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当AB与x轴垂直时,E与D重合.
所以所求轨迹方程为y2=x-1.
新题演练提能·
刷高分
1.（2018山西太原二模）已知以点C（0,1）为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上.
（1）求点B的轨迹E的方程;
（2）过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:
直线MN过定点.
（1）解设B（x,y）,则AB的中点D,y>
0.
∵C（0,1）,则,
在☉C中,∵DC⊥DB,
∴=0,∴-+y=0,
即x2=4y（y>
0）.
∴点B的轨迹E的方程为x2=4y（y>
（2）证明由已知条件可得曲线E的方程为x2=4y,
设点P（t,-1）,M（x1,y1）,N（x2,y2）.
∵y=,∴y'
=,
∴过点M、N的切线方程分别为y-y1=（x-x1）,y-y2=（x-x2）.
由4y1=,4y2=,上述切线方程可化为2（y+y1）=x1x,2（y+y2）=x2x.
∵点P在这两条切线上,
∴2（y1-1）=tx1,2（y2-1）=tx2,
即直线MN的方程为2（y-1）=tx,
故直线2（y-1）=tx过定点C（0,1）.
2.（2018广西梧州3月适应性测试）已知A（-2,0）,B（2,0）,直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-.
（1）求点P的轨迹C的方程;
（2）设F1（-1,0）,F2（1,0）,连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,点R是PF2中点,O是坐标原点,记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值.
解
（1）设P（x,y）,∵A（-2,0）,B（2,0）,
∴k1=,k2=,
又k1k2=-,∴=-,
∴=1（x≠±
2）,
∴轨迹C的方程为=1（x≠±
2）.
（2）由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1,故△PF1R与△PF1O同底等高,故,S==S△PQO,
当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×
1×
;
当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k（x+1）,
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;
联立
解得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0,
Δ=144（k2+1）>
0,
故|PQ|=|x1-x2|=,
点O到直线PQ的距离d=,
S=|PQ|d=6,令u=3+4k2∈（3,+∞）,故S=6,故S的最大值为.
3.（2018甘肃兰州一模）已知圆C:
（x+1）2+y2=8,过D（1,0）且与圆C相切的动圆圆心为P.
（1）求点P的轨迹E的方程;
（2）设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W（Q,R,S,T为不同的四个点）.
①设W（x0,y0）,证明:
<
1;
②求四边形QRST的面积的最小值.
（1）解设动圆半径为r,由于D在圆内,圆P与圆C内切,则|PC|=2-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2>
|CD|=2,
由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=,c=1,b==1,E的方程为+y2=1.
（2）①证明由已知条件可知,垂足W在以CD为直径的圆周上,则有=1,又因Q,R,S,T为不同的四个点,<
1.
②解若l1或l2的斜率不存在,四边形QRST的面积为2.
若两条直线的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k（x+1）,
解方程组得（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0,则|QS|=2,
同理得|RT|=2,
∴SQSRT=|QS|·
|RT|=,
当且仅当2k2+1=k2+2,即k=±
1时等号成立.
综上所述,当k=±
1时,四边形QRST的面积取得最小值.
4.（2018福建福州3月质检）设点A为圆C:
x2+y2=4上的动点,点A在x轴上的投影为Q,动点M满足2,动点M的轨迹为E.
（1）求E的方程;
（2）设E与y轴正半轴的交点为B,过点B的直线l的斜率为k（k≠0）,l与E交于另一点P.若以点B为圆心,以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点,求k的取值范围.
解
（1）设点M（x,y）,A（x1,y1）,则Q（x1,0）,
因为2,
所以2（x1-x,-y）=（0,-y1）,
所以解得
由于点A在圆C:
x2+y2=4上,所以x2+4y2=4,
所以点M的轨迹E的方程为+y2=1.
（2）由
（1）知,E的方程为+y2=1,因为直线l:
y=kx+1（k≠0）.
由得（1+4k2）x2+8kx=0.
