关于数的概念1210文档格式.docx
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国外的数学界大部分都规定0是自然数。
为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。
所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。
即一个物体也没有，用0表示。
【0表示空位】
0表示一个物体也没有，所以它不是一个有效数字，但在记数法中却表示一个空位符号，如8005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。
如果没有0，这类空位数就无法表示。
0又不能单独表示“几位数”，如“00”“000”就不是两位数或三位数。
所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数范围来说的。
所以，最大一位数是9，最小一位数是1；
最大两位数是99，最小两位数是10；
最大三位数是999，最小三位数是100……”综上所述，“0”虽然是最小的自然数，但仍然不能称为“一位数”，更不能称为最小的一位数。
【0表示分界点、起点】
0虽然表示“没有”但在很多情况下，它表示一种存在。
比如，说温度时，0℃就客观存在，而且是一个分界点。
可以表示量度的计算起点，如，0.5元，0下3°
C 。
0还可以表示起点，如。
百米跑道的起跑线，就是从0开始的。
【0也有靠边站的时候】
在数学中，研究倍数、因数和除数时，0就要除外，不然，就没有意义了。
比如，分数的基本性质------分数的分子和分母同时乘以或除以一个不等于0的数，分数的值不变;
比的前项和后项同时乘以或除以一个不等于0的数，比的值不变。
这时，0就是靠边站的。
;
【0的数位作用】
0起数位作用。
它与其他自然数可以组成多位数，如，102030……它放在小数的末位表示该小数的位数，如，15.860，表示该小数保留三位小数。
【0既不是正数，也不是负数】
在数轴上，0的右边的数是正数，左边的数是负数。
所有的负数都在0的左边，所有的正数都在0的右边，也就是负数都比0小，而正数都比0大，负数都比正数小。
【0是整数，但不是正整数也不是负整数，是介于正整数和负整数的数。
【0不是奇数也不是偶数，】
（二）“1”的特性
【1是自然数的计数单位，1不是最小的自然数，最小的自然数是0】
【1最小的奇数1，最小的质数是,2，最小的偶数是0】
【两个数乘积是1的数互为倒数。
0和1没有倒数。
三个数的乘积是1，这三个数不能互为倒数。
】
【1既不是质数，也不是合数。
四、计数单位
在数学计算中，我们常用的是十进制计数法，这个法则中，有一个计算单位，如一（个）、十、百、千、万、十万……，每相邻的两个计数单位之间的进率都是十．像一（个）、十、百、千、万、十万……等，叫做数的计数单位。
382的计数单位是：
百，十，个；
该数共有3个百，8个十，2个一。
1.8的计数单位是：
个，1/10（十分之一）。
该数共有1个一，8个1/10。
4.8的计数数单位是：
一（个），1/10。
该数含有4个一，8个1/10。
主要计数单位：
个,十,百,千,万,十万,百万,千万,亿,十亿,百亿,千亿,万亿,兆,十分之一,百分之一,千分之一,万分之一......“个位”上的计数单位是“一（个），“十位”上的计数单位是“十”，“百位”上的计数单位是“百”，“千位”上的计数单位是“千”，“万位”上的计数单位是“万”等等。
所以在读数时先读数字再读计数单位。
读作九百零六万三千二百，这里的万、千、百就是计数单位。
数位表
万位
千位
百位
十位
个位
小数点
十分位
百分位
千分位
万分位
（数位是无尽的）每相邻两个数位的进率是10。
附：
我国的数字的计数单位
