326-9
5-50-3
61-61
b=[-9-24-8-2]'
;
X=（A\b）'
%左除，只适合于线性方程组
X=
-0.8616-0.7800-0.23652.5307
X1=linsolve（A,b）'
%调用linsolve函数，只适合于线性方程组
X1=
2.10分析：
考查知识点——符号法解方程组——适合于任何方程（组）——solve函数
g=solve（eq）
g=solve（eq,var）
g=solve（eq1,eq2,...,eqn）
g=solve（eq1,eq2,...,eqn,var1,var2,...,varn）
f1=sym（'
8*x+2*y=6'
26*x-19*y=19'
[x,y]=solve（f1,f2,'
'
y'
x=
38/51
1/51
r=vpa（[x,y],5）
[.74510,.19608e-1]
2.11分析：
考查知识点——解微分方程组
符号求解——dsolve函数
！
dsolve参数的数据类型是字符类型而不是符号类型。
clear
ch1='
Dx=4*x-2*x*y'
ch2='
Dy=x*y-3*y'
r=dsolve（ch1,ch2,'
x（0）=2,y（0）=3'
）%求特解
?
Errorusing==>
dsolve
Error,（indsolve/IC）The'
implicit'
optionisnotavailablewhengivingInitialConditions.
）%求通解
Warning:
Explicitsolutioncouldnotbefound;
implicitsolutionreturned.
>
Indsolveat320
x（t）=0
y（t）=C1*exp（-3*t）
Int（1/（4*_a+_a^（1/4）/exp（lambertw（1/4*exp（1/4*_a）*exp（1/4*C1）*exp（-1）/_a^（3/4）））*exp（1/4*_a）*exp（1/4*C1）*exp（-1））,_a=..x（t））-t-C2=0
y（t）=-1/2/x（t）*diff（x（t）,t）+2
说明符号求解得不到封闭解得形式，那么必须用数值求解.
数值求解——ode_函数
首先自己创建一个L_V函数表示要求解的方程
第二步调用ode45求解该微分方程组
h=@L_V;
[t,z]=ode45（h,[010],[2,3]）;
plot（t,z）
axis（[01215.5]）
legend（'
x（t）'
y（t）'
2.12分析：
考查知识点——绘制概率密度函数曲线
正态分布的概率密度为：
Y=normpdf（X,mu,sigma）
mu=0;
sigma=0.5;
%定义正态分布的均值和方差
X=normrnd（mu,sigma,1,100）;
%产生服从正态分布的随机数
Y=normpdf（X,mu,sigma）;
%得到其密度函数
plot（X,Y）
——错误的图形
出现上面图形的原因是因为X是无序的。
X=sort（X）;
这才是正确的解。
所以我们在数据可视化时应将因变量按从大到小或从小到大的顺序排列，这样才能显示出正确的图形。
2.13分析：
考查知识点——数据分析
函数名
功能描述
cumprod
向量累积
prod
对向量中各元素求积
cumsum
向量累加
sort
对向量中各元素排序
max
求向量中最大元素
sortrows
对矩阵中各行排序
min
求向量中最小元素
std
求向量中各元素标准差
mean
求向量中各元素均值
sum
对向量中各元素求和
median
求向量中中间元素
trapz
梯形法求数值积分
A=[1244;
3466;
5688;
5688]
1244
3466
5688
5688
B1=median（A）%求A每列的中位数
B1=
4577
B2=median（A'
）%求A每行的中位数
B2=
3577
C1=mean（A）%求A每列的均值
C1=
3.50004.50006.50006.5000
C2=mean（A'
）%求A每行的均值
C2=
2.75004.75006.75006.7500
2.14分析：
同上一题。
A=[2.14,2.1,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.1,2.15,2.12,2.14,2.1,2.13,2.11,2.14,2.11]
Columns1through12
2.14002.10002.13002.15002.13002.12002.13002.10002.15002.12002.14002.1000
Columns13through16
2.13002.11002.14002.1100
av=mean（A）%均值
av=
2.1250
v=var（A）%方差
v=
2.9333e-004
s=std（A）%标准差
s=
0.0171
m=median（A）%中位数
m=
2.1300
r=range（A）%样本极差
0.0500
2.15分析：
考查知识点——参数估计
建立样本数据
y=[1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948];
根据题目要求选择适当的函数，本题是总体参数都未知，要用极大似然估计法估计这个星期产生的灯泡能使用1300小时以上的概率——应使用函数mle函数先估计出其均值和方程，再求使用1300小时以上的概率。
[phat,pci]=mle（'
dist'
data,alpha）%参数具体意义看书
概率问题的求解：
phat=mle（'
phat=mle（'
norm'
y）
phat=
997.1000124.7970
P=1-normcdf（1300,phat
（1）,phat
（2））%求使用1300小时以上的概率
P=
0.0076
2.16分析：
考查知识点——曲线拟合
下面以一个例题来说明曲线拟合的步骤
以下是某物质在水溶液的摩尔x分数与某一物理量y的关系的实验数据，用多项式拟合得到它们之间的函数关系，并由此求出y最大值及对应的x。
x
0
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
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