二元一次方程解法大全.docx

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二元一次方程解法大全

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　1、直接开平方法：

　　直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。

用直接开平方法解形如（x-m）2=n（n≥0）的方程，其解为x=±根号下n+m.

　　例1．解方程

（1）（3x+1）2=7

（2）9x2-24x+16=11

　　分析：

（1）此方程显然用直接开平方法好做，

（2）方程左边是完全平方式（3x-4）2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：

（3x+1）2=7×

　　∴（3x+1）2=5

　　∴3x+1=±（注意不要丢解）

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解：

9x2-24x+16=11

　　∴（3x-4）2=11

　　∴3x-4=±

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=

　　2．配方法：

用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）

　　先将常数c移到方程右边：

ax2+bx=-c

　　将二次项系数化为1：

x2+x=-

　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：

x2+x+（）2=-+（）2

　　方程左边成为一个完全平方式：

（x+）2=

　　当b^2-4ac≥0时，x+=±

　　∴x=（这就是求根公式）

　　例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0（注：

X^2是X的平方）

　　解：

将常数项移到方程右边3x^2-4x=2

　　将二次项系数化为1：

x2-x=

　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：

x2-x+（）2=+（）2

　　配方：

（x-）2=

　　直接开平方得：

x-=±

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=.

　　3．公式法：

把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±（b^2-4ac）^（1/2）]/（2a）,（b^2-4ac≥0）就可得到方程的根。

　　例3．用公式法解方程2x2-8x=-5

　　解：

将方程化为一般形式：

2x2-8x+5=0

　　∴a=2,b=-8,c=5

　　b^2-4ac=（-8）2-4×2×5=64-40=24>0

　　∴x=[（-b±（b^2-4ac）^（1/2）]/（2a）

　　∴原方程的解为x1=,x2=.

