届广东省揭阳市第一中学潮州金山中学高三下学期第一次联考数学理科试题 word版.docx
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届广东省揭阳市第一中学潮州金山中学高三下学期第一次联考数学理科试题word版
2015—2016学年度高三正月两校联考
数学（理）试卷
（命题：
揭阳一中）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.设集合，则等于（）
A.B.C.D.
2．已知i是虚数单位，则（）
A．B．C．D．
3．设函数的导函数，则数列的前n项和是（）
A．B．C．D．
4．已知平面向量若则实数的值为（）
A．2B．C．D．
5．若，则的最小值是（）
A．B．C．D．
6.下列叙述中正确的是（）
A．若，则“”的充分条件是“”
B．若，则“”的充要条件是“”
C．命题“对任意，有”的否定是“存在，有”
D．是一条直线，是两个平面，若，则
7．△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（）
A.B.C.或D.
8．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么（）
A．B．8C．D．16
9．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P—ABCD，其中底面四边形ABCD是边长为1的正方形，PA=1，且，则球体毛坯体积的最小值应为（）
A．B．C．D．
10．若定义在R上的减函数，对任意的，不等式成立，则当时，的取值范围是（）
A．B.C.D.
11.甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：
骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ）
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张D．甲得10张，乙得2张
12.已知，且在（-1,1］内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.执行程序框图，如果输入，那么输出．
14.设
则
15.已知双曲线C的离心率为2，左、右焦点为，点A在C上，
若，则。
16.数列｛｝的首项,
则数列｛｝的通项公式=
三、解答题（共70分）
17．（本题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及的值．
18．（本题满分12分）某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图）．
分组
频数
频率
[0，50]
n1
0.15
（50，100]
n2
0.25
（100，150]
n3
0.30
（150，200]
n4
0.20
（200，250]
n5
0.10
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求的值．
（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；
（3）用X表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（1）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？
证明你的结论；
（2）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.
20.（本题满分12分）已知椭圆:
的一个焦点为,而且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于
的任一点,直线分别交轴于点,若直线
与过点的圆相切,切点为.证明：
线段的长
为定值,并求出该定值.
21．（本题满分12分）
已知函数（常数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.
（请在第22、23、24题中任选一题解答，满分10分）
22．已知AB是圆的直径，C为圆上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC分别交于点M、N，且MN=MC
（1）求证：
MN=MB；
（2）求证：
OC⊥MN。
23．在直角坐标系中，圆，圆
（1）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标（用极坐标表示）
（2）求圆与圆的公共弦的参数方程
24.已知函数．
（1）若不等式的解集为，求实数a的值；
（2）在
（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.
2015—2016学年度高三正月联考数学（理）试卷答案
一、选择题（60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
B
D
D
A
B
D
C
A
A
二、填空题（20分）
13.414.12815.16.
三、解答题（70分）
17．解：
（1）∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac．又a2－c2＝ac－bc，∴b2+c2－a2＝bc．
在△ABC中，由余弦定理得cosA＝＝＝，∴∠A＝60°…（6分）
（2）解法一：
在△ABC中，由正弦定理得sinB＝，∵b2＝ac，∠A＝60°，
∴＝sin60°＝．…（12分）
解法二：
在△ABC中，由面积公式得bcsinA＝acsinB
∵b2＝ac，∠A＝60°，∴bcsinA＝b2sinB．∴＝sinA＝…（12分）
18.
（1）解：
由频率分布直方图，得：
=,=…（2分）
（2）解：
设A1表示事件“日销售量高于100个”，A2表示事件“日销售量不高于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．P（A1）=0.30+0.20+0.10=0.6，P（A2）=0.15，
故所求概率：
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．…（5分）
（3）解：
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.6）．…（6分）
P（X=0）=P（X=1）=
P（X=2）=P（X=3）=…（10分）
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分）
19．解：
（1）不论点E在何位置，都有BD⊥AE.
证明如下：
由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.…（1分）连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.…（2分）∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PC.…（3分）又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.…（4分）∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.…（5分）
（2）解法1：
在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF.…（6分）
∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝AE＝，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.
∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角（9分）．在Rt△ADE中，DF＝＝＝,∴BF＝.又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得cos∠DFB＝，∴∠DFB＝，即二面角D－AE－B的大小为.…（12分）
解法2：
如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（6分）则D（1,0,0），A（1,1,0），B（0,1,0），E（0,0,1），
从而＝（0,1,0），＝（－1,0,1），＝（1,0,0），＝（0，－1,1）．
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
，
由，取
由，取…（10分）
设二面角D－AE－B的平面角为θ，则，…（11分）
∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为…（12分）
20
（1）解法一:
由题意得,,解得,…（3分）
所以椭圆的方程为.………………………………………………4分
解法二:
椭圆的两个焦点分别为,
由椭圆的定义可得,所以,,…（3分）
所以椭圆的方程为.………………………………………………4分
（2）解法一:
由
（1）可知,设,
直线:
令,得;直线:
令,得;…（6分）设圆的圆心为,则,
…（10分）
而,所以,所以,
所以,即线段的长度为定值.…………………………………………12分
解法二:
由（Ⅰ）可知,设,
直线:
令,得;
直线:
令,得;…（6分）
则,…（8分）而,所以,
所以,…（10分）由切割线定理得…（11分）
所以,即线段的长度为定值.…………………………………………12分
21．解:
（1）当时，，..
又，…1分∴曲线在点处的切线方程为．…2分
（2）∵，∴.
因为，，于是当时，，当时，.
所以在上是增函数，在上是减函数.…5分
所以…6分
讨论函数的零点情况如下．
①，即时，函数无零点，在上也无零点；…7分
②当，即时，函数在内有唯一零点，而，∴在内有一个零点；……9分
③当，即时，由于，，当时，即时，
，，由单调性可知，函数在内有唯一零点、在内有唯一零点满足，在内有两个零点；…10分
当时，即时，，而且，由单调性可知，无论还是，在内有唯一的一个零点，在内没有零点，从而在内只有一个零点；…12分
综上所述，有：
当时，函数无零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.
22.证明：
（1）连结AE，BC，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°∵MN=MC，
∴∠MCN=∠MNC又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN∴∠EAC=∠DCB，
∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，∴MB=MC∴MN=MB．………5分
（2）设OC∩BE=F，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB
由
（1）知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC
∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°∴OC⊥MN．…………10分
23．解：
圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为，
解得，故圆与圆交点的坐标为…5分
注：
极坐标系下点的表示不唯一
（2）（解法一）由，得圆与圆交点的直角坐标为
故圆与圆的公共弦的参数方程为（或参数方程写成）…10分
（解法二）将代入，得，从而
于是圆与圆的公共弦的参数方程为
24.解：
（1）由得，
即………5分
（2）由（Ⅰ）知令
则
∴的最小值为4，故实数的取值范围是．………10分
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