设B（x1,y1）,P（x2,y2）,
因此x1=0,x2=-,
|BP|=|x1-x2|=,则点P的轨迹方程为x2+（y-1）2=,
由
得3y2+2y-5+=0（-1≤y≤1）,（*）
依题意得,（*）式关于y的方程在（-1,1）有两个不同的实数解,
设f（x）=3x2+2x-5+（-1<
x<
1）,
因为函数f（x）的对称轴为x=-,
要使函数f（x）的图象在（-1,1）与x轴有两个不同的交点,
则
整理得
即所以解得k∈,所以k的取值范围为.
命题角度2直线与圆锥曲线的位置关系
1.（2018全国Ⅰ·
19）设椭圆C:
+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为（2,0）.
（1）当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
（2）设O为坐标原点,证明:
∠OMA=∠OMB.
（1）解由已知得F（1,0）,l的方程为x=1.
由已知可得,点A的坐标为.
所以AM的方程为y=-x+或y=x-.
（2）证明当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k（x-1）（k≠0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则x1<
x2<
直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=,
由y1=kx1-k,y2=kx2-k得
kMA+kMB=.
将y=k（x-1）代入+y2=1得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0,
所以,x1+x2=,x1x2=.
则2kx1x2-3k（x1+x2）+4k
==0.
从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,
所以∠OMA=∠OMB.
综上,∠OMA=∠OMB.
2.（2018全国Ⅱ·
19）设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k（k>
0）的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
（1）求l的方程.
（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解
（1）由题意得F（1,0）,l的方程为y=k（x-1）（k>
设A（x1,y1）,B（x2,y2）.
由得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.
Δ=16k2+16>
0,故x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=（x1+1）+（x2+1）=.
由题设知=8,解得k=-1（舍去）,k=1.
因此l的方程为y=x-1.
（2）由
（1）得AB的中点坐标为（3,2）,所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3）,即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为（x0,y0）,则
解得
因此所求圆的方程为
（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144.
3.（2018全国Ⅲ·
20）已知斜率为k的直线l与椭圆C:
=1交于A,B两点,线段AB的中点为M（1,m）（m>
（1）证明:
k<
-;
（2）设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:
||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.
（1）证明设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则=1,=1.
两式相减,并由=k得·
k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.①
由题设得0<
m<
故k<
-.
（2）解由题意得F（1,0）.设P（x3,y3）,
则（x3-1,y3）+（x1-1,y1）+（x2-1,y2）=（0,0）.
由
（1）及题设得x3=3-（x1+x2）=1,y3=-（y1+y2）=-2m<
又点P在C上,所以m=,
从而P,||=.
于是||=
==2-.
同理||=2-.
所以||+||=4-（x1+x2）=3.
故2||=||+||,则||,||,||成等差数列,
设该数列的公差为d,则2|d|=|||-|||=|x1-x2|=.②
将m=代入①得k=-1.
所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.
故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.所以该数列的公差为或-.
4.（2017全国Ⅲ·
y2=2x,过点（2,0）的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
坐标原点O在圆M上;
（2）设圆M过点P（4,-2）,求直线l与圆M的方程.
（1）证明设A（x1,y1）,B（x2,y2）,l:
x=my+2.
由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.
（2）解由
（1）可得y1+y2=2m,x1+x2=m（y1+y2）+4=2m2+4.故圆心M的坐标为（m2+2,m）,圆M的半径r=.
由于圆M过点P（4,-2）,因此=0,
故（x1-4）（x2-4）+（y1+2）（y2+2）=0,
即x1x2-4（x1+x2）+y1y2+2（y1+y2）+20=0.
由
（1）可得y1y2=-4,x1x2=4.
所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为（3,1）,圆M的半径为,圆M的方程为（x-3）2+（y-1）2=10.
当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为.
5.（2017北京·
18）已知抛物线C:
y2=2px过点P（1,1）.过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.
（1）求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
（2）求证:
A为线段BM的中点.
（1）解由抛物线C:
y2=2px过点P（1,1）,得p=.
所以抛物线C的方程为y2=x.
抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.
（2）证明由题意,设直线l的方程为y=kx+（k≠0）,l与抛物线C的交点为M（x1,y1）,N（x2,y2）.