计数单位依次为个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿、兆、十兆、百兆、千兆、京、十京、百京、千京、垓、十垓、百垓、千垓、秭、十秭、百秭、千秭、穰、十穰、百穰、千穰、沟、十沟、百沟、千沟、涧、十涧、百涧、千涧、正、十正、百正、千正、载、十载、百载、千载、极、十极、百极、千极、恒河沙、十恒河沙、百恒河沙、千恒河沙、阿僧祗、十阿僧祗、百阿僧祗、千阿僧祗、那由他、十那由他、百那由他、千那由他、不可思议、十不可思议、百不可思议、千不可思议、无量、十无量、百无量、千无量、大数、十大数、百大数、千大数亦可以写作为:
万：
10的四次方。
亿：
10的八次方。
兆：
10的十二次方。
京：
10的十六次方。
垓：
10的二十次方。
杼：
10的二十四次方。
穰：
10的二十八次方。
沟：
10的三十二次方。
涧：
10的三十六次方。
正：
10的四十次方。
载：
10的四十四次方。
极：
10的四十八次方。
恒河沙：
10的五十二次方。
阿僧祗：
10的五十六次方。
那由他：
10的六十次方。
不可思议：
10的六十四次方。
无量：
10的六十八次方。
大数：
10的七十二次方
五、“数位”指的是什么
数位是指写数时，把数字并列排成横列，一个数字占有一个位置，这些位置，都叫做数位。
简单地说，数位就是一个数所占的位置。
在整数中的数位是从右往左，逐渐变大：
第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，第五位是万位，第六位是十万位，第七位是百万位，第八位是千万位，以此类推．同一个数字，由于所在数位不同，计数单位不同，所表示数值也就不同。
8475，“8”在千位上，它表示8个千，“4”在百位上，它表示4个百，“7”在十位上，它表示7个十，“5”在个位上，它表示5个一。
六、“数字”“数位”、“位数”、“位级”
和“计数单位”的区别
“数字”是表示数目的字符，如，0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
“数位”是指一个数所在的位置，如２４８,８在个位上，４在十位上，２在百位上。
同一个数字，由于所在的数位不同，它所表示的数值也就不同。
例如，在用阿拉伯数字表示数时，同一个‘6’，放在十位上表示6个十，放在百位上表示6个百，放在亿位上表示6个亿等等。
“位数”是指一个自然数中含有数位的个数。
像458这个数有三个数字组成，每个数字占了一个数位，我们就把它叫做三位数。
由9个数字组成，那它就是一个九位数。
“数级”是为便于人们记读阿拉伯数的一种识读方法，在位值制（数位顺序）的基础上，以三位或四位分级的原则，把数读，写出来。
通常在阿拉伯数的书写上，以小数点或者空格作为各个数级的标识，从右向左把数分开，如：
3，000，000读作3百万；
2，715，000，000读作27亿1500万。
这是三位数为一个级的分级方法。
这种分级方法也是国际通行的分级方法。
四位分级法，即以四位数为一个数级的分级方法。
我国读数的习惯，就是按这种方法读的。
。
四位分级法，有：
个级、万级、亿级、兆级、京级、垓级.........
“计数单位”是指个十百千万……，“个位”上的计数单位是“一（个），“十位”上的计数单位是“十”，“百位”上的计数单位是“百”，“千位”上的计数单位是“千”，“万位”上的计数单位是“万”等等。
七、十进制计数法
十进制计数法是相对二进制计数法而言的,是我们日常使用最多的计数方法（俗称“逢十进一”）,它的定义是:
“每相邻的两个计数单位之间的进率都是十”的计数方法,叫做“十进制计数法”。
比如，3+7=109+1=10，5+5=10……这就是十进制。
二进制是：
1+1=10，六进制是：
5+1=10
每一个数都应当有一个名称，以自然数来说，自然数是无限多的，如果每一个自然数都用一个独立的名称来读出它，这是非常不方便的，也是不可能做到的。
为了解决这个问题，人们创造出一种计数制度，就是现在我们使用的十进制计数法。
（除十进制计算法外， 还有二进制，十六进制,五进制等）。
