一元二次方程应用题总复习Word文档下载推荐.docx
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当x＝12时，另一数为14；
当x＝-14时，另一数为-12.
答：
这两个偶数分别为12、14或-14、-12.
二）求直角三角形的边：
面积S一定，两直角边和（和为a）一定：
设其中一边为x，另一边为a-x，则1/2x（a-x）=S
面积S一定，两直角边差（差为a）一定：
设其中一边为x，另一边为x+a，则1/2x（x+a）=S
斜边c一定，两直角边和（和为a）一定：
设其中一边为x，另一边为a-x，则x2+（a-x）2=c2
斜边c一定，两直角边差（差为a）一定：
设其中一边为x，另一边为x+a，则x2+（x+a）2=c2
一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm，求较长的直角边的长。
设较短的直角边的长为x厘米，较长的直角边的长为（x＋3）厘米，根据三角形的面积公式，得1/2x（x+3）=9
解得：
X=3或X=-6（不合题意，舍去）
故X=3，X+3=6
所以较长的直角的边长为6厘米。
三）求矩形的边：
①利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形场地？
设靠墙的一边为x
x（20-2x）=20
x=5
∴设靠墙的两边为5m，另一边为10m
四）赛制循环问题：
单循环：
设参加的球队为x，则全部比赛共1/2[x（x-1）]场；
双循环：
设参加的球队为x，则全部比赛共x（x-1）场；
【单循环比双循环少了一半】
参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人握手10次，有多少人参加聚会？
设一共有x人
x•（x-1）2=10
x=5或x=-4（不合题意，舍去）
∴一共有5人
五）利滚利问题：
年利息＝本金×
年利率年利率为a%
存一年的本息和：
本金×
（1+年利率），即本金×
（1+a%）
存两年的本息和：
（1+年利率）2，即本金×
（1+a%）2
存三年的本息和：
（1+年利率）3，即本金×
（1+a%）3
存n年的本息和：
（1+年利率）n，即本金×
（1+a%）n
我村2006年的人均收入为1200元，2008年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率。
设均收入的年平均增长率，则1200×
（1+x）2=1452
x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）
∴人均收入的年平均增长率为10%。
六）传染问题：
（几何级数）
传染源：
1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1：
（1+x）】
患者：
第一轮后：
共（1+x）个
第二轮后：
共（1+x）（1+x），即（1+x）2个
第三轮后：
共（1+x）3，即（1+x）3个
……
第n轮后：
共（1+x）n个
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染。
请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意得：
x2=81
x=9或-9（负值不合题意，舍去）
∵93=729＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。
七）薄利多销问题（价格与销量问题）（略）
八）函数与方程
九）信息题
十）背景题
十一）古诗题
十二）象棋比赛题
十三）几何类题
三、应用举例
一）数字型
1、两个数的和是-7，积是12，则这两个数是多少？
2、5个连续正数，前3个数的平方比后两个数的积小1，这5个连续整数分别是多少？
3、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数是多少？
二）百分数应用题（含增长率方面的）题型
1、某企业2004年初投资100万元生产适销对路的产品，2004年底将获得的利润与年初的投资和作2005年的投资，到2005年底，两年共获利润为56万元，已知2005年的年获利比2004的年获利率多10个百分点（即2005的年获利率是2004年的年获利率与10%的和），求2004年和2005年获利率各是多少？
2、某工厂一月份生产某种机器100台，计划二、三月份共生产280台。
设二、三月份每月的平均增长率为X，求增长率为多少？
3、某市土地沙漠化严重，2005年沙漠化土地面积为100Km2，经过综合治理，希望到2007年沙漠化土地面积降到81Km2，如果每年治理沙漠化土地的降低百分率相同，求每年的沙漠化土地的降低百分率。
三）传染病毒应用题
1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
2、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有169只小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？
四）银行利率应用题
1、某人将2000元按一年定期存银行。
到期后取出1000元，并将剩下的1000元及利息再按一年定期存入银行，到期后取得本息共计1091.8元。
求银行一年定期储蓄的利率是多少？
五）销售利润方案类题
（1）经济类一
1、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
设每件售价x元，则每件利润为x-8，
销售量则为200-（x-10）/0.5*10=200-20（x-10）
所以每天利润为640元时，则有
（x-8）[200-20（x-10）]=640
则有x2-28x+192=0
即（x-12）（x-16）=0
所以x=12或x=16。
即当每件售价为12元或16元时，每天利润为640元
2、神州行旅行社为吸引市民组团去大纵湖风景区旅游,推出如下收费标准,如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元，如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元，某单位组织员工去大纵湖风景区旅游，共支付给神州旅行社旅游费用2700元，请问该单位这次共有多少员工去旅游了。
3、苏宁服装商场将每件进价为30元的内衣，以每件50元售出，平均每月能售出300件，经过试销发现，每件内衣涨价10元，其销量就将减少10件，为了实现每月8700元销售利润，假如你是商场营销部负责人，你将如何安排进货？
设涨价10x元,销量将减少10x件:
（300-10X）（50+10X-30）=87006000+3000X-200X-100X²
=8700
X²
-28X+27=0（X-1）（X-27）=0
X1=1,以每件50+10*1=60元售出，平均每月能售出300-10*1=290件,进货290件,以每件60元售出.
