初二数学一元二次方程教案Word文档格式.docx
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一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；
bx是一次项，b是一次项系数；
c是常数项．
例1．将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
注意:
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
例2．（学生活动：
请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；
一次项、一次项系数；
常数项．
三、巩固练习
补充练习:
判断下列方程是否为一元二次方程
（1）3x+2=5y-3
（2）x2=4（3）3x2-
=0（4）x2-4=（x+2）2（5）ax2+bx+c=0
—
四、应用拓展
例3．求证：
关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
作业设计
一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．
①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-
=0
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．
A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．
A．p=1B．p>
0C．p≠0D．p为任意实数
二、填空题
1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
2．一元二次方程的一般形式是__________．
3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
|
三、综合提高题
1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=
x-（x+1）是一元二次方程
2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗为什么
3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：
设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：
x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
第一步：
x
.
1
2
3
4
x2-3x-1
-3
、
所以，________＜x＜_________
第二步：
x
）
所以，________＜x＜__________
（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．
[
第2课时22．1一元二次方程
教学内容
1．一元二次方程根的概念；
2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．
教学目标
了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；
由解给出根的概念；
再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．
！
重难点关键
1．重点：
判定一个数是否是方程的根；
2．难点关键：
由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
教学过程
一、复习引入
请同学独立完成下列问题．
问题1．前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x2-8x+20=0
。
列表：
5
6
7
8
9
10
11
…
x2-8x+20
：
&
问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44
x2+7x
】
提问：
（1）问题1中一元二次方程的解是多少问题2中一元二次方程的解是多少
*
（2）如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗
老师点评：
（1）问题1中x=2与x=10是x2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x2+7x-44=0的解.
（2）如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
回过头来看：
x2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；
但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
分析：
要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：
将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
；
例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根,求代数式2007（a+b+c）的值
练习:
关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值
点拨:
如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.
例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗
（1）x2-64=0
（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0
要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．
三、应用拓展
例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪
{
设长为xcm，则宽为（x-5）cm
列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题：
（1）x可能小于5吗可能等于10吗说说你的理由．
（2）完成下表：
~
12
13
14
15
16
17
x2-5x-150
'
（3）你知道铁片的长x是多少吗
x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．
解：
（1）x不可能小于5．理由：
如果x<
5，则宽（x-5）<
0，不合题意．
x不可能等于10．理由：
如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．
（2）
10
11
12
13
……
#
-100
-84
-66
-46
-24
26
?
54
（3）铁片长x=15cm
四、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
（1）一元二次方程根的概念；
（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．（“夹逼”方法;
平方根的意义）
-
1．方程x（x-1）=2的两根为（）．
A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=2
2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．
A．x1=b，x2=aB．x1=b，x2=
C．x1=a，x2=
D．x1=a2，x2=b2
3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则
=（）．
A．1B．-1C．0D．2
1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
3．方程（x+1）2+
x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；
x2=________．
1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：
-1必是该方程的一个根．
3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（
）2-2x
+1=0，令
=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：
在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．
第3课时22.2.1直接开平方法
教学过程
一、复习引入
请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；
（3）x2+px+_____=（x+___）2．
问题1：
根据完全平方公式可得：
（1）164；
（2）42；
（3）（
）2
．
问题2：
目前我们都学过哪些方程二元怎样转化成一元一元二次方程于一元一次方程有什么不同二次如何转化成一次怎样降次以前学过哪些降次的方法
上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±
3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢
（学生分组讨论）
回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±
即2t+1=3，2t+1=-3
方程的两根为t1=1，t2=--2
例1：
解方程：
（1）（2x-1）2=5
（2）x2+6x+9=2（3）x2-2x+4=-1
分析：
很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
（2）由已知，得：
（x+3）2=2
直接开平方，得：
x+3=±
即x+3=
，x+3=-
所以，方程的两根x1=-3+
，x2=-3-
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；
二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
设每年人均住房面积增长率为x，
则：
10（1+x）2=
（1+x）2=
直接开平方，得1+x=±
即1+x=，1+x=
所以，方程的两根是x1==20%，x2=
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
（学生小结）老师引导提问：
解一元二次方程，它们的共同特点是什么
共同特点：
把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
教材P36练习．
补充题：
如图，在△ABC中，∠B=90°
，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2
问题2：
设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x，BQ=2x
依题意，得：
x·
2x=8
x2=8
根据平方根的意义，得x=±
即x1=2
，x2=-2
可以验证，2
和-2
都是方程
2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
所以2
秒后△PBQ的面积等于8cm2．
例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少
设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=
把（1+x）当成一个数，配方得：
（1+x+
）2=，即（x+
）2=2．56
x+
=±
，即x+
=，x+
=
方程的根为x1=10%，x2=
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
五、归纳小结
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±
转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±
，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解
六、布置作业
1．教材P45复习巩固1、2．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．
A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（）．
A．3B．-3C．±
3D．无实数根
3．用配方法解方程x2-
x+1=0正确的解法是（）．
A．（x-
）2=
，x=
±
B．（x-
）2=-
，原方程无解
C．（x-
，x1=
+
，x2=
D．（x-
）2=1，x1=
，x2=-
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a、b为实数，满足
+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
1．解关于x的方程（x+m）2=n．
2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗能达到200m吗
（2）鸡场的面积能达到210m2吗
3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗
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