四川大学期末考试试题闭卷春微积分Word文件下载.docx
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（0）=1
的特解.
四.证明题（7分）
13.证明级数∑
n=1
（-1）n-11条件收敛于ln2.
n
五．应用题（每小题9分，共18分）
14.求曲面x2+y2-4x-4y+7=0和平面x+z=8交线上的点到
y轴的最长距离和最短距离.
15.设空间曲面∑：
z2=x2+y2（1≤z≤2部分），方向指向外侧，计算曲面积分I=⎰⎰∑cos（y+z）dydz+y2dzdx+（x+z2）dxdy.
2018-2019春微积分（I）-2A卷参考答案
一．填空题（每小题4分，共5分）
1．曲面z=2x3-y2在点（1,1,1）处的切平面方程是（6x-2y-z-3=0）.
解:
dz=6x2dx-2ydy,6x-2y-z-3=0
2.设z=ln
-
arctany,则
=（3）.
x=2,y=15
解:
∂z=12x-1
y=
x+y
∂z=3
∂x2x2+y2
y2x2
1+x2
x2+y2
∂xx=2,y=15
3设f（x,y）=
+⎰⎰
f（x,y）dxdy,
则⎰⎰
f（x,y）dxdy=
2π
（）.
3（π-1）
f（x,y）dxdy=k=（
k）dxdy=2πkπ
⎰⎰⎰⎰3+
x2+y2≤1x2+y2≤1
4.
f（x）是周期为2π的周期函数，f（x）=⎧cosx-2,
-π≤x<
0
⎩sinx+2,0<
x<
π
设s（x）是其傅里叶级数的和函数,则s（π）=（-1）.
2
s（π）=1[limf（x）+limf（x）]=-1
2x→-π+x→π-2
5.
二阶微分方程yy'
'
=1的通解是（
y2=x2+cx+c）.
12
d（yy'
）=d（x+c1）,
y2=2（x+c）dx=x2+cx+c
⎰
yy'
=x+c,
二．计算题（每小题7分，共28分）
6.设ez+x-2xy+z-1=0确定的函数z=z（x,y），
∂z∂2z
求
（1）∂y,
（2）∂y∂x
.
（0,0）
解：
（1）方程两边同时对y求偏导：
（1）（ez+1）∂z-2x=0,
∂y
…………………………………………..（2分）
∂z=2x,（1分）
∂yez+1
（2）方程两边再同时对x求偏导：
∂z∂z∂2z
（2）
ez⋅+（ez+1）
-2=0
…………………………..（2分）
∂x∂y∂x∂y
把x=0,y=0代入原方程可得z=0，
=2xez+1
=0,…（1分）
∂2z=2=
再代入方程
（2）,得∂x∂yez+1
1（1分）
7.空间闭曲面∑由x2+y2=1,z=0和z=4+y围成,求它的表面积.
S=π+⎰x2+y2=1（4+y）ds+⎰⎰x2+y2≤1
1+1dxdy
…………………………..（4分）
=π+8π+
2π=（9+
2）π
……………………………..…………..（3分）
其中L为由点A:
（2,0）到点B;
（1,2）再到原点O（0,0）的折线段.
∂P=
∂Q=
∂x
∂（exsiny-2y）=excosy-2,
∂（excosy-3）=excosy,
∴∂P≠
∂Q
∂x,曲线积分与路径有关（1分）
补充有向线段OA:
y=0,x从0到2.由格林公式,得（1分）
⎰=⎰⎰（∂Q-∂P）dxdy=2⎰⎰dxdy=4,
…………………………（3分）
D
ABOA∂x∂yD
⎰OA
=20⋅dx+（ex-3）⋅0⋅dx=0,（1分）
因此∴
I=⎰AMOA-⎰OA
=4-0=4.
…………………………（1分）
设可导函数φ（x）满足φ（x）cosx+2xφ（t）sintdt=x+1,求φ（x）.
设y=φ（x）,两边对x求导,得
cosx+ysinx=1
其通解为y=ccosx+sinx.
…………………………（2分）
…………………………（4分）
因为x=0时,y=1,得c=1.所以y=cosx+sinx.
…………（1分）
10.设二元函数f（x,y）=⎪4x2+y2,（x,y）≠（0,0）.
