实验四IIR数字滤波器的设计实验报告Word格式.docx
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实验中有关变量的定义:
fc通带边界频率；
fr阻带边界频率；
δ通带波动；
At最小阻带衰减；
fs采样频率；
T采样周期
（1）=,δ=,=,At=20Db,T=1ms;
设计一个切比雪夫高通滤波器，观察其通带损耗和阻带衰减是否满足要求。
MATLAB源程序：
wp=2*1000*tan（2*pi*300/（2*1000））;
ws=2*1000*tan（2*pi*200/（2*1000））;
[N,wn]=cheb1ord（wp,ws,,20,'
s'
）;
%给定通带（wp）和阻带（ws）边界角频率，通带波动波动，阻带最小衰减20dB，求出最低阶数和通带滤波器的通带边界频率Wn
[B,A]=cheby1（N,,wn,'
high'
'
%给定通带（wp）和阻带（ws）边界角频率，通带波动
[num,den]=bilinear（B,A,1000）;
[h,w]=freqz（num,den）;
f=w/（2*pi）*1000;
plot（f,20*log10（abs（h）））;
axis（[0,500,-80,10]）;
grid;
xlabel（'
频率'
ylabel（'
幅度/dB'
）
程序结果
num=
den=1
系统函数：
幅频响应图：
分析：
由图可知，切比雪夫滤波器幅频响应是通带波纹，阻带单调衰减的。
δ=，fr=,At=30Db,满足设计要求
（2）fc=,δ=1dB,fr=,At=25dB,T=1ms;
分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一Butterworth数字低通滤波器，观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线，记录带宽和衰减量，检查是否满足要求。
比较这两种方法的优缺点。
T=;
fs=1000;
fc=200;
fr=300;
wp1=2*pi*fc;
wr1=2*pi*fr;
[N1,wn1]=buttord（wp1,wr1,1,25,'
[B1,A1]=butter（N1,wn1,'
[num1,den1]=impinvar（B1,A1,fs）;
%脉冲响应不变法
[h1,w]=freqz（num1,den1）;
wp2=2*fs*tan（2*pi*fc/（2*fs））
wr2=2*fs*tan（2*pi*fr/（2*fs））
[N2,wn2]=buttord（wp2,wr2,1,25,'
[B2,A2]=butter（N2,wn2,'
[num2,den2]=bilinear（B2,A2,fs）;
%双线性变换法
[h2,w]=freqz（num2,den2）;
f=w/（2*pi）*fs;
plot（f,20*log10（abs（h1））,'
-.'
f,20*log10（abs（h2））,'
-'
axis（[0,500,-100,10]）;
频率/Hz'
title（'
巴特沃思数字低通滤波器'
legend（'
脉冲相应不变法'
双线性变换法'
1）;
结果分析：
脉冲响应不变法的低通滤波器系统函数:
num10
den11
双线性变换法设计的低通滤波器系统函数:
num2
den21
脉冲响应不变法的频率变化是线性的，数字滤波器频谱响应出现了混叠，影响了过渡带的衰减特性，并且无传输零点；
双线性变化法的频率响应是非线性的，因而消除了频谱混叠，在f=500Hz出有一个传输零点。
脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，ω＝ΩΤ，ω与Ω是线性关系：
在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。
脉冲响应不变法的最大缺点：
有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通,而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。
双线性变换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，s平面的虚轴（整个jΩ）对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，Ω=∞处对应于Z平面的ω=π处,即数字滤波器的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。
双线性变换缺点:
Ω与ω成非线性关系，导致：
a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，（使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变）。
b.线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。
c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。
（3）利用双线性变换法分别设计满足下列指标的Butterworth型、Chebyshev型和椭圆型数字低通滤波器，并作图验证设计结果：
fc=，δ≤,fr=2kHz，At≥40dB,fs=8kHz，比较这种滤波器的阶数。
clearall;
wc=2*pi*1200;
wr=2*pi*2000;
rp=;
rs=40;
fs=8000;
w1=2*fs*tan（wc/（2*fs））;
w2=2*fs*tan（wr/（2*fs））;
[Nb,wn]=buttord（w1,w2,rp,rs,'
）%巴特沃思
[B,A]=butter（Nb,wn,'
[num1,den1]=bilinear（B,A,fs）;
[h1,w]=freqz（num1,den1）;
