中考总复习六方程与方程组Word格式.docx
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只含有个未知数，且未知数的次数是次的方程叫做一元一次方程.
（二）一元一次方程的一般形式：
.
（三）解一元一次方程的一般步骤：
（1）去；
（2）去；
（3）；
（4）合并；
（5）系数；
（6）检验（检验步骤可以不写出来）.
考点四：
二元一次方程组
（一）二元一次方程组定义
两个含有个未知数，且未知数的次数是次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
（二）二元一次方程组的一般形式：
（三）二元一次方程组的解法：
（1）消元法；
（2）消元法.
考点五：
分式方程
（一）分式方程定义
分母中含有的方程叫做分式方程.
（二）分式方程与整式方程的联系与区别：
分母中是否含有.
（三）分类：
（1）可化为一元一次方程的分式方程；
（2）可化为一元二次方程的分式方程.
（四）解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，化为方程：
①把各分母分解；
②找出各分母的公分母；
③方程两边各项乘以公分母；
（2）解整式方程.
（3）检验（检验步骤必需写出来）.
①把未知数的值代入原方程（一般方法）；
②把未知数的值代入公分母（简便方法）.
（4）结论确定分式方程的解.
考点六：
一元二次方程
（一）一元二次方程定义
只含有个未知数，且未知数的次数是次的整式方程叫做一元二次方程.
（二）一元二次方程的一般形式：
（三）一元二次方程的解法：
（1）配方法
①通过配成式的形式来解一元二次方程的方法称为配方法.
②用配方解方程的一般步骤：
a化1：
把数化为1（方程两边都除以二次项系数）；
b移项：
把项移到方程的右边；
c配方：
方程两边都加上数绝对值的平方；
d变形：
方程左边写成形式，右边合并同类项；
e开方：
求平方根；
f求解：
解一元一次方程；
g定解：
写出原方程的解.
（2）公式法：
①一元二次方程：
，当
时，它的根是
②用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法（solvingbyformular）.
③用公式法解题的一般步骤：
a变形：
化已知方程为形式；
b确定系数：
用a，b，c写出各项系数；
c计算：
的值；
d代入：
把有关数值代入公式计算；
e定根：
写出原方程的根.
（3）因式分解法：
①当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
②因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
a化方程为形式；
b将方程左边；
c根据“两个因式的积等于零，至少有一个因式为零”，转化为两个一元一次方程；
d分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
考点七：
一元二次方程根的判别式
我们知道：
代数式
对于方程的根起着关键的作用.
当
时，方程
有的实数根
；
根.
所以我们把
叫做方程
的根的判别式，用“△”来表示，即
考点八：
列方程（组）解应用题的一般步骤：
（一）审：
分析题意，找出已、未知之间的数量关系和相等关系.
（二）设：
选择恰当的未知数（直接或间接设元），注意单位的统一和语言完整.
（三）列：
根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程（组）.
（四）解：
解所列的方程（组）.
（五）验：
（有三次检验①是否是所列方程（组）的解；
②是否使代数式有意义；
③是否满足实际意义）.
（六）答：
注意单位和语言完整.
类型一：
例1．
（1）若
是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A．
B．-2 C．2 D．4
思路点拨：
根据一元一次方程的定义，首先要满足未知项系数不为0，其次未知项的最高次数为1.
解：
（2）（2010年台湾省）已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为2：
3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4：
5，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多可装满几个大纸杯？
（）
（A）64
（B）100
（C）144
（D）225。
设甲桶果汁与乙桶果汁的体积分别为4k、5k;
乙桶内的果汁最多可装满x个大纸杯.由小纸杯与大纸杯的容量比为2：
3可得.
解析：
举一反三：
【变式1】关于x的一元一次方程
的解为.
根据一元一次方程的定义.
例2．解方程：
（1）
（2）
[
（
-1）-2]-2x=3.
（1）因为方程含有分母，应先去分母.注意每一项都要乘以6；
（2）此方程含括号，因为
×
=1，所以先去中括号简便.
【变式1】解下列方程
（1）8-9x=9-8x；
（2）
（3）
（4）
（2）
法一：
法二：
（4）
类型二：
例3．
（1）（2010年安徽芜湖）关于x的方程（a－5）x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）
A．a≥1
B．a＞1且a≠5
C．a≥1且a≠5
D．a≠5
方程根的定义、一元二次方程根的判别式、分类讨论（一元一次方程和一元二次方程）.
（2）已知：
3是关于x的方程
的一个解，则2a的值是（ ）
A．11B．12C．13D．14
【变式1】已知x=-1是关于x的方程
的一个根，则a=________.
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-（k＋1）x-6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值.
例4．按要求解一元二次方程.
（1）x2+4x+4=1（直接开平方法）
很清楚，x2+4x+4是一个完全平方式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
（2）6x2-7x+1=0（配方法）
（3）5x+2=3x2（公式法）
用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
（4）（x-2）2=2x-4（因式分解法）
等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；
一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式.
例5．
（1）（2010广东广州）已知关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根，
求
的值。
考点：
分式化简，一元二次方程根的判别式
⊿＝0，即
．
（2）关于x的方程x2-kx+k-2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．不能确定
一元二次方程根的判别式.
