届高考数学考前30天冲刺模拟卷2.docx
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届高考数学考前30天冲刺模拟卷2
考前30天冲刺高考模拟考试卷
（2）
一、选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，，，则
A．，B．，C．，D．
2．（5分）在复平面内，与向量对应的复数为，则
A．B．C．D．
3．（5分）在边长为1的正三角形中，若，则的值是
A．B．C．D．
4．（5分）已知双曲线的两个焦点分别为，，为坐标原点，若为上异于顶点的任意一点，则与的周长之差为
A．8B．16C．或8D．或16
5．（5分）“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“惺帐”．如图是的一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为
A．B．C．D．1
6．（5分）用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，若从这些五位数中随机选取1个，则该五位数满足2，3相邻且1位于万位或千位的概率为
A．B．C．D．
7．（5分）已知为奇函数，为偶函数，若当，时，，则
A．B．0C．1D．2
8．（5分）在菱形中，，将沿折起，使到达的位置，且二面角为，则与平面所成角的正切值为
A．B．C．D．
二、选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中。
有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。
9．（5分）2020年4月，在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰复工复产、恢复经济正常运行．某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法错误的是
A．
B．从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为0.178
C．不到80名职工倾向于继续申请休假
D．倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名
10．（5分）已知函数，则的大致图象可能为
A．B．
C．D．
11．（5分）设函数，若对任意，，，，（a），（b），（c）都可以作为一个三角形的三边长，则的取值可能为
A．B．C．D．
12．（5分）已知直线与圆心为且半径为3的圆相交于，两点，直线与圆交于，两点，则四边形的面积的值可以是
A．B．C．D．
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）在的展开式中，的系数是 ．
14．（5分）某公司有职工800人，其中不到30岁的有120人，30岁到40岁的有400人，40岁以上的有280人．为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取200名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，则应该选择的抽样方法是 ，40岁以上的职工应抽取 名．
15．（5分）已知等比数列的前3项和为3，且，则的前项和 ．
16．（5分）定义：
点为曲线外的一点，，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角．已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为 ．
四、解答题：
本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）的内角，，所对的边分别为，，．已知，．
（1）求．
（2）若是边上一点，且的面积为，证明：
．
18．（12分）已知数列的前项和为，，，且．
（1）证明：
是等比数列，并求的通项公式；
（2）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．
已知数列满足___，求的前项和．
19．（12分）如图所示的几何体中，，，，，，，．
（1）求证：
平面；
（2）若，点在上，且满足，求二面角的余弦值．
20．（12分）某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购物赠券活动，今年活动的主题为“购物三选一，真情暖心里”，符合条件的会员可以特价购买礼包（十斤肉类）、礼包（十斤蔬菜）和礼包（十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意一类，并且根据购买的礼包不同可以获赠价值不等的代金券，根据以往经验得知，会员购买礼包和礼包的概率均为．
（1）预计今年有400名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合理；
（2）在促销活动中，若有甲、乙、丙三位会员同时参与答谢活动，各人购买礼包相互独立，已知购买礼包或礼包均可以获得50元商场代金券，购买礼包可以获得25元商场代金券，设是三人获得代金券金额之和．求的分布列和数学期望．
21．（12分）已知椭圆，其右焦点为，圆，过垂直于轴的直线被圆和椭圆截得的弦长比值为2．
（1）求曲线，的方程：
（2）直线过右焦点，与椭圆交于，两点，与圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求的长．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，求的取值范围．
考前30天冲刺高考模拟考试卷
（2）答案
1．解：
，，
，，．
