高等数学课后习题答案同济版高等数学课后习题答案Word格式文档下载.docx
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3.利用二重积分定义证明：
（1）∫∫dσ=σ
（其中σ为D的面积）;
（其中k为常数）;
1
2
（2）（∫∫kfx,y）dσ=k∫∫f（x,y）dσ
（3）
∫∫f（x,y）dσ=∫∫f（x,y）dσ+∫∫f（x,y）dσ,其中D=D∪D
，D1、D2为2个无公共
内点的闭区域.
证
（1）由于被积函数f（x,y）≡1，故由二重积分定义得
∑f（ξ,η）Δσ∫∫dσ=limλ
→0
i
=lim∑Δσi=limσ=σ.
（2）∫∫kf（x,y）dσ=lim∑kf（ξi,ηi）Δσi=klim∑f（ξi,ηi）Δσi=k∫∫f（x,y）dσ.
（3）因为函数f（x,y）在闭区域D上可积，故不论把D怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D时，可以使D1和D2的公共边界永远是一条分割线。
这样f（x,y）在
D1∪D2上的积分和就等于D1上的积分和加D2上的积分和，记为
D1∪D2
∑f（ξi,ηi）Δσi=∑f（ξi,ηi）Δσi+∑f（ξi,ηi）Δσi.
令所有Δσi的直径的最大值λ→0，上式两端同时取极限，即得
∫∫f（x,y）dσ=∫∫f（x,y）dσ+∫∫f（x,y）dσ.
4.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：
（1）∫∫（x+y）2dσ与∫∫（x+y）3dσ，其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=1所
围成;
（2）成;
∫∫（x+y）dσ与∫∫（x+y）dσ，其中积分区域D是由圆周（x?
2）
232
+（y?
1）2=2所围
∫∫ln（x+y）dσ
与
∫∫[ln（x+y）]dσ
，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为
（1,0）,（1,1）,（2,0）;
（4）∫∫ln（x+y）dσ与∫∫[ln（x+y）]2dσ，其中D={（x,y）3≤x≤5,0≤y≤1}.
解
（1）在积分区域D上，0≤x+y≤1，故有（x+y）3≤（x+y）2，根据二重积分的性质4，可得∫∫（x+y）3dσ≤∫∫（x+y）2dσ.
故在D上有（x+y）2≤（x+y）3.从
（2）由于积分区域D位于半平面{（x,y）|x+y≥1}内，而∫∫（x+y）2dσ≤∫∫（x+y）3dσ.
（3）由于积分区域D位于条形区域{（x,y）|1≤x+y≤2}内，故知D上的点满足0≤ln（x+y）≤1，从而有[ln（x+y）]2≤ln（x+y）.因此∫∫[ln（x+y）]2dσ≤∫∫ln（x+y）dσ.
（4）由于积分区域D位于半平面{（x,y）|x+y≥e}内，故在D上有ln（x+y）≥1，从而有[ln（x+y）]2≥ln（x+y）.因此∫∫[ln（x+y）]2dσ≥∫∫ln（x+y）dσ.
5.利用二重积分的性质估计下列积分的值：
（1）I=∫∫xy（x+y）dσ其中D={（x,y）0≤x≤1,0≤y≤1};
（2）I=∫∫sin2xsin2ydσ其中D={（x,y）0≤x≤π,0≤y≤π};
（3）I=∫∫（x+y+1）dσ其中D={（x,y）0≤x≤1,0≤y≤2};
（4）I=∫∫（x2+4y2+9）dσ其中D={（x,y）x2+y2≤4}.
解
（1）在积分区域D上，0≤x≤1，0≤y≤1，从而0≤xy（x+y）≤2，又D的面积等
于1，因此0≤∫∫xy（x+y）dσ≤2.
（2）在积分区域D上，0≤sinx≤1，0≤siny≤1，从而0≤sin2xsin2y≤1，又D的面积等于π2，因此0≤∫∫sin2xsin2ydσ≤π2.
（3）在积分区域D上，0≤x+y+1≤4，D的面积等于2，因此2≤∫∫（x+y+1）dσ≤8.
（4）在积分区域D上，0≤x2+y2≤4，从而9≤x2+4y2+9≤4（x2+y2）+9≤25,，又D的面积等于4π，因此36π≤∫∫（x2+4y2+9）dσ≤100π.