[Nc,wn]=cheb1ord（w1,w2,rp,rs,'
）%切比雪夫
[B,A]=cheby1（Nc,rp,wn,'
[num2,den2]=bilinear（B,A,fs）;
[h2,w]=freqz（num2,den2）;
[Ne,wn]=ellipord（w1,w2,rp,rs,'
）%椭圆型
[B,A]=ellip（Ne,rp,rs,wn,'
low'
[num3,den3]=bilinear（B,A,fs）;
[h3,w]=freqz（num3,den3）;
f=w/（2*pi）*fs;
--'
f,20*log10（abs（h3））,'
:
'
axis（[0,4000,-100,10]）;
FrequencyinHz'
ylabel（'
GainindB'
三种数字低通滤波器'
切比雪夫数字低通滤波器'
椭圆数字低通滤波器'
3）;
巴特沃思数字低通滤波器的系统函数系数：
num1=
den1=
切比雪夫数字低通滤波器的系统函数系数：
num2=
den2=1
椭圆数字低通滤波器的系统函数系数：
num3=
den3=1
程序结果图：
设计结果表明，巴特沃思数字低通滤波器、切比雪夫数字低通滤波器、椭圆数字低通滤波器的阶数分别是9、5、4阶。
可见，对于给定的阶数，椭圆数字低通滤波器的阶数最少（换言之，对于给定的阶数，过渡带最窄），就这一点来说，他是最优滤波器。
由图表明，巴特沃思数字低通滤波器过渡带最宽，幅频响应单调下降；
椭圆数字低通滤波器过渡带最窄，并具有等波纹的通带和阻带响应；
切比雪夫数字低通滤波器的过渡带介于两者之间。
（4）分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一Butterworth型数字带通滤波器，已知，其等效的模拟滤波器指标δ<
3dB，2kHz<
f≤3kHz；
At≥5dB，f≥6kHz；
At≥20dB，f≤。
wp1=2*pi*2000;
wp2=2*pi*3000;
ws1=2*pi*1500;
ws2=2*pi*6000;
[N1,wn1]=buttord（[wp1wp2],[ws1ws2],3,20,'
%求巴特沃思滤波器的阶数
%给定阶数和边界频率设计滤波器
[num1,den1]=impinvar（B1,A1,30000）;
%脉冲相应不变法
w1=2*30000*tan（2*pi*2000/（2*30000））;
w2=2*30000*tan（2*pi*3000/（2*30000））;
wr1=2*30000*tan（2*pi*1500/（2*30000））;
wr2=2*30000*tan（2*pi*6000/（2*30000））;
[N,wn]=buttord（[w1w2],[wr1wr2],3,20,'
[B,A]=butter（N,wn,'
[num,den]=bilinear（B,A,30000）;
%双线性变化法
[h2,w]=freqz（num,den）;
f=w/（2*pi）*30000;
axis（[0,15000,-60,10]）;
巴特沃思数字带通滤波器'
脉冲相应不变法设计的巴特沃思数字带通滤波器系统函数的分子、分母多项式系数：
num1=
den1=1
双线性变换法设计的巴特沃思数字带通滤波器系统函数的分子、分母
多项式的系数：
num=0
den=1
（5）利用双线性变换法设计满足下列指标的Chebyshev型数字带阻滤波器，并作图验证设计结果：
当
时，
；
以及
采样频率
。
w1=2*10000*tan（2*pi*1000/（2*10000））;
w2=2*10000*tan（2*pi*2000/（2*10000））;
wr1=2*10000*tan（2*pi*500/（2*10000））;
wr2=2*10000*tan（2*pi*3000/（2*10000））;
[N,wn]=cheb1ord（[wr1wr2],[w1w2],3,18,'
%计算阶数
[B,A]=cheby1（N,3,wn,'
stop'
%给定阶数和参数设计滤波器
[num,den]=bilinear（B,A,10000）;
%频率响应
f=w/（2*pi）*10000;
axis（[0,5000,-120,10]）;
频率/Hz'
切比雪夫数字带阻滤波器'
四、实验思考题
1．双线性变换法中Ω和ω之间的关系是非线性的，在实验中你注意到这种非线性关系了吗从哪几种数字滤波器的幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关系
答：
在双线性变化法中，模拟频率与数字频率不再是线性关系，所以一个线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器不再保持原有的线性相位了，在每一幅使用了双线性变换的图中，可以看到在采样频率一半处，幅度为零，这显然不是线性变换能够产生的，这是由于双线性变换将模拟域中的无穷远点映射到了改点处。
2.能否利用公式
完成脉冲响应不变法的数字滤波器设计为什么
IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数
，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。
如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；
如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。
但是它的缺点是，存在频率混叠效应，故只适用于阻带的模拟滤波器。
五、实验总结
数字滤波器的设计是信号处理方面的重要内容，通过运用MATLAB软件来设计IIR数字滤波器，使我熟悉了MATLAB的强大功能，同时也对数字滤波器的特点、作用有更深入的理解。
了解了熟练的利用MATLAB这一功能强大的软件来设计数字滤波器对数字信号处理这一领域有着重要的意义与价。
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