高考数学一轮复习步步高第二章 22 第2课时 奇偶性对称性与周期性文档格式.docx
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=-log2(
+x)=-f(x),
故f(x)为奇函数.
思维升华判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
跟踪训练1
(1)下列函数是偶函数的是( )
A.f(x)=x3-sinx
B.f(x)=3x-
C.f(x)=x2+tanx
D.f(x)=x·
ln(
答案 D
解析 由函数奇偶性定义知,A中函数为奇函数,B中函数为奇函数,C中函数为非奇非偶函数,D中函数为偶函数.
(2)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)g(x)|是奇函数
C.|f(x)|g(x)是偶函数
D.f(|x|)g(x)是奇函数
答案 C
解析 令F1(x)=f(x)g(x),
∴F1(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F1(x),
∴F1(x)为奇函数,故A错误;
令F2(x)=|f(x)g(x)|,
∴F2(x)=|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|
=|f(x)g(x)|=F2(x),
故F2(x)为偶函数,故B错误;
令F3(x)=|f(x)|g(x),
∴F3(-x)=|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x)=F3(x),
∴F3(x)为偶函数,故C正确;
令F4(x)=f(|x|)g(x),
∴F4(-x)=f(|-x|)g(-x)=f(|x|)g(x)=F4(x),
∴F4(x)为偶函数,故D错误.
题型二函数奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求参数的值
例2若函数f(x)=x3
为偶函数,则a的值为________.
答案
解析 方法一 (定义法)∵f(x)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
∴(-x)3
=x3·
∴2a=-
=1,
∴a=
方法二 (特值法)f(x)为偶函数,
∴f(-1)=f
(1),
又f(-1)=-a+2,f
(1)=a+1,
∴-a+2=a+1,∴a=
命题点2 利用奇偶性求解析式
例3(2019·
全国Ⅱ)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<
0时,f(x)等于( )
A.e-x-1B.e-x+1
C.-e-x-1D.-e-x+1
解析 当x<
∵当x≥0时,f(x)=ex-1,
∴f(-x)=e-x-1.
又∵f(x)为奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=-e-x+1.
命题点3 利用奇偶性求函数值
例4已知函数f(x)=ax3+bx5+2.若f(x)在区间[-t,t]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.
答案 4
解析 令g(x)=ax3+bx5,
则g(x)为奇函数,
当x∈[-t,t]时,g(x)max+g(x)min=0,
又f(x)=g(x)+2,
∴M=g(x)max+2,m=g(x)min+2,
∴M+m=g(x)max+2+g(x)min+2=4.
思维升华利用函数奇偶性可以解决以下问题
(1)求函数值:
将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.
(2)求解析式:
将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出.
(3)求解析式中的参数:
利用待定系数法求解,根据f(x)±
f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.
(4)画函数图象:
利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.
(5)求特殊值:
利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.
跟踪训练2
(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=2x+x+b,则f(-1)的值为( )
A.b+3B.-b-3C.-2D.2
解析 ∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,
即20+0+b=0,∴b=-1,
∴f(-1)=-f
(1)=-(21+1+b)=-2.
(2)已知函数f(x)=asinx+btanx+1,若f(a)=-2,则f(-a)=________.
解析 令g(x)=asinx+btanx,
则g(x)为奇函数,且f(x)=g(x)+1,
∵f(a)=g(a)+1=-2,∴g(a)=-3,
∴f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=4.
题型三函数的周期性、对称性
命题点1 函数的周期性
例5
(1)已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x),当x∈(0,π)时,f(x)=2sin
,则f
等于( )
A.
B.
C.1D.
解析 因为f(x+2π)=f(x),所以f(x)的周期为2π.
所以f
=f
又因为当x∈(0,π)时,f(x)=2sin
=2sin
=1.
(2)(2020·
西安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),当x∈(0,2]时,f(x)=2x+log2x,则f(2020)等于( )
A.5B.
C.2D.-5
解析 ∵f(x)=-f(x+2),
∴f(x)的周期为4,f(2020)=f(0)=-f
(2)=-(22+log22)=-5.
思维升华函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>
0).
(2)若f(x+a)=
,则T=2a(a>
(3)若f(x+a)=-
(4)若f(x+a)+f(x)=c,则T=2a(a>
0,c为常数).
命题点2 函数的对称性
例6(多选)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于x=2对称
B.f(x)的图象关于(2,0)对称
C.f(x)的最小正周期为4
D.y=f(x+4)为偶函数
答案 ACD
解析 ∵f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于x=2对称,故A正确,B错误;
∵函数f(x)的图象关于x=2对称,则f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),∴f(x+4)=f(x),∴T=4,故C正确;
∵T=4且f(x)为偶函数,故y=f(x+4)为偶函数,故D正确.