X2=27,以每件50+10*27=320元售出，平均每月能售出300-10*27=30件,进货30件,以每件320元售出.因为售出价320元太高,此解舍去.
4、某越剧团准备在市大剧院演出,该剧院能容纳1200人,经调研,如果票价定为30元，那么门票可以全部售完，门票价格每增加1元，售出的门票数就减少30张，如果想获得36750元的门票收入，票价应定为多少元？
5、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售出2件，
1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
答案：
1）设每件衬衫应降价X元。
得
（20+X*2）*（40-X）=1200
解X=10答：
应降价10元
2）设每件衬衫应降价X元,商场平均每天盈利最多y元。
（20+X·
2）（40-X）=y
解X=15答：
应降价15元
（2）经济类二（经济类试题一元二次方程的实际应用）
近年来方程的应用与相关经济类试题呈逐渐增多的趋势．现举例说明：
例1：
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：
设每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈利（40―x）元，降价后每天可卖出（20+2x）件，由关系式：
总利润=每个商品的利润×
售出商品的总量，可列出方程．
设每件衬衫降价x元，
依题意，得（40―x）（20+2x）=1200，
整理得：
x2―30x+200=0，解得：
x1=10，x2=20，
因为要尽快减少库存，所以x=10舍去．答：
每件衬衫应降价20元．
例2：
某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后加强改进管理，经减员增效，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？
（精确到0.1%）
设三、四月份平均每月增长的百分率为x，二月份销售额为60（1―10%）万元，三月份的销售额是二月份的（1+x）倍，即三月份销售额为60（1―10%）（1+x）万元，四月份的销售额是三月份的（1+x）倍，则四月份的销售额为60（1―10%）（1+x）2万元，其等量关系为：
四月份销售额=96．
设三、四月份平均每月的增长率为x，
依题意，得60（1―10%）（1+x）2=96
x1=，x2=（舍去）答：
平均每月的增长率为33.3%．
例3：
某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350―10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需卖出多少件商品，每件售价应为多少元？
本题中涉及到的数量关系列表如下：
进价
售价
单件利润
售出数量
利润
21
a
a―21
350―10a
400
依题意得（a―21）（350―10a）=400，
整理得a2―56a+775=0，即（a―25）（a―31）=0，
解得a1=25，a2=31．
又因为21×
（1+20%）=25.2，
例4．（本题满分10分）利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息:
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？
每天的最大利润是多少？
（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．
根据题意，得
解得
答：
甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．
（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则
s=（1-m）（500+100×
）+（5-3-m）（300+100×
）
即s=-2000m2+2200m+1100=-2000（m-0.55）2+1705.
∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705.
当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.
六）函数与方程
1.某工厂生产的某种产品质量分为10个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产76件，每件利润10元.媒体搞一个档次，每件利润增加2元，但每天产量减少4件.
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1
x
10），求出y关于x的函数关系式；
（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次.
解:
1）生产数量为:
76-4（X-1）
利润为:
10+2（X-1）
则函数为:
Y=[76-4（X-1）][10+2（X-1）]
整理为:
Y=-8X2+128X+640
把Y=1080代入解得X=5或X=11（不合题舍）固为第五档.
