一阶动态电路分析Word格式文档下载.docx

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电路中只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路，其 

KVL 

方程为一阶微分方程，

这类电路称为一阶电路，它包括 

电路和 

电路。

尽管暂态过程时间短暂，但它是客观存在的物理现象，在实际应用中极为重要。

一方面可以利

用暂态过程有利的一面，如在电子技术中利用它来产生波形（锯齿波、三角波等）。

另一方面，也

要避免它有害的一面，如在暂态过程中可能会出现过电压或过电流，会损坏元器件和电气设备。

因

此研究暂态过程可以掌握它的规律，以便利用它有利的一面，避免不利的一面，意义重大。

3.2换路定律

换路定律是电路暂态分析中的主要定律，它是求解电容的电压和电感的电流初始值的主要依据。

3.2.1换路定律

电路的换路是产生暂态过程的外因，而要产生暂态过程，必须有储能元件—电感或电容。

当换

路时，含有储能元件的电路的稳定状态发生了变化，电感和电容中的储能也要发生变化，但能量不

能突变。

因为若能量突变，由 

p 

=

dw

dt

= 

∞ 

可得功率为无穷大，而功率是有限的。

因此，能量不能突

变。

而电感的磁场能为WL 

1

2

LiL 

2 

，电容中的电场能WC 

CuC 

，能量不能突变，这就意味着电

感中的电流和电容上的电压不能突变。

所以换路前的终了值应等于换路后的初始值，这一规律称为

电路的换路定律（switching 

law）。

若 

t=0_表示换路前终了瞬间，t=0+表示换路后初始瞬间，则换路定律可以用公式表示为：

u（0-） 

u（0+）

i（0-） 

i（0+）

3.2.2初始值的确定

1.初始值的求解步骤

换路定律适用于换路瞬间，由它可以确定换路后 

uC 

或 

iL 

的初始值，再由这两个初始值来确定

换路后电路的其他电压或电流的初始值。

以下为求初始值的求解步骤：

CL

（1）由 

t 

0- 

的等效电路求出 

u（0-）或 

i（0-）。

（2）由换路定律确定 

u（0+）或 

i（0+）。

（3）由 

0+ 

的等效电路，利用 

i（0+）求出换路瞬间电路中的其他电量的初始值。

2.等效电路的画法

在 

时，等效电路的画法应根据以下几点：

（1）换路前电容或电感上没有储能：

① 

的等效电路中，所有电量的值为 

0， 

f 

（0- 

） 

0 

。

2Ω

u

R2

+

U2

-

② 

的等效电路中，电容视为短路，电感视为开路。

C=C

这是因为 

时，由换路定律知 

u（0+）=0，而此时电容中有电流，所以电容视为短

L= 

L

路；

i（0+）=0，而此时电感两端有电压，所以电感视为开路。

（2）换路前电容或电感上有储能且已达稳态，

的等效电路中，电容视为开路，其电压为 

u（0-）；

电感视为短路，其电流为 

i（0-）；

这是因为电容与电感的伏安关系分别为 

iC 

C

duc

， 

uL 

diL

C=

，换路前达稳态时， 

，

所以电容视为开路，其电压为 

的等效电路中，电容视为一个恒压源，电压为 

u（0+）；

电感视为一个恒流源，电流为

这是因为换路时电容的电压和电感的电流不能突变，所以电容视为一个恒压源，电压为 

电感视为一个恒流源，电流为 

3.2.3稳态值的确定

换路后的电路达到新的稳态后，电压和电流的数值称为稳态值，当 

→ 

时，电路又达新的稳

态。

C=L=

时电感或电容无储能，则 

u（∞） 

i（∞） 

，其它电量的稳态值也为零。

C=L=C≠≠L

时电感或电容有储能，因已达稳态，则 

而 

所以在 

u（∞）；

i（∞）。

再利用电容开路和电感短路求其它电量的稳态值。

【例 

3.1】电路如图 

3.2.1 

所示，已知 

E=12V，R1=4Ω，R2=2Ω，开关 

S 

断开前电路已达稳态。

求 

断开后，

CCR1

（1） 

u（0+）、 

i（0+）、 

u 

（0+）。

（2） 

u（∞）、 

i（∞）、 

（∞）。

图 

3.2.1

解：

（1）求初始值

- 

3.2.2

由题意知：

换路前电路已处于稳态，电容 

C 

视为开路，由等效电路得：

u（0-）

4 

+ 

⨯12 

V

②由换路定律得：

u（0+）=4V

③画出 

时的等效电路如图 

3.2.2（b）所示，此时电容视为一个电压为 

4V 

的恒压源，则

（0+ 

4

-2 

A

2=

