初中数学 第13章 全等三角形 检测卷Word下载.docx

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8．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于

AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：

①BD垂直平分AC；

②AC平分∠BAD；

③AC=BD；

④四边形ABCD是中心对称图形．

其中正确的有（　　）

A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④

9．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（　　）

A．PQ为∠APB的平分线B．PA=PB

C．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ=∠BPQ

10．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　）

作法：

①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；

②分别以D，E为圆心，大于

DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；

③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．

A．ASAB．SASC．SSSD．AAS

二、填空题（共4小题）

11．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如下：

老师说：

“小芸的作法正确．”

请回答：

小芸的作图依据是　　．

12．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于

BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°

，则∠ACB的度数为　　．

13．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°

，分别以点A、C为圆心，大于

AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是　　°

．

14．如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE=　　．

三、解答题（共16小题）

15．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．

（1）求证：

△ADC≌△CEB；

（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．

16．根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：

　　，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）

17．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：

以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；

再分别以点G，H为圆心，大于

GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．

AB=AE；

（2）若∠A=100°

，求∠EBC的度数．

18．如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．

（1）作图：

①过B作AC的平行线BH；

②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G．

（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．

19．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；

②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得DE的长就是河宽AB．

请你证明他们做法的正确性．

20．如图，在△ABC中，∠C=60°

，∠A=40°

（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；

（2）求证：

BD平分∠CBA．

21．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．

（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

DE=BF．

22．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）

（2）连接AP，当∠B为　　度时，AP平分∠CAB．

24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

AF=DC；

（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

25．

（1）如图

（1），已知：

在△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．

证明：

DE=BD+CE．

（2）如图

（2），将

（1）中的条件改为：

在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？

如成立，请你给出证明；

若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：

如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

26．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：

如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°

，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：

△BPO≌△PDE．

（1）理清思路，完成解答

（2）本题证明的思路可用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．

（2）特殊位置，证明结论

若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：

AP=CD．

（3）知识迁移，探索新知

若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）

27．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°

，∠B=∠E=30°

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是　　；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　　．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°

，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

28．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　　，QE与QF的数量关系式　　；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时

