微积分1复习题docxWord下载.docx
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设/（x）=sin—4-cos2兀，贝!
J/（27）（^）=.
设/©
））=-2，则In討比一勿一/仇+力二力t（）h
设门对=Fe-dt，则Ihn住竺上△匕么
Joa—>
0a
设/（x）=max（x,x2）,在区间（0,2）内f（x）=_
fsinxc—.
I=cos“x+C，贝[If（x）=•
J0
己知g（x）处处连续,JI/（x）=y£
（X-t）2g（t）dt，贝|Jf\x）=
xx<
0
已知/（x）=<
a+bcosx在兀=0处可导,，贝lj°
=,h=
x>
x1sin-+sinx
设/（x）在兀=0处连续且当XHO时，f（x）=,则/（0）=
cosxln（l+x）
dsin/,
一clt=.
dxJ（）1+cosr
曲线yx轴、y轴及x=l所围图形绕x轴旋转所得的旋转体体积是
已知lim，•八（>
=AH0,贝,A=
nk-（n-1/
x
设/（x）在兀=0点可导，冃/（0）=0,贝I」lim1
xtO
33.\[f（x）^xf\x）]cbc=
在兀=0点为可去间断点,则Q=
x>
35.函数/（x）可导，且曲线y=f\x）（如图1所示），又知f（a）=1,f（h）=3,/（c）=5,则函数y=f（x）的极值是，拐点是
36.设/⑴=兀（兀+1）（2乳+1）（3兀-1）,则在区间（-1,0）内方程f\x）=0有个实根；
在区间
（-1,1）内方程f\x）=0有个实根.
37.若函数/（兀）满足方程/2（x）=[f（t）dt9则f（x）=.
JO
皿f1x<
1[-2x<
1口ii
38.k/（%）=<
‘gM=\,则g[f（x）]=.
[-1x>
1[2\x>
I
39.由曲线尸Jl_（兀-1）?
与直线y=x所围平面图形绕y轴旋转一周得到的
旋转体的体积V的积分表达式为（不必计算）。
40.设/（兀）是连续函数，且lim/（x）=1,则limf'
\-（sin-）/（r）6?
r=.
XT2XT+bJxf
41.设^f（t-x）dt=e'
xl则/（兀）=
\_
X
.无一1
0v兀v1
x>
l
，当（）时无穷大量.
（B）XT4-00
（D）XT1
二、选择题（每小题2分）
（A）XT一8
（C）xtO
2.下列函数屮，在[-龙,龙]上满足罗尔定理的条件是（）.
（B）
/（X）=sinx
（C）
5.
函数/（兀）在（d,b）内连续，则（）也在（d,b）内连续.
6.
若/（-x）=/（x）（-oo<
X<
+oo），在（-CO,0）内f\x）>
0,且f\x）V0,则在（0,4oo）内有（）.
7.设y=f（x）是方程4y=0的一个解，若/（%）＞0,且f\xQ）=0，则/（%）在x0处（）.
（A）取极大值（B）取极小值
（C）不一定取到极值（D）—定不取到极值
&
函数（）的需求价格弹性型与价格无关.
Ep
9.下列不等式屮,（）成立.
（A）j]In2xdx＞[inxdx
（C）j+x3dx＞x2dx
10.下列广义积分收敛的是（）.
（A）r^dx
（B）
（D）
jln2xJx>
|<
Inxdx
•-2
dx>
（A）Q=a-bp
Q=a-bp-cp2
x\nx
gdxexln2x
11、
1・x2+cos2x-\
12、函数f（x）=<
\r2-1
x-1
（C）不存在（D）oo
兀H1在点x=1处（）
X=1
（A）不连续
（C）可导但导数不连续
（B）连续但不可导
（D）可导且导数连续
（A）0（B）1
lim—
xt8（x+sinx）*"
13>
出方程ey+xy-e=0所确定的隐函数的微分dy=（）。
（A）dx
y+ex
（B）——dx
%+o'
（C）Vdx
x+ey
（D）—『dxx^ey
14、设函数/（x）-阶可导且处处满足方程r（x）+3（/V））2+2^/W=0,若兀。
是该函数的一
个驻点且/（x0）<
0,则/⑴在点兀°
处（）。
（A）取极大值（B）取极小值（C）无极值（D）不确定
15、若歹=——在［—1,1］上满足罗尔屮值定理，则定理屮的§
=（）
1+十
（A）-1（B）0（C）2（D）1
16、当x>
0时，曲线y=xsin丄（）。
（A）仅有水平渐近线（B）仅有铅直渐近线
（C）既有水平还有铅直渐近线（D）既没有水平也没有铅直渐近线
17、设/（兀）是sir?