所谓“十进制”就是每相邻的两个计数单位之间的关系是：
一个大单位等于十个小单位，也就是说它们之间的进率是“十”。
计数单位应包含整数部分和小数部分两大块，并按以下顺序排列：
……千亿、百亿、十亿、亿、千万、百万、十万、万、千、百、十、个
（一）、十分之一、百分之一、千分之一、万分之一……整数部分没有最大的计数单位，小数部分没有最小的计数单位。
写数时如果有小数部分要用小数点（.）把整数和小数分开。
十进制计数法的特点是“满10进一”。
也就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位。
即10个一叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，10个千叫做“万”，……
【十进制计数法作用】
十进位位值制记数法包括十进位和位值制两条原则，"
十进"
即满十进一；
"
位值"
则是同一个数位在不同的位置上所表示的数值也就不同，如三位数"
111"
，右边的"
1"
在个位上表示1个一，中间的"
在十位上就表示1个十，
左边的"
在百位上则表示1个百。
这样，就使极为困难的整数表示和演算变得如此简便易行，以至于人们往往忽略它对数学发展所起的关键作用。
古代人数数是离不开手指的，而一般人的手指恰好有十个。
因此十进制的使用似乎应该是极其自然的事。
但实际情况并不尽然。
在文明古国巴比伦使用的是60进位制（这一进位制到现在仍留有痕迹，如一分=60秒等）另外还有采用二十进位制的。
古代埃及倒是很早就用10进位制，但他们却不知道位值制。
所谓位值制就是一个数码表示什么数，要看它所在的位置而定。
位值制是千百年来人类智慧的结晶。
零是位值制记数法的精要所在。
但它的出现却并非易事。
我国是最早使用十进制记数法，且认识到进位制的国家。
我们的口语或文字表达的数字也遵守这一原则，比如一百二十七。
同时我们对
八、整数：
像……-2，-1，0，1，2……这样的数称为整数。
（整数是表示物体个数的数，0表示有0个物体）整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。
整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环。
（整数是一个不定义概念，就是没有定义的概念。
像“点”“直线”“平面”是几何学中三个著名的不定义概念）
整数包括正整数零负整数
我们以0为界限，将整数分为三大类：
1、正整数，即大于0的整数，如，1，2，3……直到n。
2、0，既不是正整数，也不是负整数，是介于正整数和负整数的数。
3、负整数，即小于0的整数，如，-1，-2，-3……直到-n。
在整数系中，0和正整数统称自然数。
九、偶数和奇数
整数中,能被2整除的数是偶数,反之是奇数。
偶数可用2k表示,奇数可用2k+1表示,这里k是整数.
奇数和偶数,有下面的性质:
（1）奇数不会同时是偶数;
两个连续整数中必是一个奇数一个偶数;
（2）奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数的和是偶数;
（3）两个奇（偶）数的差是偶数;
一个偶数与一个奇数的差是奇数;
（4）若a,b为整数,则a+b与a-b有相同的奇数偶;
（5）n个奇数的乘积是奇数,n个偶数的乘积是2n的倍数;
顺式中有一个是偶数,则乘积是偶数.
最小的自然是0，最小的奇数1，最小的质数是,2，最小的偶数是0
十、小数
人们在测量物体和进行计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数来表示。
小数是十进分数的一种特殊表现形式。
分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。
【定义】
把分母是10、100、1000......的分数改写成不带分母形式的数,叫做小数.