uR（0+） 

（2）求稳态值

达稳态时，电容没有储能，则

uR（∞） 

3.3RC 

电路的暂态分析

本节将通过最简单的 

电路来分析其响应，也就是研究 

电路的充放电规律。

3.3.1RC 

电路的零输入响应

1 

S

uR 

R

iC

+C

（a）（b）

3.3.1 

在图 

所示（a）RC 

一阶电路中，换路前开关 

合在“1”处，RC 

电路与直流电源连接，

电源通过电阻 

R 

对电容器充电至 

U0，t=0 

时换路，即将开关 

转换到“2”处，试分析换路后 

、

的变化规律。

因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电容换路前有初始储能，所以该电路的响应为

零输入响应。

分析 

电路的零输入响应也就是分析其放电规律。

换路后等效电路如图 

3.3.1（b），由 

可得：

由于 

i 

，将 

代入上式得微分方程：

RC

duC

或

这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为：

Ae 

pt

式中 

A 

是待定系数，A 

为常数，p 

为该微分方程特征方程的根。

将通解代入微分方程式得：

RCpAe 

pt 

整理后得到如下的特征方程：

RCp 

特征根为：

再来求常数 

A，可由初始条件确定，由题意知换路前电容电压

U 

根据换路定律得：

C=C=

u（0+） 

令 

t=0 

将其代入微分方程的通解得：

将 

的结果代入方程的通解得：

0e

t

u（0+）e

其随时间变化的曲线如图 

3.3.2（a）所示。

由图可见，它的初始值为 

U，按指数规律衰减至零。

U0

uC

由 

（a） 

（b）

3.3.2 

电路的响应曲线

可求出 

的变化规律：

e

（b）所示。

U0，按指数规律衰减至零。

通过分析 

、iC 

的变化规律可见，电路中各处的电压和电流均按指数规律变化。

当上面的暂

态过程结束时，电路处于稳定状态，这时电容端电压 

和电流 

的稳态值均为零。

暂态过程进行

的快慢，取决于电路参数 

的乘积。

令τ 

，其中 

的单位是欧姆（Ω），C 

的单位是法拉（F），τ 

的单位为秒（s）。

因为它

具有时间的量纲，所以称为电路的时间常数，它仅仅是由电路的结构和元件参数的大小决定，而与

换路情况和外加电压无关。

当 

时， 

τ 

0e-1 

0.368U 

可见时间常数τ 

等于电压 

衰减到初始值的 

33.8%所需要的时间，如图 

3.3.3 

所示。

R1

u（C 

0-）

0.368U0

τ

3.3.3

同样也可列出其它时刻 

的数值，见表 

3.3.1。

表 

3.3.1

与 

的关系

t0τ

2τ

3τ

4τ

5τ

…

U0 

0.36

8U0

0.13

5U0

0.05

0.01

0.00

67U0 

从理论上讲，电容电压从 

过渡到新的稳态（ 

）需要的时间为无穷大，但由上表

可以看出，一般经过 

3τ 

～ 

5τ 

的时间就可以认为零输入响应衰减到零，暂态过程结束。

3.2】电路如图 

3.3.4 

R1=6Ω，R2=3Ω，C=0.01F，IS=3A，S 

闭合前电路处于直

流稳态，在 

时 

闭合，求 

t≥0 

、 

i1 

i2 

由换路定律得：

9 

（V）

（2）换路后的电路如图（c）所示。

i1

（c）

i2

电路的时间常数 

为

R1R2

R1 

⨯ 

0.01 

0.02 

s

则由 

电路的零输入响应的通解得：

9e-50t 

则：

-4.5e-50t 

-1.5e-50t 

3e-50t 

3.3.2RC 

电路的零状态响应

uR-

t=0

E

3.3.5

3.3.5 

所示 

断开，电容无储能。

=0 

时换路，换路后 

闭合，

电路与直流电源连接，试分析换路后 

因为换路前电容无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产

生的，所以该电路的响应为零状态响应。

电路的零状态响应也就是分析其充电规律。

换路后，电压源通过电阻 

向电容 

充电，电容上的电压 

将从初始值逐渐过渡到某一个稳

态值。

由图中所示参考方向，根据 

得：

这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，它通解得一般形式为：

通解=齐次微分方程通解+特解

其中齐次微分方程通解即为上面所讨论的 

