中考数学一轮复习二次函数图像与性质学案Word文档格式.docx

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【答案】D．

【分析】根据二次函数的性质即可做出判断.

【解析】抛物线的对称轴为直线，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴，解得：

．故选D．

【点评】本题考查了二次函数的性质，能正确地判断出确定出对称轴是解题的关键．

（2016鄂州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：

①abc＞0；

②9a+3b+c＜0；

③c＞﹣1；

④关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一个根为﹣

其中正确的结论个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；

由图象可知当x=3时，y＜0，可判断②；

由OA=OC，且OA＜1，可判断③；

把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；

从而可得出答案．

由图象开口向下，可知a＜0，

与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，

又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，

∴abc＞0，故①正确；

由图象可知当x=3时，y＞0，

∴9a+3b+c＞，故②错误；

由图象可知OA＜1，

∵OA=OC，

∴OC＜1，即﹣c＜1，

∴c＞﹣1，故③正确；

假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，

整理可得ac﹣b+1=0，

两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，

即方程有一个根为x=﹣c，

由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，

∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；

综上可知正确的结论有三个，

故选C．

【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键．

知识点三二次函数的对称轴【例题】

（2015湖南怀化）二次函数y=+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．

（－1，－1）；

直线x=－1.

【分析】将二次函数配成顶点式，然后得出顶点坐标和对称轴．

【解析】y=+2x=－1，从而得出抛物线的顶点坐标（－1，－1）；

对称轴直线x=－1．

【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．

（2016四川南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（　　）

A．直线x=1B．直线x=﹣1C．直线x=﹣2D．直线x=2

【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程．

∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，

∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1．

故选B．

【点评】本题考查了二次函数的性质：

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它的顶点坐标是（﹣，），对称轴为直线x=﹣．

知识点四、二次函数的最大（小）值

（2016长沙）已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：

①该抛物线的对称轴在y轴左侧；

②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；

③a﹣b+c≥0；

④的最小值为3．

其中，正确结论的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；

由x=﹣1及x=﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确．

∵b＞a＞0

∴﹣＜0，

所以①正确；

∵抛物线与x轴最多有一个交点，

∴b2﹣4ac≤0，

∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0中，△=b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a＜0，

所以②正确；

∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，

∴x取任何值时，y≥0

∴当x=﹣1时，a﹣b+c≥0；

所以③正确；

当x=﹣2时，4a﹣2b+c≥0

a+b+c≥3b﹣3a

a+b+c≥3（b﹣a）

≥3

所以④正确．

故选：

D．

【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；

a、b的符号决定对称轴的位置；

抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号．

（2016天津）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）

A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3

【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：

①若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5；

②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．

∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，

∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，

可得：

（1﹣h）2+1=5，

h=﹣1或h=3（舍）；

②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，

（3﹣h）2+1=5，

h=5或h=1（舍）．

综上，h的值为﹣1或5，

B．

【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．

知识点五、二次函数图象与系数的关系

（2016资阳）已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（　　）

A．m=nB．m=nC．m=n2D．m=n2

【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；

最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．

∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，

∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．

又∵点A（x1，m），B（x1+n，m），

∴点A、B关于直线x=﹣对称，

∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），

将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c，

∵b2=4c，

∴m=n2，

故选D．

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：

①4ac﹣b2＜0；

②4a+c＜2b；

③3b+2c＜0；

④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（　　）

　A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】B

【解析】

试题分析：

∵抛物线和x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；

∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，

∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，

∴把（﹣2，0）代入抛物线得：

y=4a﹣2b+c＞0，

∴4a+c＞2b，∴②错误；

∵把（1，0）代入抛物线得：

y=a+b+c＜0，

∴2a+2b+2c＜0，

∵b=2a，

∴3b，2c＜0，∴③正确；

∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，

∴y=a﹣b+c的值最大，

即把（m，0）（m≠0）代入得：

y=am2+bm+c＜a﹣b+c，

∴am2+bm+b＜a，

即m（am+b）+b＜a，∴④正确；

即正确的有3个，

知识点六、二次函数图象的平移

（2015黑龙江牡丹江）抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（）．

A．y=3x2+2x﹣5B．y=3x2+2x﹣4

C．y=3x2+2x+3D．y=3x2+2x+4

【答案】C．

【分析】利用平移规律“上加下减”即可得出平移后的抛物线解析式．

【解析】利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x2+2x﹣1+4=3x2+2x+3，故选C．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：

一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；

二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

（2016山东省滨州市3分）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°

得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（　　）

A．y=﹣（x﹣）2﹣B．y=﹣（x+）2﹣C．y=﹣（x﹣）2﹣D．y=﹣（x+）2+

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】先求出绕原点旋转180°

的抛物线解析式，求出向下平移3个单位长度的解析式即可．

∵抛物线的解析式为：

y=x2+5x+6，

∴绕原点选择180°

变为，y=﹣x2+5x﹣6，即y=﹣（x﹣）2+，

∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣（x﹣）2+﹣3=﹣（x﹣）2﹣．

故选A．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．

【典例解析】

【例题1】

（2016舟山）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（　　）

A．B．2C．D．

【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可．

二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：

．

①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，

m=﹣2．

当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，

n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；

②当当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，

当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，

n=，

所以m+n=﹣2+=．

【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．

【例题2】

（2016兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3

【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．

∵y=﹣x2+2x+c，

∴对称轴为x=1，

P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，

∵3＜5，

∴y2＞y3，

根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，

故y1=y2＞y3，

【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．

【例题3】

（2016广西南宁3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（　　）

A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．

设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，

∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，

∴﹣＞0．

设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+，

∵a＞0，

∴＞0，

∴a+b＞0．

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．

【例题4】

（2016四川攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（　　）

A．2a﹣b=0

B．a+b+c＞0

C．3a﹣c=0

D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误；

当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；

当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C错误；

由a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；

即可得出结论．

∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，

∴2a+b=0，

∴选项A错误；

∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，

∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，

∴选项B错误；

∵A点坐标为（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，

∴a+2a+c=0，

∴3a+c=0，

∴选项C错误；

当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，

把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，

∴D点坐标为（1，﹣2），

∴AE=2，BE=2，DE=2，

∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，

∴△ADB为等腰直角三角形，

∴选项D正确．

【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：

当a＞0，抛物线开口向上；

抛物线的对称轴为直线x=﹣；

抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．

【中考热点】

热点1：

（2016常德）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①b＜0；

②c＞0；

③a+c＜b；

④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．

∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，

∴a＜0，c＞0，故②正确；

∵0＜﹣＜1，

∴b＞0，故①错误；

当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，

∴a+c＜b，故③正确；

∵二次函数与x轴有两个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确

正确的有3个，

C．

【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：

当a＞0时，抛物线向上开口；

当a＜0时，抛物线向下开口；

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：

左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

热点2：

（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

【考点】二次函数的图象；

一次函数的图象．

【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．

A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误；

B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；

C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；

D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误．

热点3：

（2016山东省菏泽市3分）如图，一段抛物线：

y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；

将C1绕A1旋转180°

得到C2，交x轴于A2；

将C2绕A2旋转180°

得到C3，交x轴于A3；

…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=　﹣1　．

【考点】二次函数图象与几何变换；

抛物线与x轴的交点．

【专题】规律型．

【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．

∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），

∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），

∴顶点坐标为（1，1），

∴A1坐标为（2，0）

∵C2由C1旋转得到，

∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；

照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；

C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；

C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；

C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；

∴m=﹣1．

﹣1．

【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．