故选：
．
2．解：
因为向量对应的复数为，
所以，
则．
故选：
．
3．解：
在边长为1的正三角形中，，．
故选：
．
4．解：
双曲线的方程为：
，所以．
为上异于顶点的任意一点，则与的周长之差为或，
故选：
．
5．解：
设正脊长为，斜脊长为，底面矩形的长与宽分别为和，
如图过作上底平面于，过作于，作于，
连接、，由题意知，
，，所以，于是，
，所以，
故选：
．
6．解：
用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，
从这些五位数中随机选取1个，
基本事件总数，
该五位数满足2，3相邻且1位于万位或千位包含的基本事件个数：
，
该五位数满足2，3相邻且1位于万位或千位的概率为．
故选：
．
7．解：
根据题意，为奇函数，则．
为偶函数，则，变形可得，
则有，
则有，即函数是周期为4的周期函数，
则
（1），
为奇函数，当，时，，则，必有，
则当，时，，
（1），
故
（1），
故选：
．
8．解：
设于交于点，设菱形的边长为2，
在中，因为，，所以，
过点作平面，垂足为，连结，
因为为的中点，且，所以，故，
所以即为二面角的平面角，
故，
连结，则即为与平面所成的角，
在△中，，
在△中，，，所以，
故．
故选：
．
9．解：
对于选项，所以选项错误，
对于选项：
由扇形图可知该职工倾向于在家办公的职工占，所以从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为0.178，所以选项正确，
对于选项：
由扇形图可知倾向于继续申请休假的职工占，而（人，所以选项错误，
对于选项：
由扇形图可知倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工占，而（人，所以选项正确，
故选：
．
10．解：
①当时，，则符合，不符合；
②当时，，
若，即或时，则，即，则其图象为双曲线在轴上方的部分，
若，即时，则，即，则其图象为圆在轴上方的部分，故符合；
③当时，，即，其图象表示为双曲线的上支，故符合．
故选：
．
11．解：
设函数，，，则，可得函数在，，，上单调递增，在上单调递减．
又，，，
（1），可得函数的值域为，．
根据（a），（b），（c）都可以作为一个三角形的三边长，
当时，
（1），即，解得；
当时，
（1），即，解得．
综上可得：
．
故选：
．
12．解：
根据题意，圆的圆心为且半径为3，则圆的方程为，即，
直线与圆相交于，两点，
则有，解可得：
或，即、的坐标为，，
则，且的中点为，，
直线，变形可得，直线恒过定点，，
设，，
当与垂直时，四边形的面积最大，
此时的方程为，变形可得，经过点，
则此时，
故的最大值，
故，
分析选项：
符合题意，
故选：
．
13．解：
的展开式的通项公式为，
令，得，
的系数是，
故答案为10．
14．解：
为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，
要从中抽取200名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，
则应该选择的抽样方法是分层抽样，
40岁以上的职工应抽取：
名．
故答案为：
分层抽样，70．
15．解：
根据题意，设等比数列的公比为，
若且，则，即，
解可得，
则，
则，
故答案为：
．
16．解：
如图，
，
要使最小，则最大，故最小，
设，，则．
当，即时，，
此时或，．
故答案为：
．
17．解：
（1）因为，所以，
又，所以，
因为，
所以，，，
所以．
（2）证明：
因为，
所以，
由余弦定理可得，
所以，可得，得证．
18．
（1）证明：
，
，
两式相减得：
，即，，
又当时，有，，，，
数列：
是首项为4，公比为2的等比数列，
，两边除以得：
，
又，
数列是首项为2，公差为1的等差数列，
，
；
（2）解：
若选①：
，
，
又，
两式相减得：
，
整理得：
．
若选②：
，
．
若选③：
，
19．
（1）证明：
在中，，
由余弦定理可得，所以．
所以，所以是直角三角形，．
又，，所以平面．
因为平面，所以，因为，，
所以平面．
（2）解：
由
（1）知，平面，所以平面平面，在平面中，
过点作，则平面，如图，
以为原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，
因为，所以，易知，
设平面的法向量为，，，
则即
所以为平面的一个法向量，
由
（1）知平面，所以为平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，
由图易知为锐角，则，
所以二面角的余弦值为．
20．解：
（1）会员购买礼包的概率为，
所以需要准备鸡蛋（斤．
（2）的所有可能取值为150，125，100，75，
则，
，
，
，
所以的分布列如下：
150
125
100
75
．
21．解：
（1）由已知可得过且垂直轴的直线方程为，
联立方程，解得，
联立方程，解得，
所以，又因为②，
联立①②解得，，
所以曲线的方程为，曲线的方程为；
（2）设直线的方程为，，，，，
联立方程，消去整理可得：
，
所以，
所以，
又原点到直线的距离，
所以三角形的面积，
整理可得：
，解得或（舍去），
所以，所以原点到直线的距离，
则．
22．解：
（1）的定义域为．
设函数，则．
当时，；
当时，，
故
（1），从而
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
（2）由题意可知．
由，得，即，
即对恒成立．
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，当时，
（1）．
由，得，所以，
所以对恒成立．
设，则，
所以在上单调递增，
所以，即的取值范围为．
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