思维升华对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=
对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于点
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图象关于点
跟踪训练3
(1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=f(x),且当x∈[0,3)时,f(x)=2x-x2+1,则f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2021)=________.
答案 2696
解析 ∵f(x+3)=f(x),∴T=3,
又x∈[0,3)时,f(x)=2x-x2+1,
∴f(0)=1,f
(1)=2,f
(2)=1,
∴f(0)+f
(1)+f
(2)=1+2+1=4,
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2021)
=674×
4=2696.
(2)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,其图象关于直线x=2对称.当x∈[0,4]时,f(x)=x2-4x,则f(2022)=________.
解析 ∵f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(-x)=f(x+4),
又f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
故f(x+4)=-f(x),∴T=8,
又∵2022=252×
8+6,
∴f(2022)=f(6)=f(-2)=-f
(2)=-(4-8)=4.
我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,一般用y=f(x)表示,抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质,将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身,是考查函数的良好载体.
例1若函数f(2x)的定义域是[-1,1],则f(log2x)的定义域为________.
答案 [
,4]
解析 对于函数y=f(2x),-1≤x≤1,
∴2-1≤2x≤2.
则对于函数y=f(log2x),2-1≤log2x≤2,
∴
≤x≤4.
故y=f(log2x)的定义域为[
,4].
例2已知函数f(x)对任意正实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.
(1)求f
(1),f(-1)的值;
(2)求证:
f
=-f(x);
(3)若f
(2)=p,f(3)=q(p,q均为常数),求f(36)的值.
(1)解 令a=1,b=1,
得f
(1)=f
(1)+f
(1),解得f
(1)=0,
令a=b=-1,
∴f
(1)=f(-1)+f(-1),∴f(-1)=0.
(2)证明 令a=
,b=x,
得f
(1)=f
+f(x)=0,
∴f
=-f(x).
(3)解 令a=b=2,得f(4)=f
(2)+f
(2)=2p,
令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q,
令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.
例3已知函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f
=1,且当x>
0时,f(x)>
0.
(1)求f(0)的值;
(2)判断函数的奇偶性并证明;
(3)判断函数的单调性,并解不等式f(x)+f(2+x)<
2.
解
(1)令x=y=0,
则f(0)=f(0)+f(0),
∴f(0)=0.
(2)f(x)是奇函数,证明如下:
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,
故函数f(x)是R上的奇函数.
(3)f(x)是R上的增函数,证明如下:
任取x1,x2∈R,x1<
x2,则x2-x1>
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)
=f(x2-x1)>
∴f(x1)<
f(x2),
故f(x)是R上的增函数,
∵f
+f
=2,
∴f(x)+f(2+x)=f(x+(2+x))=f(2x+2)<
又由y=f(x)是定义在R上的增函数,得2x+2<
解得x<
-
,故x∈
课时精练
1.(2021·
重庆一中月考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=x-1B.y=|x|+1
C.y=
D.y=-x2
答案 B
2.若函数f(x)=
在定义域上为奇函数,则实数k的值为( )
A.-2B.0C.1或-1D.2
解析 因为f(x)在定义域上为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),即
=
即
根据等式恒成立可得,k=±
1.
3.(2021·
南昌联考)函数f(x)=
的图象( )
A.关于x轴对称B.关于y轴对称
C.关于坐标原点对称D.关于直线y=x对称
解析 f(x)=
=3x+3-x,f(-x)=3-x+3x,
∴f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.
4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<
x<
1时,f(x)=4x,则f
+f
(1)等于( )
A.-2B.0C.2D.1
答案 A
解析 ∵函数f(x)为定义在R上的奇函数,且周期为2,
∴f
(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f
(1),
∴f
(1)=0,
=-f
=-2,
+f
(1)=-2.
5.(多选)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )
A.y=f(|x|)B.y=f(-x)
C.y=xf(x)D.y=f(x)+x
答案 BD
解析 由奇函数的定义f(-x)=-f(x)验证,
A项,f(|-x|)=f(|x|),为偶函数;
B项,f[-(-x)]=f(x)=-f(-x),为奇函数;
C项,-xf(-x)=-x·
[-f(x)]=xf(x),为偶函数;
D项,f(-x)+(-x)=-[
f(x)+x],为奇函数.
可知BD正确.
