高中数学教科书中应用问题初探Word文件下载.docx

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数学科学的发展对数学课程教材的建设起着至关重要的作用。

二、数学课程改革中的“应用”

近年来，数学教育界内的“问题解决”、数学建模等||无一例外地把应用提高到一个非常高的程度，因此，正确理解“应用”就成为一个非||常重要的问题。

对于“问题解决”、“大众数学”、“数学建模”、||“应用”等等，对于使数学课程“贴近”实际，历史上已作了许多讨论。

事实上，||理论与实践相结合是数学课程教材改革的重要目标之一。

||在两千多年前，数学教育就存在着着眼于实用和训||练思维的两大目标。

今天数学的内容大大地丰富和深化了，||实际应用和训练思维的涵义也大大拓展了。

归根到底，||数学教育的目的除思想教育方针之外，仍然是这两个目标的结合。

数学就自身||发展来说，始终是理论与实践密切结合一门科学。

综观数学教育史，||我们不难发现，数学教学总是具有很强职业成分，只是随着||中学和大学的学院化，数学和现实的联系才被忽||视，但是如何人教“应用”和运用“现实生活”例子为数学教学服务仍||有待研究。

应用在数学教学中可以有许多解释，有些人为的||，非现实生活的例子，也可能有重要的教育价值，能养成学生应用数学的技能，||不能一概否定；

还有一类传统的例子是过分“现实”的，是直接从职业中拿出来的，||如储蓄、税收等，这就有一个谁的“现实”的问题。

这些例子只是社会的一||些特殊需要，不足取。

就算排除了这类实例，还会有多种||形式体现“应用”。

比如，守门员如何占位才能缩小对手的射||门角度？

这些问题把数学与实际情境联系在一起，对一些学生有吸引力||，但并不是真用数学解决问题，没有哪个球员会这样去计算他们站立的位置||。

数学的应用主要不在于这样的“应用”，更重要的是，这种“联系”不可能总是结合学||生的“现实”的，正如卡尔松说的“现实是主体和||时间的函数，对我是现实的，对别人未必是现实的，在||过去是现实的，现在不一定再是现实的了”。

可见||要使课程有“应用”性是既复杂，又有待长期解决的问题。

前面说的都是||用来为数学教学服务的“现实”例子，当数学为现||实服务时，情况就完全不同了，它是完全不同的一种例子，它是用数学||去描述、理解和解决学生熟悉的社会现实问题，这种问题不仅有社会意义，而且不局限于单||一的数学，还要用到学生多方面的知识。

著名数学教育家弗兰||登塔尔曾对数学教学表示了忧虑，他认为，数学教学应讲授从丰富的||现实情境中抽象出这些结构的数学发现过程。

学习是指形成||这种系统化的数学活动过程，而不是系统化的最后结果。

因为系统化的最后结果是||一个系统，是一个漂亮的封闭系统，甚至封闭到没有入口和出||口……学生所要学习的不是作为一个封闭系统的数||学，而是作为一项人类活动的数学，即从现实生活出发的数||学化过程。

如果需要，也可以包括从数学本身出发的数学化过程。

学生应该形成一||个相对开放的系统，至少是一个既有入口又有出口的封||闭系统。

“问题解决”恰恰反映了“入口”和“出口”问题，即从现实情景（“入口||”）出发，这里所说的现实情景，既包括客观的世界和现实的生活，又包括学||生的数学现实。

事实上，这是应用的一个非常重要的方面||。

所谓“出口”，是指数学知识应用到现实情景中去。

我们所说的应用，不仅仅||是解决出口问题，更重要的是解决入口问题，即从现实情景引入数学，让学生随时随地||都感到数学就在我身边。

我国的一些数学教育工作者提出||的“掐头去尾烧中段”与“入口”和“出口”的观点||可以说不谋而和，他们都强调数学学习的一个完整过程，要了解数学||的来龙去脉。

强调数学应用现已成为各国数学课程教材改||革的共同特点，在数学课程、教科书中更加重视应用。

在处理数学内容时，更多地||遵循“实际问题→数学概念→实际问题”这个模式来展开||。

许多教科书面向现实，数学知识的引入以阅读材料的方式出现。

||这些材料内容广泛，形式各异，图文并茂，有生动具体的现实问题，有让人着迷的数学||史，有发人深思的悬念，也有尚未解决的各种实际问题，还有现代数学及其应用||的最新发展等。

