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30,同样也是圆的黄金分割的比例。
梨树也是如此，它的叶片排列是沿对数螺旋上升，这也保证了叶与叶之间不会重合，下面的叶片正好在从上面叶片间漏下阳光的空隙地方，这是采光面积最大的排列方式。
可见，沿对数螺旋按圆的黄金分割盘旋而生，是叶片排列的最优良选择。
辐射对称的花及螺旋排列的果，它们在数学上则符合黄金分割的规律。
具有类似特点的“蓟"
科植物，它们的头部几乎呈球状。
在左面这幅图中，标出了两条不同方向的螺旋，顺时针旋转的具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条。
而右面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。
以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多。
事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心菜、芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。
尽管这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻数字。
在动物界，形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割如：
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。
而禽兽等高级温动物的体温介乎37-39C，这一温度正是水的液态范围0-100C，两个黄金点（0.618）之一，即38C左右。
那么，动物体温为什么不在另一个黄金点62C左右呢？
这是因为，自从宇宙大爆炸以来，伴随着整体的增燔过程还有局部的减燔过程。
太阳的形成、生物的进化，都是一个减燔过程，这一过程包括着生物体温从低温向高温进化。
因此，生物首先进化到了第一个黄金38E，这是自然的发展过程。
经过多年的总结分析，人们发现，在人体中也包含着多种“黄金分割”的比例因素，至少可以找出18个“黄金点”（如：
脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至须下的分割点等）、15个“黄金矩形”（如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等）、6个“黄金指数”（如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等）、3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）。
人的面部就包含多个“黄金矩形'
’，如眉间点：
发际—须底间距上1/3与中下2/3之分割点；
鼻下点：
发际一须底间距下1/3与上中2/3之分割点；
唇珠点：
鼻底一须底间距上1/3与中下2/3之分割点；
须唇沟正路点：
鼻底—须底间距下1/3与上中2/3之分割点；
左口角点：
口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；
右口角点：
口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。
此外，健美的人体（如古希腊雕塑《米罗的维纳斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据《米罗的维纳斯》身材各部分的尺寸。
她的体形符合希腊人尖于美的理想与规范，身长比例接近利西普斯所追求的人体美标准，即身与头之比为8:
1。
由于8为3加5之和，这就可以分割成1:
3:
5,这就是“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则。
）亦有多组比例符合黄金分割比。
如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割。
除了这些外在的形式，人的生命的生物和生理现象中也包含着这个神奇的比例。
女口：
气温在人体正常体温的黄金分割点上一一23C左右时，恰是人的身心最适度的温度；