，特解是非齐次微分方程的一个特殊解，可以

取换路后的稳态值。

由题意可以得出，换路后的稳态值为 

E，故非齐次微分方程的通解为：

其中 

为该齐次微分方程的特征根。

积分常数 

仍由初始值确定，将初始条件 

代入非齐次微分方程的通解，得：

-E

于是求得零状态响应为：

-Ee

E 

E（1 

RC）

其中，E 

为 

时电容两端电压 

（∞） 

，零状态响应又可写为

（∞ 

）（1 

）

则

它们的变化曲线如图 

3.3.6（a）、（b）所示。

3.3.6 

电路的零状态响应曲线

3.3】在图 

中，已知 

R=2Ω，C=4μF，E=10V，当 

时，开关 

闭合，换路前电容

初始储能为零，试求开关闭合后 

换路前 

无初始储能，故

换路后根据 

即

求得：

RC） 

10 

3

3.3.3RC 

电路的全响应

3.3.7 

电路与直流电源 

E1 

连接，而

且电路已稳定，t=0 

转换到“2”处，RC 

E2 

连接，设电容的电

压和电流方向为关联参考方向，试分析换路后 

E1

E2

3.3.7

由于换路前电路已稳定，电容已有储能。

换路后电路由电压源 

激励，所以该电路的响应为

全响应。

时，由 

求解的步骤和零状态响应是一样的，但电路的初始条件不同，会影响常数 

的数值。

该微分方

程的通解为：

Ae

将初始条件 

代入微分方程的通解，得：

于是求得全响应为：

（E1 

）e

整理得：

E1e

（1 

式可知，式中第一项 

e 

是电路的零输入响应，第二项 

是零状态响应。

因此，电路的全状态响应可分解为零输入响应和零状态响应两部分之和。

全响应=零输入响应+零状态响应

可以求出 

的响应。

）e 

3.3.8 

>

（b） 

<

3.4RL 

3.4.1RL 

3.4.1 

所示（a）RL 

一阶电路中，t=0 

时换路，将开关 

闭合，试分析换路后 

的变

化规律。

+uR 

iL

+L

因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电感换路前有初始储能，所以该电路的响应为

设电感的电压和电流关联参考，换路后，由 

L 

此方程与电容放电的微分方程形式相同，参照其解法可求得结果 

，进而求得 

其中，

t→∞时通过电感的电流 

i（∞）e

-Ee 

式中

它也具有时间的量纲，是 

电路的时间常数。

越大， 

衰减的越慢。

它们随时间变化的曲线如图 

3.4.2 

uL

可见，电感电流与电容电压的衰减规律是一样的，都是按指数规律由初始值逐渐衰减而趋于零。

而电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到 

RI 

，然后再按指数规律逐渐衰减到零。

过渡过程

的快慢，取决于电路的时间常数τ 

串联电路实际上是线圈的电路模型，如电动机的绕组、仪表的线圈等。

在使用的时候常会

遇到线圈从电源断开的问题，如图 

3.4.3 

所示电路，S 

断开前电路已处于稳态。

如果突然断开开关

S，这时电感中电流的变化率

很大，将使线圈两端产生很大的自感电动势 

eL 

-L

由于开

关两触头间的间隙很小，高电动势能使开关触点被击穿而产生电弧或火花，触头被烧坏。

为防止开断线圈电路时所产生的高压，常在电感线圈两端并联一个二极管。

开关 

断开前，二

极管反向截止；

断开时，二极管导通，电感线圈中的电流通过二极管按指数规律放电，这样

就避免了产生高压。

3.4.3

3.4.2RL 

3.4.4 

一阶电路中，换路前电感无储能。

时换路，S 

闭合，RL 

电路与直流电源

连接，试分析换路后 

因为换路前电感无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产

设电感的电压和电流方向关联参考，换路后，由 

此方程与电容充电的微分方程形式相同，参照电容充电的解法可求得结果 

时通过电感的电流 

，因此零状态响应又可写为

（∞）（1 

3.4.5 

Ee 

可见，电感电流与电容电压的增长规律是一样的，都是按指数规律由初始值增加到稳定值的。

电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到 

E，然后再按指数规律逐渐衰减到零。

过渡过程的快

慢，也取决于电路的时间常数τ 

3.4.3RL 

3.4.6 

合在 

a 

处，RL 

电路与直流电压源 

连接，而且

电路已稳定，t=0 

转换到“b”处，RL 

连接，试分析换路

后