要了解小数的意义，可从分数的意义着手，分数的意义可从子分割及合成活动来解释，当一个整体（指基准量）被等分后，在集聚其中一部份的量称为「分量」，而「分数」就是用来表示或纪录这个「分量」。
2/5是指一个整数被分成五等分后，集聚其中二分的「分量」。
当整体被分成十等分、百等分、千等分……等时，此时的分量，就使用另外一种纪录的方法－小数。
例如1/10记成0.1、2/100记成0.02、5/1000记成0.005……等。
其中的「.」称之为小数点，用以分隔整数部分与无法构成整数的小数部分。
整数非0者称为带小数，若为0则称纯小数。
由此可知，小数的意义是分数意义的一环。
【小数的种类】
整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数．例如0.3是纯小数，3.1是带小数。
小数又可分为有限小数和无限小数。
小数部分的位数是有限的，就叫做有限小数，如0.2（1/5）。
小数部分的位数是无限的，叫做无限小数。
无限小数包括无限循环小数（一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
），如0.3（1/3）和无限不循环小数，（如0.……）。
循环小数是无限小数。
【小数的读法】
有两种：
一种是按照分数的读法来读．带小数的整数部分按整数读法读；
小数部分按分数读法读．例如：
0.38读作百分之三十八，14.56读作十四又百分之五十六．另一种读法，整数部分仍按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字．例如：
0.45读作零点四五；
56.032读作五十六点零三二．
【小数的性质】
①在小数的末尾添上零或去掉零，小数的大小不变．例如；
2.4＝2.400，0.060＝0.06．应该注意，不是小数末尾的0，是不能去掉的。
②小数点移动会引起小数大小发生变化．把小数点分别向右移动一位、二位、三位…位，则小数的值分别扩大10倍、100倍、1000倍……例如：
把7.4扩大10倍是74，扩大100倍是740……如果把小数点分别向左移动一位、二位、三位…则小数的值分别缩小到原来的十分之一、百分之一、千分之一…．例如：
把7.4缩小到原来的十分之一是0.74，缩小到原来的百分之一是0.074……
【小数的近似值】
运用小数计算时，常常要求一个小数的近似值。
求小数的近似数时也可以用“四舍五入”法。
求近似值时，保留整数，表示精确到个位；
保留一位小数，表示精确到十分位；
保留两位小数，表示精确到百分位……注意：
在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉。
【小数和分数】
所有分数都可以表示成小数，小数中除无限不循环小数外都可以表示成分数。
无理数为无限不循环小数。
无限不循环小数只能用小数表示不能用分数表示，而所有的有限小数和无限循环小数均能用分数表示
十一、分数：
一个物体，一些物体，都可以看作是一个整体，把这个整体平分成若干份，这样的一份或几份，就得用分数来表示。
一个物体、一个图形、一个计量单位或有许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位1。
把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。
在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子。
表示其中一份的数是这个分数的分数单位。
如，2/3的分数单位是1/3。
8/15的分数单位是1/15。
【分数分三个类型】
真分数、假分数和带分数。
分子比分母小的分数叫真分数，如14/15。
真分数小于1；
分子比分母大或分子和分母相等的的分数叫假分数，如5/4和3/3。
假分数大于1,或者等于1。
分数前还带有整数，如1又1/2，4又5/6，叫带分数。
带分数大于1而又是最简分数.带分数是由一个整数和一个真分数组成的。
【分数的基本性质】
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外）,分数的大小不变。
提示：
①分母和分子中不能有0，否则无意义。
②分数中不能出现无理数（如2的平方根），否则就不是分数。
③人类历史上最早产生的数是自然数（正整数），以后在度量和均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数。
④判断一个分数是否能变成有限小数：
一、先要看它是不是最简分数。
二、如果分母是2或5的倍数（不含其他任何数），就能变成有限小数
【最简分数】
分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数，又称既约分数。
如：
2/3，8/9，3/8等等。
最简分数又叫既约分数,既约分数可理解成已经约分过的分数,也就是分子和分母是互质数的分数.