兀的一个原函数，贝ljdf（x2）=（）。
（A）2xsin2x2dx（B）sinxAdx
（C）
7w
sin（/（x））广（x）
19、设/（x）单调可导，g⑴是/⑴的反函数，则羊型sinM=（）。
dxJ1t
20、下列广义积分收敛的是（）o
（A）0
（B）I
-1
（D）1
23、设/（x）是可导函数，则（）
（A）若/（兀）为奇函数,则广（兀）为偶函数
（B）若/（x）为奇函数，则广（对亦为奇函数
（C）若畑为单调函数,则广（兀）亦为单调函数
（D）若兀兀）为非负函数,则广（兀）亦为非负函数24>
设y=/（-x）可导，贝ljy=（）。
（A）f\x）
（B）一/©
）
（C）f\-x）
（D）-f（-x）
25、r（xo）=O且厂（兀。
）>
0是y=/（%）在点%0处有极值的（）条件。
（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）无关
26、若点（1,3）是曲线y：
（A）-3/2,-9/2
（C）3/2,-9/2
27、已知F（x）是f（x）
二处'
+/z?
上的拐点，则a,b分别为（）。
（B）-3/2,9/2
（D）3/2,9/2
的原函数，贝〔J「/（f+d）d/=（）o
Ja
（A）F（x）-F（a）
（B）F（t+a）-F（2a）
（C）F（x+a）-F（2a）
（D）F（r）-F（a）
28>
设|f\x）dx=x2e2x+c,
则f（x）=（）o
（A）2兀戶
（B）2兀沪
（C）心（2+兀）
（D）2壮"
（1+兀）
29>
设/（x）连续且不等于零，若[xf（x）dx=arcsinx+c,贝ljf必=（）。
J•J/（兀）
（A）-（l-x2）3/2+C（B）-（l-x2）3/2+C
33
（C）--（l-x2）3/2+C（D）--（l-x2）3/2+C
30、当（）吋，广义积分f°
e^dx收敛。
J—oo
（A）k>
0（B）k>
0（C）k<
0（D）^<
31.设f（x）=£
*nAsint~dt,g（x）=x34-x4,W当xtO吋/（x）是<
?
（兀）的（）无穷小.
（A）等价（B）同阶非等价（C）高阶（D）低阶
32.如果/⑴处处二次可微，
则lim[lim门。
+2心H-g+ZQ+g]=
«
—>
0力to]讣
（A）（B）f3
（C）（D）
33.设函数/⑴处处可导，且有/z（0）=1，并对任何实数%和h，恒有：
/（%+//）=/（x）+/（/z）+2加，则
/©
）=（）•
（A）2兀+1（B）x+1（C）x（D）夕
34.设/（%）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，口有/⑷=f（b），若/（%）不恒等于常数，则在（讪内
（）•
（A）至少存在一点使得/（§
0（B）至少存在一点使得广（§
（C）任一点§
处，总有/毬）=0（D）任一点§
处，总有/毬）丰0
35.设/（0）=0,=则函数/（x）在兀=0处（）.
•—0X
（A）可导，且广（0）H0（B）取得极大值
（C）取得极小值（D）不可导
36.设/（X）是（-oo,+oo）上奇函数，且对任意实数兀冇：
/（x+2）-/（x）=/
（2）成立，则当/（X）是以2为周期的周期函数吋，必有/
（1）=（）.
（A）-l（B）0（C）l（D）2
37.y=ax3-^-bx2+cx+d在同一x处有一拐点和一水平切线，则a,应满足关系式为（）.
（A）a-c（B）a+/?
+c=0
38.jxv（l+lnx）dx=（）.