　　4．因式分解法：

把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

　　例4．用因式分解法解下列方程：

（1）（x+3）（x-6）=-8

（2）2x2+3x=0

　　（3）6x2+5x-50=0（选学）（4）x2-2（+）x+4=0（选学）

（1）解：

（x+3）（x-6）=-8化简整理得

　　x2-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）

　　（x-5）（x+2）=0（方程左边分解因式）

　　∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）

　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

（2）解：

2x2+3x=0

　　x（2x+3）=0（用提公因式法将方程左边分解因式）

　　∴x=0或2x+3=0（转化成两个一元一次方程）

　　∴x1=0，x2=-是原方程的解。

　　注意：

有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

　　（3）解：

6x2+5x-50=0

　　（2x-5）（3x+10）=0（十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）

　　∴2x-5=0或3x+10=0

　　∴x1=,x2=-是原方程的解。

　　（4）解：

x2-2（+）x+4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）

　　（x-2）（x-2）=0

　　∴x1=2,x2=2是原方程的解。

　　小结：

　　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

　　直接开平方法是最基本的方法。

　　公式法和配方法是最重要的方法。

公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

　　解一元二次方程。

但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。

（三种重要的数学方法：

换元法，配方法，待定系数法）。

二元一次方程练习题

一、判断

　　1、是方程组的解…………（）

　　2、方程组的解是方程3x-2y=13的一个解（）

　　3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（）

　　4、方程组，可以转化为（）

　　5、若（a2-1）x2+（a-1）x+（2a-3）y=0是二元一次方程，则a的值为±1（）

　　6、若x+y=0，且|x|=2，则y的值为2…………（）

　　7、方程组有唯一的解，那么m的值为m≠-5…………（）

　　8、方程组有无数多个解…………（）

　　9、x+y=5且x，y的绝对值都小于5的整数解共有5组…………（）

　　10、方程组的解是方程x+5y=3的解，反过来方程x+5y=3的解也是方程组的解………（）

　　11、若|a+5|=5，a+b=1则………（）

　　12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式表示y，则（）

　　二、选择：

　　13、任何一个二元一次方程都有（）

　　（A）一个解；（B）两个解；

　　（C）三个解；（D）无数多个解；

　　14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（）

　　（A）5个（B）6个（C）7个（D）8个

　　15、如果的解都是正数，那么a的取值范围是（）

　　（A）a<2；（B）；（C）；（D）；

　　16、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（）

　　（A）2；（B）-1；（C）1；（D）-2；

　　17、在下列方程中，只有一个解的是（）

　　（A）（B）

　　（C）（D）

　　18、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（）

　　（A）15x-3y=6（B）4x-y=7（C）10x+2y=4（D）20x-4y=3

　　19、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

　　（A）（B）

　　（C）（D）

　　20、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（）

　　（A）a=-3,b=-14（B）a=3,b=-7

　　（C）a=-1,b=9（D）a=-3,b=14

　　21、若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（）

　　（A）（B）（C）1（D）-1

　　22、若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（）

　　（A）无解（B）有唯一一个解

　　（C）有无数多个解（D）不能确定

　　23、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy的值是（）

　　（A）14（B）-4（C）-12（D）12

　　24、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（）

　　（A），b=-4（B），b=4

　　（C），b=4（D），b=-4

　　三、填空：

　　25、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，当y=-2时，x=_______

　　若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________；

　　26、方程2x+3y=10中，当3x-6=0时，y=_________；

　　27、如果0.4x-0.5y=1.2，那么用含有y的代数式表示的代数式是_____________；

　　28、若是方程组的解，则；

　　29、方程|a|+|b|=2的自然数解是_____________；

　　30、如果x=1，y=2满足方程，那么a=____________；

　　31、已知方程组有无数多解，则a=______，m=______；

　　32、若方程x-2y+3z=0，且当x=1时，y=2，则z=______；

　　33、若4x+3y+5=0，则3（8y-x）-5（x+6y-2）的值等于_________；

　　34、若x+y=a，x-y=1同时成立，且x、y都是正整数，则a的值为________；

　　35、从方程组中可以知道，x:

z=_______；y:

z=________；

　　36、已知a-3b=2a+b-15=1，则代数式a2-4ab+b2+3的值为__________；

　　四、解方程组

　　37、；38、；

　　39、；40、；

　　41、；42、；

　　43、；44、；

　　45、；46、；

　　五、解答题：

　　47、甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的x的系数，解得；乙看错了方程②中的y的系数，解得，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解；

　　48、使x+4y=|a|成立的x、y的值，满足（2x+y-1）2+|3y-x|=0，又|a|+a=0，求a的值；

　　49、代数式ax2+bx+c中，当x=1时的值是0，在x=2时的值是3，在x=3时的值是28，试求出这个代数式；

　　50、要使下列三个方程组成的方程组有解，求常数a的值。

　　2x+3y=6-6a，3x+7y=6-15a，4x+4y=9a+9

　　51、当a、b满足什么条件时，方程（2b2-18）x=3与方程组都无解；

　　52、a、b、c取什么数值时，x3-ax2+bx+c程（x-1）（x-2）（x-3）恒等？

　　53、m取什么整数值时，方程组的解：

（1）是正数；

（2）是正整数？

并求它的所有正整数解。

　　54、试求方程组的解。

　　六、列方程（组）解应用题

　　55、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？

　　56、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人？

　　57、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？

　　58、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求这两个水桶的容量。

　　59、甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向而行，甲每分钟走100米，乙每分钟走110米，丙每分钟走125米，若丙遇到乙后10分钟又遇到甲，求A、B两地之间的距离。

　　60、有两个比50大的两位数，它们的差是10，大数的10倍与小数的5倍的和的是11的倍数，且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。

　　【参考答案】

　　一、1、√；2、√；3、×；4、×；5、×；6、×；

　　7、√；8、√；9、×；10、×；11、×；12、×；

　　二、13、D；14、B；15、C；16、A；17、C；18、A；

　　19、C；20、A；21、A；22、B；23、B；24、A；

　　三、25、，8，；26、2；27、；28、a=3，b=1；

　　29、30、；31、3，-432、1；33、20；

　　34、a为大于或等于3的奇数；35