专题04 平行四边形 三角形的中位线解析版.docx

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专题04平行四边形三角形的中位线解析版

专题04平行四边形三角形的中位线

一、单选题

1．（2019·江苏南京市·八年级期中）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A．AB∥CD，AB＝CDB．AB＝CD，AD＝BC

C．AB∥CD，∠B＝∠DD．AB∥CD，AD＝BC

【答案】D

【解析】

根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．解：

A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；

B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；

C、∵AB∥CD，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；

D、∵AB∥CD，AD＝BC，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；

故选：

D．

【点睛】

此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．

2．（2020·无锡市凤翔实验学校八年级期中）如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=120°，∠BCE的度数为（　　）

A．20°B．30°C．40°D．60°

【答案】B

【解析】

根据题意可得因为平行四边形对边平行，所以由两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠B=180°，由已知易证∠BEC=90°，所以在Rt△BEC中，由三角形的内角和定理知∠BCE=30°．解：

∵平行四边形ABCD，∠A=120°

∴∠B=180°-120°=60°

又∵CE⊥AB

∴∠BCE=90°-∠B=30°

故选：

B．

【点睛】

本题考查平行四边形性质的应用，熟练掌握平行四边形性质是解题的关键．

3．（2020·深圳市高级中学八年级期末）如图，的周长为36cm，对角线相交于点cm．若点是的中点，则的周长为（）

A．10cmB．15cmC．20cmD．30cm

【答案】B

【解析】

根据▱ABCD的周长为36可得AB＋BC＝18，根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得OA＝OC＝AC，又因为E点是AB的中点，可得OE是△ABC的中位线，可得OE＝BC，进而可求△DOE的周长．解：

∵▱ABCD的周长为36，

∴2（AB＋BC）＝36，

∴AB＋BC＝18．

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，

∴OA＝OC＝AC＝6．

又∵点E是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，AE＝AB，

∴OE＝BC，

∴△AOE的周长＝OA＋OE＋AE＝AC＋（AB＋BC）＝6＋9＝15，

即△AOE的周长为15．

故选：

B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理．熟练运用三角形中位线定理是解决本题的关键．

4．（2020·江苏盐城市·八年级期中）如图，▱ABCD的周长为22m，对角线AC、BD交于点O，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为（　　）

A．8cmB．9cmC．10cmD．11cm

【答案】D

【解析】

由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，可得AD+CD＝11cm，由线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，即可求△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm．解：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，

又∵EO⊥AC，

∴AE＝CE，

∵▱ABCD的周长为22cm，

∴2（AD+CD）＝22cm

∴AD+CD＝11cm

∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm

故选D．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．

5．（2020·无锡市南长实验中学九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA=∠B，AC=3，AB=4，则四边形AEDF的周长为（）

A．8B．9C．10D．11

【答案】A

【解析】

根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，从而求得其周长．解：

在Rt△ABC中，∵AC=3，AB=4，

∴BC=5，

∵E是BC的中点，

∴AE=BE=2.5，

∴∠BAE=∠B，

∵∠FDA=∠B，

∴∠FDA=∠BAE，

∴DF∥AE，

∵D、E分别是AB、BC的中点，

∴DE∥AC，DE=AC=1.5，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴四边形AEDF的周长=2×（1.5+2.5）=8．

故选：

A．

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．

6．（2018·无锡市前洲中学八年级月考）如图，设是边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则（）

A．B．C．D．不能确定

【答案】A

【解析】

如图（见解析），过点M作，交CD于点N，先根据平行四边形的判定可得四边形和四边形都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得．如图，过点M作，交CD于点N，

四边形ABCD是平行四边形，

，

，

四边形和四边形都是平行四边形，

，

，

故选：

A．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．

7．（2020·扬中市外国语中学八年级期中）如图，已知□AOBC的顶点O（0，0），，点B（12，0），按以下步骤作图：

①以点O为圆心、适当长度为半径作弧，分别交OA、OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧∠AOB在内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则CG的长为（）

A．6B．7C．8D．9

【答案】B

【解析】

如图，先利用勾股定理计算出OA=5，再利用基本作图和平行线的性质得到∠AOG=∠AGO，则AG=AO=5，从而得到G点坐标，即可得出CG的长．如图，

∵▱AOBC的顶点A的坐标为（-3，4），

∴AC∥OB，OA==5，AM=3，OM=4，

由作法得OG平分∠AOB，

∴∠AOG=∠BOG，

而AC∥OB，

∴∠AGO=∠BOG，

∴∠AOG=∠AGO，

∴AG=AO=5，

∴MG=5-3=2，

∴G点坐标为（2，4）．

∵点B（12，0），A点坐标为（-3，4）．

∴C的坐标为（9,4）

∴CG的长为9-2=7，

故选：

B．

【点睛】

此题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，解题关键在于熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

8．（2019·江苏宿迁市·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH是（　　）

A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形

【答案】B

【解析】

由题意得EF∥AD，HG∥AD，推出EF∥HG，同理得出HE∥GF，即可得出四边形EFGH是平行四边形，由中位线的性质得出GH=AD，GF=BC，证得GH=GF，即可得出结果．解：

∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，

∴EF∥AD，HG∥AD，

∴EF∥HG，

同理：

HE∥GF，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，

∴GH＝AD，GF＝BC，

∵AD＝BC，

∴GH＝GF，

∴平行四边形EFGH是菱形；

故选B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解决问题的关键．

9．（2019·河北九年级其他模拟）如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）

A．2B．3C．4D．6

【答案】B

【解析】

想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题.连接AF、EC．∵BC＝4CF，S△ABC＝12，

∴S△ACF＝×12＝3，

∵四边形CDEF是平行四边形，

∴DE∥CF，EF∥AC，

∴S△DEB＝S△DEC，

∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，

∵EF∥AC，

∴S△AEC＝S△ACF＝3，

∴S阴＝3．

故选B．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

10．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）

①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=4∠AEF

A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④

【答案】B

【解析】

分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．解：

①∵F是AD的中点，∴AF=FD．

∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．

∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故①正确；

延长EF，交CD延长线于M．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．

∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M．

∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．

∵FM=EF，∴EF=CF，故②正确；

③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．

∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC

故③正确；

④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．

∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．

故答案为B．

点睛：

本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题的关键．

11．（2018·江苏苏州市·八年级期末）已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（a，2a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD的长的最小值为（　　）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

【解析】

根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝，对比两种情况即可求得CD最小值.解：

如图，由题意点C在直线y＝2x上，

如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，

易知直线AB为y＝x﹣4，

∵AF＝FB，

∴点F坐标为（2，﹣2），

∵CF⊥直线y＝2x，

设直线CF为y＝﹣x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1

∴直线CF为y＝﹣x﹣1，

由解得，

∴点C坐标（，）．

∴CD＝2CF＝2×＝．

如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝＞，

∴CD的最小值为．

故选：