由得4k2x2+（4k-4）x+1=0.
则x1+x2=,x1x2=.
因为点P的坐标为（1,1）,所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为（x1,x1）,直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.
因为y1+-2x1=
=
==0,
所以y1+=2x1.
故A为线段BM的中点.
6.（2017天津·
19）设椭圆=1（a>
b>
0）的左焦点为F,右顶点为A,离心率为,已知A是抛物线y2=2px（p>
0）的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.
（1）求椭圆的方程和抛物线的方程;
（2）设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A）,直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.
解
（1）设F的坐标为（-c,0）.
依题意,=a,a-c=,
解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.
所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.
（2）设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）,与直线l的方程x=-1联立,可得点P,
故Q.
将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得（3m2+4）y2+6my=0,解得y=0或y=.
由点B异于点A,可得点B.
由Q,可得直线BQ的方程为（x+1）-=0,
令y=0,解得x=,故D.
所以|AD|=1-.
又因为△APD的面积为,
故,
整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,
所以m=±
.
所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.
1.（2018河北唐山一模）已知椭圆Γ:
=1（a>
0）的左焦点为F,上顶点为A,长轴长为2,B为直线l:
x=-3上的动点,M（m,0）,AM⊥BM.当AB⊥l时,M与F重合.
（1）求椭圆Γ的方程;
（2）若直线BM交椭圆Γ于P,Q两点,若AP⊥AQ,求m的值.
解
（1）依题意得A（0,b）,F（-c,0）,当AB⊥l时,B（-3,b）,
由AF⊥BF,得kAF·
kBF==-1,
又b2+c2=6,
解得c=2,b=.
所以,椭圆Γ的方程为=1.
（2）由
（1）得A（0,）,依题意,显然m≠0,
所以=-,
又AM⊥BM,所以kBM=,
所以直线BM的方程为y=（x-m）,
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）.
有（2+3m2）x2-6m3x+3m4-12=0,
x1+x2=,x1x2=.
|PM|·
|QM|=|（x1-m）（x2-m）|
=|x1x2-m（x1+x2）+m2|
=,|AM|2=2+m2,
由AP⊥AQ得,|AM|2=|PM|·
|QM|,
所以=1,解得m=±
2.（2018河南郑州一模）已知圆C:
x2+y2+2x-2y+1=0和抛物线E:
y2=2px（p>
0）,圆心C到抛物线焦点F的距离为.
（1）求抛物线E的方程;
（2）不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程.
解
（1）C:
x2+y2+2x-2y+1=0可化为（x+1）2+（y-1）2=1,则圆心C为（-1,1）.
∵F
0
∴|CF|=,解得p=6.
∴抛物线的方程为y2=12x.
（2）设直线l为x=my+t（t≠0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）.
联立可得y2-12my-12t=0.
∴y1+y2=12m,y1y2=-12t.
∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,
即（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0.
整理可得t2-12t=0,∵t≠0,∴t=12.
∴直线l的方程为x=my+12,故直线l过定点P（12,0）.∴当CN⊥l时,即动点M经过圆心C（-1,1）时到动直线l的距离取得最大值.
kMP=kCP==-,∴m=,
此时直线l的方程为x=y+12,
即为13x-y-156=0.
3.（2018甘肃第一次诊断性考试）椭圆E:
0）的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.
（1）求椭圆E的方程;
（2）A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点（1,-1）,且∠APF2=∠BPF2,求直线AB的方程.
解
（1）由题意可得|PF2|==3,
因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,
所以b2=12,所以椭圆E的方程为=1.
（2）易知点P的坐标为（2,3）.因为∠APF2=∠BPF2,所以直线PA,PB的斜率之和为0.
设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则直线PA的方程为y-3=k（x-2）,
可得（3+4k2）x2+8k（3-2k）x+4（3-2k）2-48=0,
∴x1+2=.
同理,直线PB的方程为y-3=-k（x-2）,
可得x2+2=,
∴x1+x2=,x1-x2=,
kAB=,
∴满足条件的直线AB的方程为y+1=（x-1）,即为x-2y-3=0.