假分数虽然是大于1和等于1的分数，但如果符合以上定义也是最简分数。
最简分数不区分是真分数还是假分数。
无法约分的分数就是既约分数（最简分数）。
【历史渊源】
在历史上，分数几乎与自然数一样古老。
早在人类文化发明的初期，由于进行测量和均分的需要，引入并使用了分数。
在许多民族的古代文献中都有关于分数的记载和各种不同的分数制度。
早在公元前2100多年，古代巴比伦人（现处伊拉克一带）就使用了分母是60的分数。
公元前1850年左右的埃及算学文献中，也开始使用分数。
我国春秋时代（公元前770年～前476年）的《左传》中，规定了诸侯的都城大小：
最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。
秦始皇时代的历法规定：
一年的天数为三百六十五又四分之一。
这说明：
分数在我国很早就出现了，并且用于社会生产和生活。
十二、百分数
（一）百分数的定义
百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。
百分数通常不写成分数的形式，而采用符号“％”（叫做百分号）来表示。
百分数在工农业生产、科学技术、各种实验中有着十分广泛的应用，特别是在进行调查统计、分析比较时，经常要用到百分数。
百分数是用100做分母的分数。
通常用百分号（%）来表示，如1/100写做1%。
百分号的写法注意的地方：
%的0是左上右下，不能写在一起。
（二）百分数与分数的联系和区别
1．百分数（又叫做百分率或百分比）与分数的意义截然不同。
百分数是“表示一个数是另一个数百分之几的数。
”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。
可以说1米是5米的20%，不可以说“一段绳子长为20%米。
”因此，百分数后面不能带单位名称。
分数是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。
”分数可以表示一个具体的量，后面可以带单位名称。
分数也可以表示两数之间的倍数关系。
比如，说甲数是乙数的1/4，也就是说甲数是乙数的25/100.
2．应用范围不同。
百分数在生产、工作和生活中用处较多，常用于调查、统计、分析与比较。
而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。
3．书写形式不同。
百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“%”来表示。
百分之四十五，写作：
45%；
百分数的分母固定为100，因此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；
百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。
而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：
真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数（现在有些教科书上，假分数也可以不化成带分数的）。
任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义。
4.百分数体现的是一个数占另一个数的百分之几，而分数体现的是一个数占另一个数的几分之几。
5.百分数的分母是100，分数的分子或分母都可以是一切不为0的自然数。
最简说明：
1、百分数的分母只能是100，分数的分母可以是一切不为0的自然数．
2、百分数的意义用分数表示计算结果时，通常要写成最简分数；
用百分数表示计算结果时，能约分的也不能约分．
3、分数与百分数书写的形式不同
4、分数既可以表示两个数的倍数关系，也可以表示一个实际数量；
百分数只能表示两个数的倍数关系，所以百分数不能带有计量单位名称．
（三）百分数、分数和小数的的互化
小数化百分数：
小数乘以100再加上%，或者说：
右移两位小数点，同时添上百分号。
百分数化小数：
去掉%,数值除以100，或者说：
百分数看成分母是100的分数，左移两位小数点，同时去掉百分号。
分数化百分数：
先把分数化成小数，再化百分数。
除不尽的留三位，
百分数化分数:
百分数可以直接化成分母是100的分数。
即将百分数改写成分数，能约分的约分。
小数化分数：
一位小数变十分之几，两位小数变百分之几，……同时去掉小数点。
分数化小数：
用分子除以分母。
（四）百分数的日常应用
每天在电视里的天气预报节目中，都会报出当天晚上和明天白天的天气状况、降水概率等，提示大家提前做好准备，就像今天的夜晚的降水概率是20%，明天白天有五~六级大风，降水概率是10%，早晚应增加衣服。
20%、10%让人一目了然，既清楚又很简练。
随着现在科技的飞速发展，现在每个人几乎都配备手机，款式多种多样。
伦敦大学皇家学院心理学家格伦.威尔森研究证明：
老是低着头看短信，会导致工作效率低下，工作人员的大脑反应能力也会减慢，经常看短信的人智商会下降10%，以百分数的形式再次证明了手机虽为人们提供了方便，但对人体健康却十分有害。
我国是世界上最大的节能灯生产国，但产品80%出口，国内使用量严重偏低。
针对2001年普通高校应届本、专科生，已签约应届大学生中47.1%的人签约月薪在1500元以下。
一项网络调查显示，有85.63%的网民，近几年一直都没读过名著。
此外，8.98%的网民近十年没读过名著，还有6.75%的网民表示从来就没读过名著。
（五）百分数的使用范围
百分数一般有三种情况：
①可以大于100%，如：
增长率、增产率等。
②只能100%以下，如：
出油率、出粉率等。
③最大只能100%，如：
正确率，出勤率、合格率，发芽率等。
（六）应用百分数时
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