教科书中每节后，还安排大量与现实世界||结合并带有挑战性的问题，供学生讨论、思考和实践，并对||每一问题在题首注明数学知识被应用的领域（例如天文、建筑、管理、经济、||物理、化学等），让学生充分感受数学与其他学科和||科学之间的联系。

总之，数学教育改革中对于应让学生认识有关知识的来龙||去脉已形成共识。

《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）||》（以下简称《大纲》）进一步突出了理论联系实际，加强应用。

“培养解决||实际问题的能力，并逐步形成数学创新意识”是高中数学的教目的之一。

解决||实际问题的能力是指：

会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科||、生产和生活中的数学问题；

会使用数学语言表达问题、进行||交流，形成用数学的意识。

数学创新意识主要是指：

对自然||界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思||考，会从数学的角度发现和提出问题，加以探索和研究。

《大纲》在||“教学内容和目标”“教学中需注意的几个问题”等处，对||应用数学知识解决实际问题只做了原则性的说明。

《大纲》中规定的教学内容和教学要求||由教科书、教师的教学、学生的学习等多种渠道来体现，教科书如何||更好地贯彻大纲中的“应用”，对编者来说，有一个再发现、再创造的过程。

我们认为||，数学应用不仅包括人们常讲的用数学的结论，用数学的方法，||用数学的思想，还包括用数学的语言，用数学的观念，用数学的精神。

因此，强||调数学课程教材中的应用，并不是仅仅通过“增加一些有用的数学内容”，，“在例题||和习题中增加一些应用题”，而是要在教材设计、||编排体系等方面做更深层次的考虑。

三、高中数学教科书中的“应用”

下||面以《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）数学第一册（上）||为例》，对“应用”进行具体的分析：

1．教学内容的选取

知识点：

函数的应用举例。

实习作业。

||等差数列及其通项公式。

等差数列前n项和公式。

等比数列及其通项公式。

等比||数列前n项和公式。

研究性课题：

数列在分期付款中的应用

教学目标：

能够运用函数的性质、指数函数、||对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

实习作业已||函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力。

理解等差||数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项||和公式，并能运用公式解决简单的问题。

理解等比数列的概念||，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解||决简单的问题。

毋庸讳言，现在的数学教科书主要是以数学知识为中心，进行教||材的设计；

数学的组织基本上以数学学科的内在逻辑顺序为主线。

2．教学内容的处理

（1）正文：

“2.2函数一节中”

例5在国内投寄外埠平信，每封信不超过20g||付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依此类推，试建立平信应付||邮资（单位：

分）的函数关系，并画出图象。

这是几乎每个人在现||实生活中都会遇到的问题，也即现实情境（问题情境），建立函数关系式（数学模||型）：

当邮寄35g的外埠平信时，从图象中可以看出，应付||160分的邮资（应用到现实情境中去）。

这是一个比较简单的“数学建模||”过程：

问题情境→建立模型→解释与应用。

可以||说，在一定程度上，“数学建模”使应用更现实化。

学生看到||数学如何才能应用到真正的“现实生活”问题中||，并且渴望获得进一步学习的动力，会自然地寻找“数学建模”||的机会。

在解决实际问题中，“会使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意||识”是应用的一个重要的方面。

从上例中可以看出，在建立数学模型的过程中，自然||经历自然语言、数学语言（函数关系式）、图形语言||（函数图象）相互转化的过程。

（2）阅读材料自由落体运动的数学模型

该阅||读材料结合典型事例，详细地介绍了数学模型的概念、||数学模型建立过程，以及利用数学模型方法解决问题的基本步骤。

（3）研究性课题：

数列在分期付款中的作用

研究性课题主要是指对某些||数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活和其他学科中出现的||问题进行研究。

充分地体现学生的自主活动和合作活动。

研究性课题应以||所学的数学知识为基础，并且密切结合生活和生产实际。

可以师生自拟课题。

提倡教||师和学生自己提出问题。

四、应注意的几个问题

（一）应用的层次性

单就出口而言，有以下几个层次：

1．在数学学科本身的应用。

由于数学学科本身具有逻辑严密||的特点，前面知识的学习为学习后面的知识做准备。

换||句话说，前面的知识要应用到后面知识的学习中。

2．在其他相关学科的应用，特别是物理及工程技术中的应用。

3．应用到现实情境中去

由于||高中学生学习的知识毕竟还是有限的，他们用数学知识解决的||现实问题，与应用数学家所面临的现实问题相比，充其量是||个“准数学问题”，至少是“半数学化”的问||题，是一个经过人为加工的“数学半成品”。