七）信息题
1、某开发区为改善居民住房条件，每年都要建一批住房，这样人均住房面积逐年增加，该开发区2005年至2006年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果如图所示，请根据下列两图提供信息解答问题：
（1）该区2005年和2006年这两年，哪一年比上年增加的住房面积多？
多增加多少平方米？
（2）预计到2008年年底，该区人口是总数将比2006年年底增加2万人，为使到2007年年底该区人均住房面积达到22m2/人，试求2006年，2008年两年该区住房总面积的年平均增长率。
2、某开发区为改善居民住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加[人均住房面积=（该区住房总面积/该区人口总数）（单位：
m2/人）]，该开发区2004年至2006年每年年底人口总数和人均住房面积的统计如图1，图2．
请根据图1，图2提供的信息解答下面问题：
（1）该区2005年和2006年两年中哪一年比上一年增加的住房面积多多增加多少平方米？
（2）由于经济发展需要，预计到2008年底该区人口总数比2006年底增加2万人，为使到2008年底该区人均住房面积达到11m2/人，试求2007年和2008年这两年该区住房总面积的年平均增长率为多少？
考点：
一元二次方程的应用．
专题：
增长率问题；
图表型．
本题根据图象提供的信息进行分析、筛选，整理有关数据，根据题目的要求，正确识图，进而找出2005年和2006年人均住房面积及多增加多少万平方米．第二个问题的实质是2007年和2008年的平均增长率是以2006年底人口为基础，再结合人均住房面积，求出总面积．
解答：
（1）2006年比2005年增加住房面积：
20×
10-18×
9.6=27.2，
2005年比2004年增加住房面积：
18×
9.6-17×
9=19.8，
所以2006年比2005年的增加的面积多，且多增加27.2-19.8=7.4（万m2）．
（2）设住房面积的平均增长率为x，则20×
10（1+x）2=11×
（20+2）．解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）．
所以2006年与2007年这两年该区住房面积的年平均增长率为10%．
点评：
列一元二次方程解应用题将实际问题转化为数学问题，增长率或降低率问题它符合a（1+x）n=b类型，x是增长率，a是基础数，b是增长后的量．
本题第二问考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×
（1±
x），再经过第二次调整就是a×
x）（1±
x）=a（1±
x）2．增长用“+”，下降用“-”．
八）、背景题
1、某电厂规定：
该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过AkW·
h,那么这个月这户只需要交10元电费；
如果超过AkW·
h，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度
元交费。
（1）该厂某户居民2月份用电90kW·
h，超过了规定的AkW·
h，则超过部分应交电费多少元（用A的代数式表示）。
（2）下表是这户居民3月、4月份用电情况和交费情况：
月份
用电量/kW·
h
交电费总数/元
3
60
25
4
45
10
根据上表的数据，计算电厂规定的AkW·
h是多少？
【实际背景】
预警方案确定:
设
．如果当月W<
6，则下个月要采取措施防止“猪贱伤农”．
【数据收集】
今年2月～5月玉米、猪肉价格统计表
月份
2
5
玉米价格（元/500克）
0.7
0.8
0.9
1
猪肉价格（元/500克）
7.5
m
6.25
6
【问题解决】
（1）若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格m；
（2）若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”；
（3）若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍，而每月的猪肉价格增长率都为a，则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米．请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”．
（1）由题意，
，
m=7.2．
（2）从2月~5月玉米的价格变化知，后一个月总是比前一个月价格每500克增长0.1元．（2分）
（或：
设y＝kx+b，将（2，0.7），（3，0.8）代入，得到y=0.1x+0.5，把（4，0.9），
（5，1）代入都符合，可评2分，再得到（6，1.1）时不再给分）
∴6月玉米的价格是：
1.1元/500克;
（3分）
∵5月增长率：
，∴6月猪肉的价格：
6（1－
）=5.76元/500克.
∴W=
=5.24<
6，要采取措施．
说明：
若答：
∵5月的W=6，而6月时W的分子（猪肉价格下降）减小，且分母（六月的玉米价格增长）增大，∴6月的W<
6，未叙述减小和增大理由时可扣1分．
（3）7月猪肉价格是：
元/500克；
7月玉米价格是：
由题意，
+
=5.5，（6分）
解得，
．（7分）
不合题意，舍去．（8分）
∴
，（9分），
，∴不（或：
不一定）需要采取措施．
九）、古诗问题
读诗词解题：
（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.
则根据题意，得x2＝10（x－3）+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
答 周瑜去世的年龄为36岁.
本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题。
十）、象棋比赛
象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与（n－1）个选手比赛一局，共计n（n－1）局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n（n－1）局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n（n－1）分.显然（n－1）与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n（n－1）＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.
参加比赛的选手共有45人.
类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解。
十一）、几何类题
（1）等积变形
例1将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?
若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；
若不能符合条件，请说明理由.
解 都能.
（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2＝
×
15，即x2－34x+180＝0，
解这个方程，得x＝
，即x≈6.6.
（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝
15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.
说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；
其原则是形变积不变；
或形变积也变，但重量不变，等等.
（2）动态几何问题
如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°
，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；
若不存在，说明理由.
因为∠C＝90°
，所以AB＝
＝
＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝（6－x）cm，CQ＝2xcm.
则根据题意，得
·
（6－x）·
2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
2x＝
6×
8.整理，得x2－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.
说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×
时间.
（3）梯子问题
一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.
（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？
（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
依题意，梯子的顶端距墙角
＝8（m）.
（1）若梯子顶端下滑
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