医学专家也观察到，当人的脑电波频率下限是8赫兹，而上限是12.9赫兹，上下限的比率接近于0.618时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻。
正常人的心跳在心电图上也显示出T波出现的位置恰好大约是一次心跳节拍的“黄金分割”位置上（如图）。
组成人体含量最多的物质是水，成年人体水分占体重的0.618。
静脉和毛细血管中含血量约占全血量的0.618，一次最大呼气量占肺部气体总量的0.618。
我们正常血压的舒张压与收缩压的比例尖系，我们正常睡眠时间与活动时间的比例矢系也都符合这一比例。
还有人类的消化道总长9米，其0.618处为5.5米，正是小肠的长度，恰合黄金分割率。
而营养物质的消化吸收，就在小肠进行。
这一特点，适合以素食为主的混合膳食结构，素食应占食物总量的0.618。
蛋白质是最重要的营养物质，它由20个氨基酸组成，人体在合成自身蛋白质时，20个的0.618，即12个氨基酸能由机体自身细胞生产，只有另外8个氨基酸要由食物来供给。
这8个氨基酸含有的丰富的蛋白质称为优质蛋白质，如动物性食物和豆类。
膳食结构中，优质蛋白应占总蛋白质的0.618，才能保证机体的正常新陈代谢，又恰合黄金分割率。
社会科学家长期的研究与统计结果也表明，如果人的平均寿命是70岁的话，那么成年时期的顶峰年龄将是45岁，二者的比例尖系接近0.618。
人在45岁左右是最富有创造力的年龄，人们经过几十年的艰苦创业与拼搏，可以积累出最大的精神与物质财富。
人在此时最成熟，社会阅历最丰富。
可见，黄金比率在人的世界（无论是生物环境还是社会环境）中几乎是无所不在的。
最有意味的是，在人的生命程序DNA分子中，也包含着“黄金分割比”。
它的每个双螺旋结构中都是由长34个埃与宽21个埃之比组成的，当然34和21是斐波那契系列中的数字'
它们的比率为1.6190476，非常接近黄金分割的1.6180339。
这是否说明黄金分割律是比DNA中的遗传密码更基本的东西？
因为承载DNA勺结构一一双螺旋结构一一也遵循黄金分割律。
黄金分割律也许是我们的宇宙的DNA中的遗传密码？
二、各路学者对这一现象的发现与言说最早对黄金分割做较系统研究的是古希腊毕达哥拉斯派的数学家欧多克索斯（EudoxusofCnidus，约公元前408・355）。
欧多克斯是古希腊时代成就卓著的数学家和天文学家，曾受教于柏拉图及阿尔希塔斯（ArchytasofTarentum）。
欧多克索斯对数学的最大功绩是创立了尖于比例的一个新理论。
他首先引入“量”的概念，将
“量'
’和“数"
区别开来。
用现代术语来说，他的“量”指的是连续量，而“数”是离散的，仅限于有理数。
其次，改变“比"
的定义为：
“比"
是同类量之间的大小尖系。
从这一定义出发可以推出有尖比例的若干命题，而不必考虑这些量是否可公度。
这在希腊数学史上是一个大突破。
其创立之比例论，成为欧几里得《几何原本》，特别是其中五、六、十二卷的主要内容。
系统论述黄金分割的最早记载是欧几里得（Euclid，公元前330-275年）的《几何原本》（Elements），在该书第四卷中记述了用黄金分割作五边形、十边形的问题，在第二卷第11节中详细讲了黄金分割的计算方法，其中写道：
“以点H按中末比截线段AB使AB：
AH=AH：
HB将这一式子计算一下：
设AB二1，AH=x，则上面等式18,点H是AB的黄金分割点，0.618叫做’黄金数，「
之后，是12、13世纪欧洲数学界的代表人物、意大利数学家莱昂纳多?
斐波那契（LeonardoFibonacci»
约1170・1250）。
斐波那契生于比萨，早年跟随经商的父亲到北非的布尔日伊（今阿尔及利亚东部的小港口贝贾亚），在那里受教育。
以后到埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国等地游历，熟习了不同国度在商业上的算术体系。
1200年左右回到比萨，潜心写作。
他的书保存下来的共有5种。
最重要的是《算盘书》（LiberAbaci>
1202年完成，1228年修订），其中最耐人寻味的是，这本书出现了中国《孙子算经》中的不定方程解法。
题目是一个不超过105的数分别被3、5、7除，余数是2、3、4，求这个数。
解法和《孙子算经》一样。
另一个“兔子问题”也引起了后人的极大兴趣。
题目假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生殖能力，问从一对大兔子幵始，一年后能繁殖多少对兔子？
这导致了著名的“斐波那契数列”的产生：