4．||发现问题、提出问题、分析问题、解决问题这四者之间，能够||发现问题、提出问题，这是要求最高的。

能够解决已经“数||学化”了的问题，对学生来讲，是个技能化的过程。

而能够发现问题、提出问题、||分析问题则是一个能力问题。

5．数学语言的灵活运用是||应用的最高层次，特别是自然语言、数学语言、图形语言的相互转化，以及用数学||语言进行交流。

（二）应用与基础知识的关系

对高中学生来讲，掌握数学的基础知识||应该是教学的首要目标，应用是以掌握数学知识为前提的。

应用不仅仅是目的，更重要||的是过程，即我们不仅要使学生树立起数学应用意识，认识到数学的广泛||应用性特点和应用价值，具备应用数学解决实际问题的规律性认识||和操作性能力，而且还要切切实实让学生在应用数学中掌握基础知识和数||学方法，学会使用数学语言，并受到数学文化的熏陶。

||很难想象，没有扎实的基础知识，谈何应用？

（三）应用与计算机（器）

计算机（器）的普及，为数学的应用提供了先进的计算工具，更便于处理实际数||据，使应用问题更加真实，切合实际；

良好的演示平台，使数学||应用有了广阔的空间，计算机能够把静态的变成动||态的，把抽象的东西具体化，直观化，使人们的思维能够得到一定程度的||延伸。

（四）从数学学习和数学活动看“应用”

唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学||”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那||些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均||原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”||等科目的讲授者；

而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养||生徒。

“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教||书育人的职责也十分明晰。

唐代国子学、太学等所设之“助教||”一席，也是当朝打眼的学官。

至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”||，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。

至此，无论是“博士”“讲师”，还||是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具||有了。

数学不同于其他自然科学，它具有逐级抽象的||特点。

从客观实际、现实世界中的抽象只是数学的低级抽象；

脱离具体事和物的数量关系||和空间形式的数学研究的对象是数学的高级抽象。

高级抽||象是在低级抽象基础上的进一步抽象，它的研究对象是一种形式化的思想材料，是经过||人加工了的思想，是人对自然界的概括和认识。

数||学的逐级抽象性的特点，说明了学生学习过程中思维发展的不同阶段和水平，因而数学的||学习活动也是分层次的。

学习的最低层次是数学的组织：

通过学生自||己的猜测、探索，从现实问题情景中提炼数学问题，发现问题及||其规律，对问题有整体理解，这是学生数学地组织经验材||料的活动层次；

学习的第二个层次是将数学问题组织成原理，并||用数学语言模式去描绘原理。

即通过对脱离具体事和物的数量关系和空间形式的数学研究||，构筑抽象理论意义的数学原理。

这是学生组织经验领域的活动，是||进一步抽象概括数学材料并提炼数学原理的过程；

第三个层次是数学原||理的验证、推广阶段。

如果说前两个层次是“||发现”原理的过程，那么这个层次就是验证推广的阶段。

验证的过程实||际是将“发展”的结果演绎推理的形式系统化、逻辑化的过程；

最后一个层次是反||省上述学习过程，将抽象结果应用于实际，用以指导现实生活。

此层次的||反省活动，是对前述认识过程的进一步认识，是对||前述学习过程的反思，对整个学习过程起到调节和监控作用。

||斯托利亚尔认为，数学活动可分为三个阶段：

经验材料的数学组织化、||数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用。

这三个阶段构成了学生学习活动的完整过||程，忽视甚至丢弃哪个阶段的做法都是不对的。

学生亲自感受||和经历“发现”数学的过程，也就是数学再创造的过程，唯有以再创造的||方式进行数学学习，将知识的发生发展过程理清，才能||在数学上向趋向成熟的下一阶段迈进。

传统的数学课程只是按照以形式化了的现||成的数学规则去操作数学。

现在的数学课程强调了经验材料的数学组织和数学的应||用。

单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑||且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新鲜||事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的||真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,||定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

这样,即巩固了所学的材||料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力||等等,达到“一石多鸟”的效果。

这个工作可让学生分组负||责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录并且阅读成||诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,||所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长||、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年||便可以积累40多则材料。

如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文||章来还用乱翻参考书吗?

“应用”是一个非常大的||话题，不但是课程教材改革的问题，而且还涉及教学、学习、评价（考||试）等等。

笔者认为，“应用”最主要的是教||学思想的问题，即在教学中培养学生的应用意识，从“出口”着||眼，从“入口”着手。

课程教材和评价（考试）只是培养学生应用意||识过程的一个必不可少的环节，更重要的是要在平时的教学中去实现。