专题由递推关系求数列的通项公式含答案.docx
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专题由递推关系求数列的通项公式含答案
.
专题由递推关系求数列的通项公式
一、目标要求
通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：
二、知识梳理
求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。
三、典例精析
1、公式法：
利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。
常用的公式有an
S1
Sn
Sn1
等差数列和等比数列的通项公式。
例1
已知数列{an}中a12，sn
n2+2，求数列{an
}的通项公式
n1
及
n2
评注在运用ansn
sn1时要注意条件n
2，对n=1要验证。
2、累加法：
利用恒等式ana1
a2a1
+......+
an
an1求通项公式的方法叫累加法。
它是求型如
an1
an+fn
的递推数列的方法（其中数列
f
n
的前n项和可求）。
例2已知数列{
an}中a1
1
an+
1
，求数列{an}的通项公式
，an1
2
+3n
2
n
2
评注
此类问题关键累加可消中间项，而
f（n）可求和则易得an
3、.累乘法：
利用恒等式ana1a2
a3
an
an0求通项公式的方法叫累乘法。
它是求型如
a1
a2
an
1
an1
gnan的递推数列的方法
数列
gn
可求前n项积
.
.
例3已知数列{an}中sn1nan，求数列{an}的通项公式
评注
此类问题关键是化
an
gn，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。
an
1
4、转化法：
通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。
常用的转化途径有：
⑴凑配、消项变换
——如将一阶线性递推公式
an1
qan
d（q,d
为常数，q0,q
1）通过凑配变成
an1
d
an
d
an2
an1
qan
an
=q
q1
，或消常数项转化为
1
q
1
例4、已知数列{
an
}中，a1
1，a
2a
1n
2，求数列{
an
}的通项公式
n
n1
点评：
此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列
（）倒数变换——如将一阶分式递推公式
a
can
（c,d为非零常数）取倒数得
1
d
1
1
n1
2
d
an1
c
an
c
an
例5
已知数列{an}中，a1
1，an1
an
，求数列{an
}的通项公式
2an1
点评：
此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。
⑶对数变换——如将一阶分式递推公式an1canpan0,c0,p0,p1取对数
.
.
可得
lgan1
plgan
lgc
例6
已知数列{an
}中，a1
10，an
0
，且an1
10an2
，求数列{an
}的通项公式
点评：
此类问题关键是取对数使其转化为关于
an的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项变换
⑷换元变换——如将一阶分式递推公式
an1
qan
dn（q,d为非零常数，q≠1，d≠1）
an1
q
an
1
an
变换成
d
dn
d，令bn
dn
，则转化为一阶线性递推公式
dn1
例7在数列{an
}中，a11，an1
3an+2n
n
N*
，求数列{an}的通项公式
评注：
此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式
5、待定系数法
递推公式为
an2
pan1
qan（其中p，q均为常数）。
解法：
先把原递推公式转化为
an2
san1
t（an1san）
st
p
其中s，t满足
，再应用前面转化法（4）类型的方法求解。
st
q
例8.已知数列an
中，a11,a22,an2
2
1
，求an。
an1
an
3
3
.
.
7、叠代法
例9已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an
（1）n,n1．求数列an的通项公式。
8、归纳法：
由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法。
例10数列{an}满足sn2nannN*,求数列{an}的通项公式
四、实战演练
a52＝a10,2（an＋an＋2）＝5an＋1，则数列{an}的通项公
1、[2012辽·宁卷]已知等比数列{an}为递增数列，且
式为an＝________.
2、
在数列{an}中，a13
1
，求通项公式an.
an1an
n（n
1）
3、设数列{an}是首项为
2
2
1的正项数列，且（n1）an1nan
an1an0（n=1,2,3⋯），则它的通
项公式是an=▁▁▁
.
.
4、已知数列{an}，其中a11,a22，且当n≥3时，an2an1an21，求通项公式an。
5、设正数列a0，a1，an⋯，an，⋯满足anan2an1an2=2an1（n2）且a0a11，
求{an}的通项公式.
五、能力提升
（逆推法）已知数列
an的前n项和Sn与an满足：
an,Sn,Sn
1（n
2）成等比数列，且a1
1，求数列
2
an的前n项和Sn
点评：
本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列an的前n项和Sn的递
推公式，是一种最佳解法
.
.
由递推关系求数列的通项公式答案
例1解：
当n
2由an
sn
2
sn1=n2+2-n1+2=2n1
当n
1时a1
s1
3不满足
故an
3,n
1
2n
1,n
2
例2解：
由a
a+
1
可知a
a
n2
1
1
1
3n2n
1
n
2
n1
nn2+3n2
n
1
n
an
a1
a2
a1+......
+na
na1=
1
+
1
1
1
1
......
1
n
1
=
n
n
2
2
2
3
3
4
n
1
n
1
当n
1时也成立。
故有an=
n
1
n
例3
解：
当n=1时由a1
s1
1
a1
可得a1
1
2
由an1
sn1
sn=1n1an1
1nan可得
an1
n
an
n
2
ana1
a2a3
an=1123
n2n1=
1
a1a2
an1
2345
nn1
nn1
当n=1时也成立。
故有an=
1
1
nn
例4解法一
凑配变换：
由an
2an1
1可得a
12a
1，又a
1
2，故数列
a
1是首项
n
n1
1
n
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