6.(多选)若定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上单调递减,且函数y=f(x+4)为偶函数,则( )
A.f
(2)>
f(3)B.f
(2)=f(6)
C.f(3)=f(5)D.f(3)>
f(6)
答案 BCD
解析 ∵y=f(x+4)为偶函数,
∴f(-x+4)=f(x+4),
∴y=f(x)的图象关于直线x=4对称,
∴f
(2)=f(6),f(3)=f(5).
又y=f(x)在(4,+∞)上单调递减,
∴f(5)>
f(6),∴f(3)>
f(6).
7.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是________.
解析 f(x)=ax2+bx为偶函数,则b=0,
又定义域[a-1,2a]关于原点对称,
则a-1+2a=0,
,∴a+b=
8.(2021·
咸阳模拟)已知函数f(x)=
为奇函数,则a=________.
答案 -1
解析 由题意,得f(-x)=-f(x),
则f(-1)=-f
(1),即1+a=-a-1,得a=-1(经检验符合题意).
9.已知函数f(x)对∀x∈R满足f(1-x)=f(1+x),f(x+2)=-f(x),且f(0)=1,则f(26)=________.
答案 1
解析 ∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x)的周期为4,
∴f(26)=f
(2).
∵对∀x∈R有f(1-x)=f(1+x),
∴f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f
(2)=f(0)=1,即f(26)=1.
10.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<
0恒成立,则x的取值范围为________.
解析 易知原函数在R上单调递增,且为奇函数,故f(mx-2)+f(x)<
0⇒f(mx-2)<
-f(x)=f(-x),此时应有mx-2<
-x⇒mx+x-2<
0对所有m∈[-2,2]恒成立.
令g(m)=xm+x-2,此时只需
即可,
解得-2<
11.已知函数f(x)=
是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解
(1)设x<
0,则-x>
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
所以f(-x)=-f(x),
于是x<
0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象(如图所示)知
所以1<
a≤3,
故实数a的取值范围是(1,3].
12.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
(1)证明 ∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],
∴4-x∈[0,2],
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8.
∵f(4-x)=f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x2+6x-8,
即当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
13.若f(x)=ex-ae-x为奇函数,则满足f(x-1)>
-e2的x的取值范围是( )
A.(-2,+∞)B.(-1,+∞)
C.(2,+∞)D.(3,+∞)
解析 ∵f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=1-a=0,∴a=1,
∴f(x)=ex-e-x,
∴f(x)为R上的增函数,
又f(-2)=e-2-e2=
-e2,
∴原不等式可化为f(x-1)>
f(-2),
∴x-1>
-2,即x>
-1.
14.已知函数f(x)对任意实数x满足f(-x)+f(x)=2,若函数y=f(x)的图象与y=x+1有三个交点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则y1+y2+y3=________.
答案 3
解析 因为f(-x)+f(x)=2,
则f(x)的图象关于点(0,1)对称,
又直线y=x+1也关于点(0,1)对称,
因为y=f(x)与y=x+1有三个交点,
则(0,1)是一个交点,另两个交点关于(0,1)对称,
则y1+y2+y3=2+1=3.
15.(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且函数f(x+2)为偶函数,则下列结论正确的是( )
A.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(4)=0
C.f(x+8)=f(x)
D.若f(5)=-1,则f(2021)=-1
解析 根据题意,f(x)是定义域为R的奇函数,
则f(-x)=-f(x),
又由函数f(x+2)为偶函数,
则函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
则有f(-x)=f(4+x),
则有f(x+4)=-f(x),
即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),
则函数f(x)是周期为8的周期函数;
据此分析选项:
对于A,函数f(x)的图象关于直线x=2对称,A错误;
对于B,f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0,又由函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(4)=0,B正确;
对于C,函数f(x)是周期为8的周期函数,即f(x+8)=f(x),C正确;
对于D,若f(5)=-1,则f(2021)=f(5+2016)=f(5)=-1,D正确.
16.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·
x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f
(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<
2,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,求x的取值范围.
解
(1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·
x2)=f(x1)+f(x2),
所以令x1=x2=1,得f
(1)=2f
(1),
所以f
(1)=0.
(2)f(x)为偶函数,证明如下:
f(x)的定义域关于原点对称,
令x1=x2=-1,
有f
(1)=f(-1)+f(-1),
所以f(-1)=
f
(1)=0.
令x1=-1,x2=x,得f(-x)=f(-1)+f(x),
所以f(-x)=f(x),
所以f(x)为偶函数.
(3)依题设有f(4×
4)=f(4)+f(4)=2,
由
(2)知f(x)是偶函数,
所以f(x-1)<
2等价于f(|x-1|)<
f(16).
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以0<
|x-1|<
16,
解得-15<
17且x≠1,
所以x的取值范围是(-15,1)∪(1,17).