对于一元二次方程而言，当判别式△>
0时方程有二个不相等实数根，当△<
0时方程无实数根，当△=0时方程有二个相等实数根，所以判定一元二次方程根的情况关键是求“△”.
【变式1】若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>
0的解集（用含a的式子表示）．
要求ax+3>
0的解集，就是求ax>
-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<
0就可求出a的取值范围．
类型三：
例6．已知方程
是一个二元一次方程，求m和n的值.
二元一次方程必须是同时符合下列两个条件的整式方程：
（1）方程中含有两个未知数；
（2）方程中含有未知数的项的次数都是1.
【变式1】下列方程组中，是二元一次方程组的有哪些？
（2）
（3）
（5）
由二元一次方程组的定义可知：
（1）方程组中的每个方程必须都是一次方程；
（2）方程组中的未知数共有两个；
（3）方程组中的两个方程必须都为整式方程.
例7．方程组
的解为（ ）.
（A）
（B）
（C）
（D）以上答案均不对
未知数x、y的一对值必须同时满足已知方程组的每个方程，才是方程组的解.
【变式1】已知
是方程3x-ay-2a=3的一个解，求a的值.
由
是方程3x-ay-2a=3的一个解，可以理解为x，y的值适合方程3x-ay-2a=3，也就是说方程3x-ay-2a=3中的x取-2，y取
时方程成立.这样就可以将x=-2，y=
代入方程中，转化为关于a的一元一次方程，可求出a值.
【变式2】
（烟台）写出一个解为
的二元一次方程组________________.
此题为开放性试题，由二元一次方程组的解的定义，需同时满足每个方程，答案不唯一.
例8．解方程组.
用代入法解二元一次方程组时，要尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程去变形，此例中②式y的系数为-1，所以用含x的代数式表示y，代入①中消去y.
此方程组的两个方程中y的系数互为相反数，所以可把两个方程相加，消去y，解出x的值；
又发现两个方程中x的系数相等，所以可把两个方程相减，消去x，解出y的值.
解法一：
解法二：
此方程组中两个未知数的系数均不成整数倍，所以选择系数较简单的未知数消元.将①×
4，②×
3，使得x的系数相等，再相减消去x.
【变式1】解方程组.
这两个方程都需要整理成标准形式，这样有利于确定消去哪个未知数.
分析：
此方程组中没有一个未知数的系数的绝对值是1，所以考虑用加减消元法，选择消去系数较简单的未知数x，由①和②，①和③两次消元，得到关于y，z的二元一次方程组，最后求x.
类型四：
例9．下列方程中哪个是关于x的分式方程？
B．
C．
D．
根据分式方程的定义.
例10．解分式方程.
方程
是一个分式方程，根据方程的同解原理，可以把它化为一个一元一次方程，两边同时乘以x+1，得3x-4=2（x+1），但方程的同解原理要求，x+1≠0，∴解完方程以后要验根.
去分母时注意方程中每一项都要乘以各分母的最小公倍数，等号右边的数字3不要漏乘；
还要注意验根.
（3）（2010江西）解方程：
方程的两边同乘以
，去分母.
例11．已知方程
无解，求m的值．
此分式方程无解，说明去分母后得到的x的值使得分式无意义，即最简公分母为0．
【变式1】关于x的方程
的解是非负数，求a与b的关系．
先求出方程的解，再令
【变式2】如果
，试求A、B的值．
解法1：
（利用分式的加减法）
解法2：
类型五：
方程及方程组的应用
例12．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份每升汽油的价格.
例13．
（1）（2010福建德化）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：
（注:
获利=售价-进价）
①若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?
②若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，
请问有哪几种购货方案?
并直接写出其中获利最大的购货方案.
甲
乙
进价（元/件）
15
35
售价（元/件）
20
45
（2）（上海市）2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据.已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额.
年份
2001
2003
2004
2005
2007
降价金额（亿元）
54
40
[解法一]
[解法二]
例14．（浙江宁波）2007年5月19日起，中国人民银行上调存款利率.
人民币存款利率调整表
项
目
调整前年利率%
调整后年利率%
活期存款
0.72
一年期定期存款
2.79
3.06
储户的实得利息收益是扣除利息税后的所得利息，利息税率为20%.
（1）小明于2007年5月19日把3500元的压岁钱按一年期定期存入银行，到期时他实得利息收益是多少元？
（2）小明在这次利率调整前有一笔一年期定期存款，到期时按调整前的年利率2.79%计息，本金与实得利息收益的和为2555.8元，问他这笔存款的本金是多少元？
（3）小明爸爸有一张在2007年5月19日前存人的10000元的一年期定期存款单，为获取更大的利息收益，想把这笔存款转存为利率调整后的一年期定期存款.问他是否应该转存？
请说明理由.
约定：
①存款天数按整数天计算，一年按360天计算利息.
②比较利息大小是指从首次存入日开始的一年时间内.获得的利息比较.如果不转存，利息按调整前的一年期定期利率计算；
如果转存，转存前已存天数的利息按活期利率计算，转存后，余下天数的利息按调整后的一年期定期利率计算（转存前后本金不变）.
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