1，1，2，3，5，8，13，21，,，其规律是每一项（从第3项起）都是前两项之和。
它的每一项与后一项比值的极限就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。
意大利数学家、会计学的创始人卢卡？
帕乔利（LucaPacioli，1445・1517）对这个问题有进一步的研究，在他的著作《神圣比例》（De
DivinaProportione，约1497年写于米兰，1509年出版于威尼斯沖，首先称这种神奇比例尖系叫做“黄金比率”（goldenratio），这部用意大利文写成的著作包括三卷：
第一卷是“神圣比例概要”（Compendiodedivinaproportione），文中论述“黄金分割"
的性质，帕乔利称之为“神圣比例”，即分已知线段为两部分，使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项，亦称中末比，该卷包含欧几里得几何中与黄金分割有尖的部分概述，以及正多面体和半正多面体性质的讨论；
第二卷是“论建筑学”（TractatedeI'
architectura），基于古罗马建筑学家维特鲁维（PollioMarcusVitruvius、活动于公元前46・30年）的《建筑
十书》（DeArchitecturaLibriDecern）而成，为此增加了罗马数字表示正比例的论述；
第三卷是“比例论"
，是弗兰切斯卡比例论著的意大利译本，
“神圣比例”一词的创用使人们对“黄金分割”产生顶礼膜拜的心境。
在该书中，这位方济各派的修士说：
“所有度量及其单位都可以在人体找到根源，我们可以发现所有的上帝用来揭示自然界内在奥妙的比率和比例
帕乔利是文艺复兴时代文化巨匠达？
芬奇的挚友，达？
芬奇本人也是一位对科学有广泛研究的学者，他对人类身体的各种比例进行了具体测量，1409年，根据维特鲁维之理论创作了《人体比例图》（StudyofHumanProportionsAccordingtoVitruvious）。
而在《论绘画》一书达？
芬奇指出:
“美感完全建立在各部分之间神圣的比例尖系上，各特征必须同时作用，才能产生使观众如醉如痴的和谐比例。
”在这一时期，艺术家们自觉地被黄金分割的魅力所诱惑而使数学研究与艺术创作紧密地结合起来，并对后来的形式美学与实验美学产生了巨大影响。
黄金分割出现在达？
芬奇的许多著名作品中，如《蒙娜丽莎》、《最后的晚餐》和未完成的作品《圣徒杰罗姆》（SaintJerome）中，该画约作于公元1483年。
在作品中，圣徒杰罗姆的像完全位于画上附加的黄金矩形内。
应当认为这不是偶然的巧合，而是达?
芬奇有目的地使画像与黄金分割相一致。
因为在达？
芬奇的著作和思路中，处处表现出对数学应用的强烈兴趣。
达?
芬奇说过：
“没有什么能不通过人类的探求而称之为科学的，除非它是通过数学的解释和证明的途径。
”
无独有偶，与达?
芬奇并称文艺复兴三大巨匠的米开朗基罗、拉斐尔的著名作品中也屡屡出现这一黄金比例。
（后面会介绍）此外，欧洲许多著名的科学家、哲学家都对这个问题发表了真知灼见。
德国天文学家幵普勒
（JohannesKepler1571-1630），曾经说过：
几何学里有二个宝库：
一个是毕达哥拉斯定理；
另外一个就是黄金分割。
前面那个可以比着金矿，而后面那一个可以比着珍贵的钻石矿。
法国著名的哲学家、数学家笛卡尔（RenADescartes,1596-1650）曾研究过花瓣和叶形的曲线，发现了现代数学中有名的“笛卡尔曲线”。
黑格尔的学生、德国数学家阿道夫？
蔡辛（AdolfZeising,1810-76）在1854年和1855年分别发表了《人类躯体平衡新论》（NeueLehrevondenProportionendesmenschlichenKorpers）和《美学》（Die?
sthetik）、这两本书正式提出了“黄金分割原理”（Theprincipleofgoldensection），并进行了理论阐述。
他对人体进行了大量测算，发现人的肚脐正好是人体垂直高度的黄金分割点，膝盖骨是大腿和小腿的黄金分割点，肘尖节是手臂的黄金分割点。
蔡辛还研究了古代一些著名建筑、雕塑和绘画中的比例问题，要求对建筑各部分的比例，用严格的数学方法加以计算，以达到整体结构的严整与和谐。
他断言：
宇宙万物，凡是符合黄金分割的，总是最美的形体。
并运用归纳法导出结论说，黄金分割是解开自然美和艺术美奥秘的尖键。
德国哲学家、美学家、心理学家古斯塔夫？
西奥多?
