艺体冲刺d第4讲 随机抽样和样本估计总体学生.docx

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艺体冲刺d第4讲随机抽样和样本估计总体学生

第4讲随机抽样和样本估计总体

[玩前必备]

1．简单随机抽样

（1）定义：

一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

（2）最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．

（3）应用范围：

总体个体数较少．

2．系统抽样的步骤

一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

（1）先将总体的N个个体编号；

（2）确定分段间隔k，对编号进行分段．当（n是样本容量）是整数时，取k＝；

（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；

（4）按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k），再加k得到第3个个体编号（l＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样

（1）定义：

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

（2）分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．

4.频率分布表

（1）含义：

把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．

（2）频率分布表的画法步骤：

第一步：

求极差，决定组数和组距，组距＝；

第二步：

分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：

登记频数，计算频率，列出频率分布表．

5.频率分布直方图

利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图．

（1）作频率分布直方图的方法

①先制作频率分布表，然后作直角坐标系．

②把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形．

③每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图．

（2）频率分布直方图的特征

①直方图中各小长方形的面积之和为1.

②直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积．

③直方图中每组样本的频数为频率×总体数．

6．茎叶图

茎相同者共用一个茎（如两位数中的十位数），茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶（如两位数中的个位数），一般按从小到大（或从大到小）的顺序同行列出．这样将样本数据有条理地列出来的图形叫做茎叶图．其优点是当样本数据较少时，茎叶图可以保留样本数据的所有信息，直观反映出数据的水平状况、稳定程度，且便于记录和表示；缺点是对差异不大的两组数据不易分析，且样本数据很多时效果不好．

茎叶图的画法步骤

第一步：

将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分；

第二步：

将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；

第三步：

将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．

7．样本的数字特征：

众数、中位数、平均数、方差、标准差

（1）众数：

一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．

（2）中位数：

把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数．

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．

（3）平均数：

样本数据的算术平均数，即＝（x1＋x2＋…＋xn）．

（4）标准差与方差：

设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是

s＝，

s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]

标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．

（5）标准差和方差的一些结论

若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2.

[玩转典例]

题型一随机抽样

例1　（高考江西卷）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）

7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198

3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481

A.08　　　　B．07C．02D．01

例2　为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是________．（填序号）

15，10，15，20，25；②2，4，8，16，32；③1，2，3，4，5；④7，17，27，37，47.

例3　某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：

高一年级

高二年级

高三年级

女生

523

x

y

男生

487

490

z

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.若现需对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为________．

[玩转跟踪]

1.（广东,6）为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为（　　）

A.50B.40C.25D.20

2．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（　　）

A.5,10,15,20,25　　B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5　　D.2,4,6,16,32

3．（2017·江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．

4.（四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）

A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法

题型二频率分布直方图

例4（山东,8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：

kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（　　）

A．6　　　　　B．8C．12D．18

例5在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________．

例6（2017·全国Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：

万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

[玩转跟踪]

1.（山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：

小时）,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,[25,27.5）,[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）

A.56B.60C.120D.140

2.（重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下：

则这组数据的中位数是（　　）

A．19B．20C．21.5D．23

3.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（　　）

A．各月的平均最低气温都在0℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征

例7某公司10位员工的月工资（单位：

元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（　　）

A.，s2＋1002B.＋100，s2＋1002C.，s2D.＋100，s2

[玩转跟踪]

1．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：

分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）

A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8

2．（安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为（　　）

A．8B．15C．16D．32

3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（　　）

　　　　1　　2　5

　　　　20　2　3　3

　　　　31　2　4　4　8　9

　　　　45　5　5　7　7　8　8　9

　　　　50　0　1　1　4　7　9

　　　　61　7　8

A．46,45,56　　　B．46,45,53C．47,45,56D．45,47,53

题型四综合应用

例8（新课标全国Ⅰ,18）从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表：

质量指标值分组

[75,85）

[85,95）

[95,105）

[105,115）

[115,125）

频数

6

26

38

22

8

（1）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：

（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？

[玩转跟踪]

1.（2015·广东,17）某城市100户居民的月平均用电量（单位：

度）,以[160,180）,[180,200），

[200,220）,[220,240）,[240,260）,[260,280）,[280,300]分组的频率分布直方图如图.

（1）求直方图中x的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为[220,240）,[240,260）,[260,280）,[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240）的用户中应抽取多少户？

[玩转练习]

1（2019全国II理5）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A．中位数B．平均数

C．方差D．极差

2（2019全国II理13）我国高铁发展迅速，技术先进.