命题角度3圆锥曲线的最值、范围问题
1.（2017山东·
21）在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:
0）的离心率为,焦距为2.
（1）求椭圆E的方程.
（2）如图,动直线l:
y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=,M是线段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T,求∠SOT的最大值并求取得最大值时直线l的斜率.
解
（1）由题意知e=,2c=2,所以a=,b=1,因此椭圆E的方程为+y2=1.
（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
联立方程
得（4+2）x2-4k1x-1=0,
由题意知Δ>
0,且x1+x2=,
x1x2=-.
所以|AB|=|x1-x2|
=.
由题意可知圆M的半径r为
r=|AB|=.
由题设知k1k2=,所以k2=,因此直线OC的方程为y=x.
得x2=,y2=,
因此|OC|=.
由题意可知sin
而
令t=1+2,则t>
1,∈（0,1）,
因此
=≥1,
当且仅当,即t=2时等号成立,此时k1=±
所以sin,因此.
所以∠SOT最大值为.
综上所述:
∠SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率为k1=±
2.（2016全国Ⅱ·
20）已知椭圆E:
=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k（k>
0）的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
（1）当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
（2）当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
解
（1）设M（x1,y1）,则由题意知y1>
当t=4时,E的方程为=1,A（-2,0）.
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.
将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.
解得y=0或y=,所以y1=.
因此△AMN的面积S△AMN=2×
（2）由题意t>
3,k>
0,A（-,0）.
将直线AM的方程y=k（x+）代入=1得（3+tk2）x2+2·
tk2x+t2k2-3t=0.
由x1·
（-）=得x1=,
故|AM|=|x1+.
由题设,直线AN的方程为y=-（x+）,
故同理可得|AN|=.
由2|AM|=|AN|得,
即（k3-2）t=3k（2k-1）.
当k=时上式不成立,因此t=.
t>
3等价于<
即<
由此得解得<
2.
因此k的取值范围是（,2）.
3.（2016全国Ⅰ·
20）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（1）证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;
（2）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
解
（1）因为|AD|=|AC|,EB∥AC,
故∠EBD=∠ACD=∠ADC.
所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.
又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16,
从而|AD|=4,
所以|EA|+|EB|=4.
由题设得A（-1,0）,B（1,0）,|AB|=2,
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:
=1（y≠0）.
（2）当l与x轴不垂直时,设l的方程为
y=k（x-1）（k≠0）,M（x1,y1）,N（x2,y2）,
得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0,
则x1+x2=,x1x2=,
所以|MN|=|x1-x2|=.
过点B（1,0）且与l垂直的直线m:
y=-（x-1）,A到m的距离为,
所以|PQ|=2=4.
故四边形MPNQ的面积
S=|MN||PQ|=12.
可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为（12,8）.
当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.
综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8）.
（2018江西南昌一模）已知抛物线C:
0）的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点,y1y2=-4.
（1）求抛物线方程;
（2）点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.
解
（1）依题意F,
当直线AB的斜率不存在时,|y1y2|=-p2=-4,p=2.
当直线AB的斜率存在时,设AB:
y=k,
化简得y2-y-p2=0.
由y1y2=-4,得p2=4,p=2,
所以抛物线方程为y2=4x.
（2）设D（x0,y0）,B,则E（-1,t）.
又由y1y2=-4,可得A.
因为kEF=-,AD⊥EF,
所以kAD=,故直线AD:
y+.
化简得y2-2ty-8-=0,
所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.
所以|AD|=·
|y1-y0|=.
设点B到直线AD的距离为d,
则d=.
所以S△ABD=|AD|·
d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±
当t=2时,直线AD的方程为x-y-3=0,当t=-2时,直线AD的方程为x+y-3=0.
（2018山东济南一模）在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:
x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点.
（1）若直线OA,OB的斜率之积为-,证明:
直线l过定点;
（2）若线段AB的中点M在曲线C2:
y=4-x2（-2<
2）上,求的
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