（A）—xv+,+lnx+C
x+l
（C）xlnx+C（D）—xxlnx+C
39.lim（丄+^—+•••+」一）=（）.“too〃+]n+2n^n
（A）In2（B）e（C）0（D）1
♦
sinx兀HQ]
40.设f（x）=<
x"
H的定积分J（*f（x）dx（）.
kx=0
（A）不存在（B）存在且与&
有•关
42.设兀t0时,严T与対是同阶无穷小,则"
（）.
（A）l（B）2（C）3（D）4
43.设/（兀）在（Y,z）上有定义，在点x=0处连续，lim/（兀）H0,则兀=0是g（x）=<
"
丿心°
0x=0的（）.
（A）第一类间断点（B）第二类间断点
（C）连续点（D）间断点但类型不能确定
44•设/（兀）在x=0的某个领域内可导，且/'
（0）=0及lim/（X）=-t贝ij（）.
XTO1-cosx2
（A）/'
（0）必是/©
）的一个极小值
（B）厂（0）必是广（x）的一个极大值
（C）/（0）必是f（x）的一个极小值
（D）/（O）必是/（兀）的一个极大值
45.若已矢nm>
N=+贝l」（）.
（A）T>
1
2N—\
（B）T<
（C）T>
2AF
（D）T<
2^V
46.设常数k>
0,则f（x）=]nx--+k在（0,+oo）内零点的个数是（）.e
（A）0（B）l（C）2（D）3
47.设/（x）=lnx+f/⑴d/,则f（x）=（）.
（A）lnx+（e-l）（B）lnx+C（C为任意常数）
（D）lnx
（C）lnx+
2-e
（A）sin1-3（B）-sinl-3
50.下列广义积分发散的是（）.
（A）
gdx
2xlnx
（C）sin1+3
（B）f°
e^xdx
J—oo
（D）^x\x\xdx
（D）sinl+15
（C）f（x）=O（g（x））
（B）f（x）=O（g（x））但/（x）不等价于g（x）
三、计算题（每小题10分）
（♦丄◎COSX-A/COSX
1.计算lim•
gosirrx
—（1—cosx）
3.设1
，讨论/（x）在兀=0点的连续性和可导性.
4.
求不定积分
xex
5.
计算定积分Jcosx（x+cosx）dx.
6.
设/w=r「dt，求f（x）
7.
若lim
兀一asin兀
►sinx
8.
设冇函数/（%）=
11
x~ex-\
j_
xH0，讨论兀=0点的连续性和可导性.
x=0
9.
ex+y-xy=0,求
10.函数f（x）=<
X3
dy
1
0<
%<
（°
>
0卫工1）,求/z（x）.
11•当d为何值时,
1jr
可导函数/（X）=6zsinx+-sin3x在x=—处取得极值?
33
是极大值还是极小值？
试求出该极值。
■
12.设/（兀）的一个原函数是"
门"
，求
1+xsin兀」
―士farcsin兀1+x2r
13.求dx.
JFVi^7
15.设，讨论函数/（兀）在x=0处连续性.可导性
22.
求极限lim.
XTO+X（1-C0S\/x）
（兀）二
1+对
111丄丄
23.y=0+（—）“+（—）"
+/+炉（°
0）,求y'
.ax
24.设Di是由抛物线尸2/和直线“a,*2及），二0所围成平面区域；
D2是由抛物线尸
和直线y=0,兀=口所围成平面区域，其中0<
qv2。
试求：
（1）D）绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积V|；
（2）D2绕y轴旋转一周所围成的旋转体的体积V2;
（3）问：
当。
为何值吋Vi+V2取最大值？
试求此最大值。
25.设/（兀）连续，（p（x）=[lf（xt）dt9且=（A为常数）,
JoXTOX
求（p\x）,并讨论0（%）在X=O处的连续性.
28.计算极限lim[sin丄]
求广义积分「疔
29.
“T8nfn
[•Z1.x2+2处、_〃
30.求hm（1+——）
31.已知曲线y=a\/x（a>
0）与曲线y=InVx，在点（x0?
y0）处有公共切线,,
求:
⑴常数a的值及切点（x0,y0）；
（2）M曲线与兀轴围成的平面图形面积；
（3）平面图形绕兀轴旋转而成的旋转体体积；
32.对抛物线y=4-x2,
（1）求它与兀轴所围部分的面积；
⑵求曲线上x坐标为召的P点处的切线方程（石>
0）,并求这条切线与兀轴及直线）=4的交点;
⑶如果⑵中P点处切线与曲线及兀轴和y=4所围图形而积最小，则P点应在何处?