（2）当k为何值时f（x,y）在点（0,0）处可微.解：
（1）令x=ρcosθ,y=ρsinθ,
limf（x,y）=limρk-1cosθsinθ
x→0y→0
ρ→0
1+3cos2θ
因为∀θ,cosθsinθ有界,
所以当k>
1时f（x,y）在点（0,0）处连续（3分）
（2）根据偏导数定义
f（0,0）=lim
h→0
y
k→0
f（h,0）-f（0,0）=0
h
f（0,k）-f（0,0）=0
k
……………………………（2分）
讨论极限
lim[f（∆x,∆y）-f（0,0）]-[fx（0,0）∆x+fx（0,0）∆y]
…………（2分）
ρ→0ρ
=limρk-2cosθsinθ
2时f（x,y）在点（0,0）处可微（2分）
11.设f（x）=
1
∞
nn
=∑（-1）x,
n=0
x∈（-1,1）
……………………（1分）
∴x=
x∑
（-1）n
x2n=∑
x2n+1,
……………………（2分）
111∞
n2n
arctanx=⎰02dx=⎰0（∑（-1）x
）dx
=∑（-1）n
x2n+1,
x∈[-1,1]
……………………（3分）
n=02n+1
f（x）=x+arctanx=∞
2n+2（-1）nx2n+1
f（2019）（0）=2019!
a
2019
∑2n+1
=-2019!
2020=-2020⋅2018!
⎩
12求初值问题⎨y（0）=
对应特征方程为r2-3r+2=0，其特征根为r=1,r=2
所以齐次方程的通解为y=Cex+Ce2x（3分）
因为λ=1是单根,设非齐次方程特解为y*=x（ax+b）ex
………（2分）
代入原方程，化简得a=1,b=1.所以y*=（1
22
x2+x）ex，（2分）
从而原方程的通解为y=Cex+Ce2x+
（1x2+x）ex
由y（0）=y'
（0）=1,得
c1=-1,c2=2
所以初值问题的特解为y=（1
x2+x+2）ex-e2x（1分）
∞n-11∞1
证明:
∑（-1）
=∑是调和级数,发散;
又由莱布尼茨判别法,
交错级数∑（-1）
n-11收敛,
则∑（-1）
n-11条件收敛.
考虑幂级数s（x）=∑（-1）
n-11xnn
收敛半径为1,（1分）
在绝对收敛区间为（-1,1）内,
s'
（x）=∑（-1）
n-11（xn
n）'
=∑（-1）
n-1x
n-1
=1,1+x
s（x）=x1dx=ln（1+x）
01+x
因为x=1时,级数收敛,则s
（1）=limln（1+x）=ln2.
x→1-
14.
求曲面x2+y2-4x-4y+7=0和平面x+z=8交线上的点到y轴的最长距离和最短距离.
点（x,y,z）到y轴的距离为
.……………………（2分）
令F=x2+z2+λ（x2+y2-4x-4y-7）+λ（x+z-8）,（2分）
⎧F=2x+λ（2x-4）+λ=0
⎪x12
⎪Fy=λ1（2y-4）=0
⎪F=2z
+λ=0
⎨z2
⎪F=x2+y2-4x-4y-z-7=0
⎪λ1
⎪F=x+z-8=0
⎩λ2
解得（x,y,z）=（1,2,7）或（3,2,5）（1分）
将这两个点分别代入目标函数，可得最大值5
和最小值
.………（2分）
15.设空间曲面∑：
z2=x2+y2（1≤z≤2部分），方向指向外侧，
∑
计算曲面积分I=⎰⎰cos（y+z）dydz+y2dzdx+（x+z2）dxdy.
作辅助面∑1：
z=1,（x,y）∈D:
x2+y2≤1,方向指向下侧;
辅助面∑2：
z=2,（x,y）∈D:
x2+y2≤4,方向指向上侧（2分）
∑+∑1+∑2围成空间闭区域Ω,方向指向外侧,根据高斯公式,有
⎰⎰∑+∑+∑
=⎰⎰⎰Ω（2y+2z）dxdydz
=2⎰⎰⎰Ωzdxdydz
=⎰⎰⎰⎰2215
2zdzdxdy=2π
1Dz1
z⋅zdz=π,2
……………………（4分）
⎰⎰∑
=-⎰⎰x2+y2≤1（x+1）dxdy=-π,
=⎰⎰x2+y2≤4（x+4）dxdy=16π,
∴I=⎰⎰
∑+∑1+∑2
-⎰⎰∑
-⎰⎰∑2
=15π+π-16π=-15π.
.………（1分）
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