（2）中的结论是否成立？

请画出图形并给予证明．

29．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°

，AD与BE交于点F，连接CF．

BF=2AE；

（2）若CD=

，求AD的长．

30．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°

，连接CF．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：

①BD=CF；

②AC=CF+CD；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？

若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

第13章全等三角形

参考答案与试题解析

【考点】作图—基本作图；

平行线的判定．

【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．

【解答】解：

∵∠DPF=∠BAF，

∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．

故选：

【点评】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．

【考点】全等三角形的应用．

【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．

在△ADC和△ABC中，

，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC=∠BAC，

即∠QAE=∠PAE．

D．

【点评】本题考查了全等三角形的应用；

这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．

【考点】作图—基本作图．

【分析】A、根据作法无法判定PQ⊥l；

B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；

C、根据直径所对的圆周角等于90°

作出判断；

D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．

根据分析可知，

选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；

选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．

【点评】此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．

线段垂直平分线的性质；

直角三角形斜边上的中线．

【分析】由题意可知：

MN为AB的垂直平分线，可以得出AD=BD；

CD为直角三角形ABC斜边上的中线，得出CD=BD；

利用三角形的内角和得出∠A=∠BED；

因为∠A≠60°

，得不出AC=AD，无法得出EC=ED，则∠ECD=∠EDC不成立；

由此选择答案即可．

∵MN为AB的垂直平分线，

∴AD=BD，∠BDE=90°

；

∵∠ACB=90°

∴CD=BD；

∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°

∴∠A=∠BED；

∵∠A≠60°

，AC≠AD，

∴EC≠ED，

∴∠ECD≠∠EDC．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

坐标与图形性质．

【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得6a+2b﹣1=0，然后再整理可得答案．

根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上；

点P到x轴、y轴的距离相等；

点P的横纵坐标互为相反数，

则P点横纵坐标的和为0，

故6a+2b﹣1=0（或﹣6a=2b﹣1），

整理得：

6a+2b=1，

故选B．

【点评】此题主要考查了基本作图﹣角平分线的做法以及坐标与图形的性质：

点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：

①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；

②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．

【分析】根据两直线平行的判定方法得出其作图依据即可．

如图所示：

“过点C作CN∥OA”，其作图依据是：

作出∠NCO=∠O，则CN∥AO，

故作图依据是：

内错角相等，两直线平行．

B．

【点评】此题主要考查了基本作图以及平行线判定，正确掌握作图基本原理是解题关键．

线段垂直平分线的性质．

【专题】几何图形问题．

【分析】根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．

根据作图过程可知：

PB=CP，

∵D为BC的中点，

∴PD垂直平分BC，

∴①ED⊥BC正确；

∵∠ABC=90°

∴PD∥AB，

∴E为AC的中点，

∴EC=EA，

∵EB=EC，

∴②∠A=∠EBA正确；

③EB平分∠AED错误；

AB正确，

故正确的有①②④，

【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．

中心对称图形．

【分析】根据线段垂直平分线的作法及中心对称图形的性质进行逐一分析即可．

①∵分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于

AC的长为半径画弧，

∴AB=BC，

∴BD垂直平分AC，故此小题正确；

②在△ABC与△ADC中，

∵

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴AC平分∠BAD，故此小题正确；

③只有当∠BAD=90°

时，AC=BD，故本小题错误；

④∵AB=BC=CD=AD，

∴四边形ABCD是菱形，

∴四边形ABCD是中心对称图形，故此小题正确．

故选C．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．

【分析】根据角平分线的作法进行解答即可．

∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，

∴A，B，D正确；

∵PQ是∠APB的平分线，PA=PB，

∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法及性质是解答此题的关键．

全等三角形的判定．

【分析】根据作图的过程知道：

OE=OD，OC=OC，CE=CD，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC．

如图，连接EC、DC．

根据作图的过程知，

在△EOC与△DOC中，

△EOC≌△DOC（SSS）．

C．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：

三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．

二、填空题

小芸的作图依据是　到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．　．

【专题】作图题；

压轴题．

【分析】通过作图得到CA=CB，DA=DB，则可根据线段垂直平分线定理的逆定理判断CD为线段AB的垂直平分线．

∵CA=CB，DA=DB，

∴CD垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．）

故答案为：

到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．．

【点评】本题考查了基本作图：

基本作图有：

作一条线段等于已知线段；

作一个角等于已知角；

作已知线段的垂直平分线；

作已知角的角平分线；

过一点作已知直线的垂线．

，则∠ACB的度数为　105°

　．

【分析】首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．

由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，

∴CD=BD，

∵∠B=25°

∴∠DCB=∠B=25°

∴∠ADC=50°

∵CD=AC，

∴∠A=∠ADC=50°

∴∠ACD=80°

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°

+25°

=105°

105°

【点评】本题考查了基本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解垂直平分线的做法．

AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是　50　°

等腰三角形的性质．

【分析】由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论．

∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，

∴CE=AE，

∴∠C=∠CAE，

∵AC=BC，∠B=70°

∴∠C=40°

∴∠AED=50°

50．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．

14．如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE=　2　．

【考点】全等三角形的判定与性质；

等边三角形的性质．

【专题】计算题；

【分析】连结FD，根据等边三角形的性质，由△ABC为等边三角形得到AC=AB=6，∠A=60°

，再根据点D、E、F分别是等边△ABC三边的中点，则AD=BD=AF=3，DP=2，EF为△ABC的中位线，于是可判断△ADF为等边三角形，得到∠FDA=60°

，利用三角形中位线的性质得EF∥AB，EF=

AB=3，根据平行线性质得∠1+∠3=60°

又由于△PQF为等边三角形，则∠2+∠3=60°

，FP=FQ，所以∠1=∠2，然