费希纳（GustavTheodorFechner，1801-1887）曾进行实验美学的尝试，把黄金分割原理建立在广泛的心理学测试基础上，将美学研究与自然科学研究结合在一起，引起广泛的注意。
费希纳和伍得特（WilhelmWundt，1832-1920）把黄金矩形（宽长比率约为0.618）当成科学心理学这个新领域中首批研究的对象之一。
1876年，他们将10个不同比例的白色矩形摆放在一张黑色的桌子上，问受试者哪一个从美学角度讲看起来最令人舒服。
35%的受试者表示喜欢边长比符合黄金比率的矩形。
40%的受试者选择了接近于这个比率的矩形。
而没有任何人将黄金比率选作是最不喜欢的比率。
之后，费希纳又测量了22家博物馆和艺术长廊的2万张绘画作品，收集了数据，但是发现黄金比率并不和这些名画的高、宽比率有绝对相尖。
但是，生活中越来越多的例子说明这种神奇比例的无处不在与对人的心理的支配作用。
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三、黄金分割在艺术与现实生活各个领域中的应用既然“黄金分割”对人类的审美标准有如此重要的影响，就不难理解为什么艺术家、建筑家、设计师等在自己的艺术与设计中总是钟情于它的应用了。
“黄金分割”无论在古代还是现代世界的艺术乃至实用品中的普遍应用不胜枚举。
首先以建筑艺术为例，世界上最有名的建筑物中几乎都包含
“黄金分割比”。
无论是古埃及的金字塔、古希腊的帕特农神殿、古埃及胡佛金字塔、印度泰姬陵、中国故宫、法国巴黎圣母院这些著名的古代建筑，还是遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其
风格各异，但在构图布局设计方面，都有意无意地运用了黄金分割的法则，给人以整体上的和谐与悦目之美。
例如，法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是8:
5,它的每一扇窗户长宽比例也是如此。
希腊人建筑上所用的柱子，和符合“黄金分割律”的人身一样，有着一种节奏性的和谐，柱头和柱身的比例也是一比七。
“黄金分割律”在线条、面积、体积上的体现则比较明显，古希腊人运用的也最多。
他们的“黄金分割点"
十分有名。
面积上以长方形为最美，且长方形的边长和高的比例是七比一。
在立体建筑物方面，如台阶、窗门，以及整个建筑的高低比例都符合“黄金分割律"
，即七比一。
古希腊神殿的柱子有所谓“科林斯柱式"
（Corinthian），柱头和柱身比例是一比七，这些高耸的柱子和神像的高度之间的比率也是七十比十。
柱身中段略肥，两端瘦削，这也取材于人体体态上的美趣。
在现代建筑中，许多著名的大建筑师都在他们的设计中运用
“黄金分割比”、如米斯&
#8226;
凡&
德洛（LudwigMiesVanderRohe,1886-1969）的别墅，勒&
柯布西耶（LeCorbusier,1887-1965）朗香教堂（LachapelladeRonchamp）等。
而在一些摩天建筑中使用“黄金分割点”进行处理，能使平直单调的塔身变得丰富多彩；
在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。
举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔、当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔（553.33米），都是根据黄金分割的原则来建造的。
上海的东方明珠广播电视塔，塔身高达468米。
为了美化塔身，设计师巧妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使笔直的塔身有了曲线变化。
更妙的是，上球体所选的位置在塔身总高度5：
8的地方，即从上球体到塔顶的距离，同上球体到地面的距离大约是5：
8这一符合黄金分割之比的安排，使塔体挺拔秀美，具有审美效果。
中外历代雕塑更能说明问题。
与前面提到的《米罗的维纳斯》一样，古希腊雕塑大多把人体比例规范被确定为7个头长，到后期
又确定为8个头长。
同时，几何学中的黄金分割又被认为是美的比例运用到美术创作中。
如希腊雕塑的典范作品《持矛者》塑造了一个体格强壮、动作从容的青年战士的形象，从这个形象上体现了作者对“黄金分割”这一最和谐的人体比例尖系的探索和应用。
中国佛教造像对规格尺寸和比例也十分讲究，因为十方诸佛均具有三十二相，八十种随形好，经过无量劫修菩萨行，终成无上正等正觉，故具有凡夫所不能有的殊妙庄严，上至肉髻、螺发，下至足底轮纹样，佛身的每一处都有一定的尺寸比例，如浙江天台L1I的佛教造像就是一例：