33•设曲线y=a（4-x2\（°
0）,过此曲线与兀轴交点（-2,0）及（2,0）作曲线的两条法线,求曲线与这两条法线所围成的平而图形而积的最小值
34.
西=1,xtl+i=2-—^—,n=\2y…….，求证：
数列｛xn｝的极限存在并求其极限
1+E
36.
叫[1+兀+=a3,求
（1）
性和可导性
40.设f（x）在点x=0的邻域内三阶可导，且
/（0）；
广（0）；
厂（0）;
；
（2）lim[l+如卡
XT0X
41.已知函数/（x）连续且f（x）=^+[2f（x）dx,求[2f（x）dx
l+xJ°
Jo
四、证明题（每小题5分）
1.设/⑴在[0,1]±
连续，在（0,1）内可导，且/（0）=/⑴=0,ifiM=max｛|/（x）|xe[O,l]）.iiE明:
至少
存在一点兵（0,1）使|/毬）|>
2M.
2.设/（Q在[0,1]±
连续，目丄/（兀）心二0，证明至少存在一点兵[0,1],使/（I-§
）=-/©
3.设F（x）=^（x-2t）e~,2dt，证明：
（1）F（x）是偶函数；
（2）F（x）在（0,2）上是增函数.
4.
5.用极限定义证明:
lim伴丄
“too2h+3/1
函数/（兀）在[0,1]上有定义，且单调不增，证明对任何aw（0,l）有「f（x）dx>
aCf（x）dx.
设x”=（i+古）sin呼，证明：
数列&
”｝没冇极限
［•X—\c
7.用极限定义证明：
1-^=0
8.
-/⑷
设x>
o且Ovovi,证明不等式：
xa—ax<
\—a
9.设f（x）在区间［°
上］连续，（a.b）内可导，求证：
（a.b）使得广©
=
10•设函数/（%）在［°
上］连续，（G0）内可导（a,b>
0）,求证：
方程
bf（b）-f（a）=xln（—）/•（%）在（a,b）内至少有一个根
a
11•设/（x）在［1,2］上二阶可导，且/
（2）=0,乂F（x）=（x—1）2/0）,求证：
m兵（1,2）使得严©
=0
f（x}—X
12.设/（x）三阶可导，/（0）=0,广（0）=1,广'
（0）=2,求证：
lim—=1
XT（）JT
13.设/（X）在（a,b）可导，且f（x）在（a,b）内有界，证明：
f（x）在（a,b）内有界
14.若/H（x）>
0,求证：
/（t7+/?
）+f（a-h）>
2f（a）,（力>
0）
15•设/（X）在［a,b］连续且/⑷=f（b）,广⑴在@0）内存在且几⑷>
0,f'
（x）在（a,b）
内存在，求证：
See（a9b）使得/H（c）<
16•若当XG［0,1］时Ir\x）\<
M,Hf（x）在（0,1）内取得最大值，求证:
|.f（O）|+|/f（l）|<
Af
17.设f（x）在［0,1］连续，在（0,1）可导，且/（0）=0,,求证：
［\lQfMdx］2>
^f3（x）dx
18.设/（x）在［0,1］可导，且f（l）=2^xf（x）dx,求证：
丐e（0,l）使得f©
=一爷
19.设f（x）在［⑦切连续，且/（x）>
0,求证：
B^e［a,b］使得^f（x）dx=-^f{x）dx
rba十bfb
20.设/（兀）在［d,b］连续月.单调上升，求证：
xf（x）dx>
^—\.f（x）dx
Ju2J0
21.设f（x）在［0,1］二阶可导，且/（0）=/（I）,广
（1）=1,求证：
疑（0,1）使得厂©
=2
19.求jmax（l,x2）dx.
20.设函数/（x）=x+Qcosx（a>
l）在区间（0,27V）内冇极小值，且极小值为0,求函数/（兀）在该区间内的极大值.
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