江苏省泰州市届高三第一次模拟考试数学试题及答案.docx
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江苏省泰州市届高三第一次模拟考试数学试题及答案
泰州市2015届高三第一次模拟考试
数学试题
（考试时间：
120分钟总分：
160分）
命题人：
朱占奎张俊吴春胜
审题人：
丁凤桂石志群
注意事项：
所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
（参考公式：
，）
一、填空题：
（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1.已知，，则▲．
2.函数的最小正周期为▲．
3.复数满足（是虚数单位），则▲．
4.函数的定义域为▲．
5.执行如右图所示的流程图，则输出的为▲．
6.若数据的方差为，则▲．
7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为▲．
8.等比数列中，，，则数列的前项和为▲．
9.已知函数是奇函数，则▲．
10.双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的
离心率▲．
11.若是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为▲．（写出所有真命题的序号）
①若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线．
②若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直．
③若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线．
④若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线．
12.已知实数满足，，则的取值范围为▲．
13.在中，角所对的边分别为，若且，则面积的最大值为▲．
14.在梯形中，，，为梯形所在平面上一点，且满足=0，，为边上的一个动点，则的最小值为▲．
二、解答题：
（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（本题满分14分）
在平面直角坐标系中，角的终边经过点．
（１）求的值；
（２）若关于轴的对称点为，求的值．
16.（本题满分14分）
如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点．
（1）求证：
直线平面；
（2）求证：
直线平面．
17.（本题满分14分）
如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以为斜边的等腰直角三角形构成，其中为的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道，按实际需要，四边形的两个顶点分别在线段上，另外两个顶点在半圆上，，且间的距离为1km．设四边形的周长为km．
（1）若分别为的中点，求长；
（2）求周长的最大值．
18.（本题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？
请证明你的结论．
19.（（本题满分16分）
数列，，满足：
，，．
（1）若数列是等差数列，求证：
数列是等差数列；
（2）若数列，都是等差数列，求证：
数列从第二项起为等差数列；
（3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？
证明你的结论．
20.（本题满分16分）
已知函数，．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；
（3）当时，若与的图象有两个交点，求证：
．
（取为，取为，取为）
泰州市2015届高三第一次模拟考试
数学试题（附加题）
（考试时间：
30分钟总分：
40分）
21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．
A．（本小题满分10分，几何证明选讲）
如图，与圆相切于点，是的中点，过点引圆的割线，与圆相交于点，连结．
求证：
．
B．（本小题满分10分，矩阵与变换）
已知矩阵，，若矩阵对应的变换把直线变为直线，求直线的方程．
C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）
己知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，直线与圆相交于两点，求弦的长．
D．（本小题满分10分，不等式选讲）
已知正实数满足，求证：
．
［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（（本小题满分10分）
如图，在长方体中，，，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）．
（1）若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度;
（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．
23.（（本小题满分10分）
记为从个不同的元素中取出个元素的所有组合的个数．随机变量表示满足的二元数组中的，其中，每一个（0,1,2,…,）都等可能出现．求．
泰州市2015届高三第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题
1．；2．；3．；4．；5．；
6．；7．；8．；9．； 10．；
11．②④；12．；13．；14．
二、解答题
15.解：
（１）∵角的终边经过点，∴，……………4分
∴．……………7分
（２）∵关于轴的对称点为，∴．………………………………9分
∴，∴． ……………１４分
16.证明
（1）∵四边形是菱形，，∴点是的中点，
∵点为的中点∴，………………3分
又∵平面，平面，∴直线平面．………７分
（２）∵，点为的中点,∴,
∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面，………………9分
∵平面∴,
∵，，∴，
∴四边形为平行四边形,∴，………………11分
∵，，∴，∵四边形是菱形，∴，
∵，，，在平面内，
∴平面． ………………1４分
17.（１）解：
连结并延长分别交于，连结，
∵分别为的中点，，∴，
为等腰直角三角形，为斜边，，
．∵，∴．………………3分
在中，，∴，
∴． ……………6分
（２）解法１ 设，．
在中，，∴，．
∵，∴，
∴，……………………………………………………8分
∴………………10分
，（当或时取等号）
∴当或时，周长的最大值为． …………………14分
解法２ 以为原点，为轴建立平面直角坐标系．
设，，，，
∴，，．……………………………8分
∴ ………………………10分
，
（当，或，时取等号）
∴当，或，时，周长的最大值为．……………１４分
18.解：
（1）设，
∵直线斜率为时，，∴，∴…………３分
∴，∵，∴．
∴椭圆的标准方程为．………………６分
（２）以为直径的圆过定点．
设，则，且，即，
∵，∴直线方程为：
，∴，
直线方程为：
，∴，………………９分
以为直径的圆为
即，………………12分
∵，∴，
令，，解得，
∴以为直径的圆过定点．………………16分
19．证明：
（１）设数列的公差为，
∵，
∴，
∴数列是公差为的等差数列． ………………４分
（２）当时，，
∵，∴，∴，
∴，
∵数列，都是等差数列，∴为常数，
∴数列从第二项起为等差数列． ………………１０分
（３）数列成等差数列．
解法１ 设数列的公差为，
∵，
∴，∴，…，，
∴，
设，∴，
两式相减得：
，
即，∴，
∴，
∴， ………………１２分
令，得，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴数列（）是公差为的等差数列， ………………１４分
∵，令，，即，
∴数列是公差为的等差数列． ………………１６分
解法2 ∵，，
令，，即，………………１２分
∴，，
∴，
∵数列是等差数列，∴，
∴， ………………１４分
∵，∴，
∴数列是等差数列． ………………１６分
20.解：
（1）,则，
∵在上单调递增，∴对，都有，
即对，都有，∵，∴，
故实数的取值范围是．………………4分
（2）设切点，则切线方程为，
即，亦即，
令，由题意得，……７分
令，则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
∴，故的最小值为．………………１０分
（3）由题意知，，
两式相加得，两式相减得，
即，∴，
即， …………１２分
不妨令，记，令，则，
∴在上单调递增，则，
∴，则，∴，
又，
∴，即，
令，则时，，∴在上单调递增，
又，
∴，则，即．
………………１６分
附加题参考答案
21.A．证明：
∵与相切于点．由切割线定理：
．
∵是的中点，∴．∴．………………５分
∴．∵∴∴……１０分
21.B.解：
∵，∴，
∴, ………………５分
设直线上任意一点在矩阵对应的变换下为点
，∴．
代入，，化简后得：
． ………………１０分
21.C.解：
圆：
，直线：
，………………5分
圆心到直线的距离，弦长．………１０分
21.D.证明：
∵正实数满足，
∴，∴，………………5分
∴．………………１０分
22.解：
（1）以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，知,，
，，.设，
∴，.
设异面直线与所成角为，
则，
化简得：
解得：
或，
或． ………………5分
（2）∵，∴，
，,，
设平面的一个法向量为，
∴，∴，即，取，，
设平面的一个法向量为，
∴，∴，即，取，，
设平面与平面所成角为，
∴，
∴． ………………１０分
23.解：
∵，
当时，
，，，，
∴当时，的解为． ………………3分
当，，
由可知：
当时，成立，
当时，（等号不同时成立），即．……………6分
０
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
…………………………………………8分
∴．
………………………………………10分
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