诸佛佛像的全身总长度（自肉髻顶端至脚踵根）共可分成吃0等分，由肉髻顶端至腰部为48等分，由腰部至足跟底为72等分。
以全身总长度和腰以下部分相比，为1：
0.6，
这个比例与“黄金分割率"
极为相近，说明诸佛的体态符合世界公认的最完美的比例。
就像在建筑与雕塑中一样，神奇的“黄金分割比”自古至今也出现在许多伟大画家的著名作品中，如米开朗基罗的《圣家庭》
（HolyFamily）就是典型的例子，它的人物构图布置中包含着一个“黄金五角星”。
拉斐尔的《刑罚》（Crucifixion）是另一著名例子，其人物布局以“黄金三角形”和“黄金五角星”展开。
这方面的例子还有伦伯朗的《自画像》、透纳的《日出中的诺城堡》（NorhamCastleatSunrise）、修拉的
《阅兵》（LaParade）、《浴者》（Bathers）。
现代绘画中超现实主义画家达利（SalvadorDali»
1904-1989）的《最后的圣餐》（TheSacramentoftheLastSupper）最能说明问题，整幅画面置于一个“黄金矩形"
之中，而人物的布置也包含着黄金比例，餐桌的上方是一个巨大的十二面体的一部分，这个多面体包含吃个符合黄金比例的五边形。
除了造型外，绘画中的混色原理也是通过比例而获得美的一种绝妙原理。
两种原色调合后会产生出间色，如红与黄调和出橙色，而这橙则根据红、黄二色所占的不同比例，可呈现出不同的色相来。
为调配出一种间色所使用的两种原色当然不是等量的，而人们习惯采用的调配当量往往是：
黄3—红5—青8，即潢3+红5=橙8，或者黄3+青8=绿11，青5+红8二紫13。
这个调配量其实正符合斐波那契数列，亦即符合黄金分割定理，因此它所调出来的颜色就比较合适、自然，看起来给人一种美感。
至于两种间色的混合，三种原色的混合，间色与黑色的混合，原色与黑色的混合，原色与其补色的混合，这一切所产生的复色，尽管其中的比例要更为复杂，但只要找出其各自的符合黄金分割的比例来，就不难达到令人满意的程度。
黄金分割在优美的音乐和诗歌中同样可以找到。
据说，公元前
6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580-500年）有一天路过一个铁匠铺，被里面清脆悦耳的打铁声吸引住了，驻足细听，凭直觉认定这声音有“秘密”。
他走进铺里，仔细测量了铁砧和铁锤的大小，发现它们之间的比例近乎于
1:
0.618，回家后，他拿来一根木棒，让他的学生在这根木棒上刻下一个记号，其位置既要使木棒的两端距离不相等，又要使人看上去觉得满意。
经多次实验得到一个非常一致的结果，即用C点分割木棒AB,整段AB与长段CB之比，等于长段CB与短段CA之比，毕达哥拉斯接着又发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例。
这个故事说明，“黄金分割”最早的发明似乎就与声音有尖。
后来音乐家们则是有意识地禾U用这种比例来“美化”其作品。
典型的例子有巴赫的《神游》D小调中7对间奏和沃兹涅先斯基的诗《戈雅》中的叠句。
除了在艺术中外，“黄金分割比”在日常生活中也有广泛的应用。
例如，根据广泛调查，所有让人感到赏心悦目的矩形，包括电视屏幕、写字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。
甚至连火柴盒、国旗的长宽比例，都恪守0.618比值。
在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的0.618之处；
二胡要获得最佳音色，其“千斤”则须放在琴弦长度的0.618处。
最有趣的是，在消费领域中也可妙用0.618这个“黄金数”，获得“物美价廉”的效果。
据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再乘以0.618，即为挑选商品的首选价格。
对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。
甚至在买卖股票的操作中也能以黄金分割线作为指导（股价极容易在由0.3820.618,1.382，1.618这四个数产生的黄金分割线处产生支撑和压力，黄金分割线与黄金分割数是不同的概念，却有着紧密的联系）。
内含“黄金分割比"
的五角星形状也非常耐人寻味，世界上有将近40个国家（
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