习题8-2
1.计算下列二重积分：
（1）
∫∫（x
DD
+y2）dσ，其中D={（x,y）||x|≤1,|y|≤1};
（2）（3∫∫x+2y）dσ，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域;
（3）
3
+3x2y+y3）dσ，其中D={（x,y）|0≤x≤1,0≤y≤1};
（4）∫∫xcos（x+y）dσ其中D是顶点分别为（0,0），（π,0）和（π,π）的三角形闭区域.
1?
2y3?
28解
（1）∫∫（x+y）dσ=∫dx∫（x+y）dy=∫?
xy+?
dx=∫（2x2+）dx=.
?
1?
13?
133?
D
（2）D可用不等式表示为0≤y≤3?
x,0≤x≤2，于是
∫∫（3x+2y）dσ=∫dx∫
02
22?
x
2?
（3x+2y）dy=∫[3xy+y2]0dx
20
=∫（4+2x?
2x2）dx=.03
323323
∫∫（x+3xy+y）dσ=∫dy∫（x+3xy+y）dxD
11?
x4?
=∫?
+x3y+y3x?
dy=∫（+y+y3）dy=1.
004?
4?
（4）D可用不等式表示为0≤y≤x,0≤x≤π，于是
x
∫∫xcos（x+y）dσ=∫xdx∫cos（x+y）dy=∫x[sin（x+y）]0dxD
π
=∫
x（sin2x?
sinx）dx=?
π.
2.画出积分区域，并计算下列二重积分：
∫∫D
σ，其中D
是由两条抛物线y=，y=x2所围成的闭区域;
（2）
∫∫xy2dσ，其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;
（3）e∫∫x+y
dσ，其中D={（x,y）||x|+|y|≤1};
（4）
+y2?
x）dσ，其中D是由直线y=2，y=x及y=2x所围成的闭区域.
解
（1）D
可用不等式表示为x2≤y≤0≤x≤
1，于是
∫∫σ=1
=2D
∫xd3∫10x?
3y?
y2
dx=2∫17（x4-x4）dx=60
x.
x23055
（2）D
可用不等式表示为0≤x≤?
2≤y≤
2，于是
∫∫xy2
dσ=∫2
y2
dydx=
122∫?
2y2（4?
y2）dy=64
15
.D
2
（3）D=D1∪D2，其中D1={（x,y）|?
x?
1≤y≤x+1,?
1≤x≤0}，
D1={（x,y）|x?
1≤y≤?
x+1,0≤x≤1}，于是
∫∫e
x+y
dσ=D∫∫ex+ydσ+∫∫ex+ydσ
=∫0exdx∫
x+1?
1
eydy+∫1exx+1
0dx∫
x?
eydy
=∫0
（e2x+1?
e?
1）dx+∫1?
（e?
e2x?
1）dx=e?
1.
（4）D可用不等式表示为
y
≤x≤y,0≤y≤2，于是∫∫（x2+y2?
x）dσ=∫2
dy∫y
y（x2+y2
x）dxD
x3y
3
+y2
x2?
2dy=2?
19?
y3?
3y2?
y∫0?
248?
dy=136.23.化二重积分
I=∫∫f（x,y）dσ
为二次积分（分别列出对2个变量先后次序不同的2个二次积分），其中积分区域D是：
（1）由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域;
（2）由x轴及半圆周x2+y2=r2（y≥0）所围成的闭区域;
（3）由直线y=x，x=2及双曲线y=
（x0）所围成的闭区域;
（4）环形闭区域{（x,y）|1≤x2+y2≤4}.
解
（1）直线y=x及抛物线y2=4x的交点为（0,0）和（4,4）
，于是
I=∫4dx4y
f（x,y）dy或I=∫0
dy∫y2f（x,y）dx
4
（2）将D
用不等式表示为0≤y≤?
r≤x≤r，于是可将I
化为
I=∫r
r
dx0
f（x,y）dy;
如将D
用不等式表示为≤x≤0≤y≤r，于是可将I
dy0
f（x,y）dx.
（3）3个交点为（1,1）、（2,1
2x2和（2,2），于是I=∫1dx1f（x,y）dy或
I=∫1222
1dy∫1f（x,y）dx+∫dy∫f（x,y）dx.
1y
（4）将D
划分为4块，得
I=∫?
2dyf（x,y）dx+∫?
1dy∫
f（x,y）dx
+∫1
dyf（x,y）dx+∫1
dyf（x,y）dx.
或
2dxf（x,y）dy+∫1
1dyf（x,y）dy
dy2?
∫
f（x,y）dy+∫1
dyf（x,y）dy.
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