等积法求体积点到面的距离教师版.docx

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等积法求体积点到面的距离教师版

等积法求三棱锥的体积【教师版】

由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。

但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。

这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。

其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。

另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。

【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。

例1

例2．（2011xx一中三校联考）

如图，已知三棱锥A—BPCxx，AP⊥PC，AC⊥BC，

M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。

（Ⅰ）求证：

DM∥平面APC；

（Ⅱ）求证：

平面ABC⊥平面APC；

（Ⅲ）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．

例2．解：

（Ⅰ）由已知得，是ABP的中位线

……………2分

……………4分

（Ⅱ）为正三角形，D为PB的中点，

，…………………5分

…………………6分

又……………………7分

又………………9分

平面ABC⊥平面APC………………10分

（Ⅲ）∵，是三棱锥M—DBC的高，且MD＝…11分

又在直角三角形PCBxx，由PB＝10，BC＝4，可得PC＝………12分

于是＝，………………………………………………13分

＝…………………………14分

例3．（茂名2010二模）如图，在底面是菱形的四棱锥S—ABCDxx，SA=AB=2，

（1）证明：

平面SAC；

（2）问：

侧棱SDxx是否存在点E，使得SB//平面ACE？

请证明你的结论；

（3）若，求几何体A—SBD的体积。

例3．解：

（1）四棱锥S—ABCD底面是菱形，

且AD=AB，

又SA=AB=2，

，

又，2分

平面ABCD，平面ABCD，从而SABD3分

又，

平面SAC。

4分

（2）在侧棱SDxx存在点E，使得SB//平面ACE，其中E为SD的中点6分

证明如下：

设，则O为BD的中点，

又E为SD的中点，连接OE，

则为的中位线。

7分

，又平面AEC，SB平面AEC8分

平面ACE10分

（3）当时，12分

几何体A—SBD的体积为

14分

点到面的距离

一、知识点（求点到面的距离主要方法：

）

（1）直接法：

由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作；

（2）转移法：

若直线平面，则直线上任意一点到平面的距离相等；

（3）等体积法：

用同一个三棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的距离。

二、基础热身

1、在棱长为的正方体中找出表示下列距离的垂线段:

直接法：

（1）点到面的距离；

（2）到面的距离；

（3）点到面的距离．

（4）求C到平面的距离。

转移法：

棱长为1的正方体中，分别是棱中点，求点到平面的距离

提示：

因为，所以点到平面的距离即为点到平面的距离。

作，证明。

。

【活学活用】

3、在棱长为1的正方体中,E,F分别为棱和CD的中点,求点F到平面的距离。

提示：

法一直接法：

将三角形扩大到平行四边形，高。

取的中点G，连接、EG，过F作垂线FH⊥。

可以证得EG//，所以平面，即平面。

可以证得EG⊥平面，所以EG⊥FH

由FH⊥、EG⊥FH，EG ∩  = G 可知FH⊥平面

所以FH即F到平面距离。

根据勾股定理可以求得：

，

又知：

△的面积 = S四边形 - S△ - S△ - S△FGC

，。

法二：

转移法：

平面，作。

等积法求点到面的距离：

4.已知在棱长为1的正方体中，E、F分别是、CD的中点，求点B到平面的距离。

等积法

三、知识运用

例1：

如图四棱锥，,面,是线段上一点，.

（1）证明：

（2）求点的距离。

EX1如图，在边长为a的菱形ABCDxx，，E,F是PA和AB的xx点。

（1）求证：

EF//平面PBC;

（2）求E到平面PBC的距离。

提示：

由

（1）知EF//平面PBC，

所以E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离

，即为所求。

例2：

（2010xx卷）如图，在四棱锥P-ABCDxx，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。

求点A到平面PBC的距离。

解析（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，xxDE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。

由

（1）知：

BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

xxDF=，故点A到平面PBC的距离等于。

（方法二）等体积法：

连结AC。

设点A到平面PBC的距离为h。

因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。

从而AB=2，BC=1，得的面积。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。

因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。

又PD=DC=1，所以。

由PC⊥BC，BC=1，得的面积。

由，，得，

故点A到平面PBC的距离等于。

EX2:

（2010xx文数）如图4，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=

（1）证明：

EBFD

（2）求点B到平面FED的距离.

【解析】

（1）证明：

∵点B和点C为线段AD的三等分点，

∴点B为圆的圆心

又∵E是弧AC的中点，AC为直径，∴即

∵平面，平面，∴

又平面，平面且∴平面

又∵平面，∴

（2）解：

设点B到平面的距离（即三棱锥的高）为.

∵平面,∴FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形

由已知可得，又∴

在xx，，故,

∴,

又∵平面，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形,

∴，在xx，,∴,

∵即，故,

即点B到平面的距离为.

备用题：

1、四棱锥P-ABCDxx，底面ABCD为直角梯形，PD底面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB‖CD,ABC=90。

，求点D到平面PAB的距离.

2、四棱锥P-ABCDxx，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AB=，分别求点C与点D到平面PAB的距离.

3、如图几何体是由正方体ABCD-A1B1D1与四棱锥E-A1B1D1组成，E为CC1的xx上一点，且EC1=CC1，AB=2，M为EB1的中点，求点M到平面ACD1的距离.

4、如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，求点A到平面MCD的距离.

5、圆锥如图5所示，图6是它的正（主）视图．已知圆的直径为，是的中点，为的中点．

（1）求该圆锥的侧面积；

（2）证明：

；

（3）求点到平面的距离．

6、如图，ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离。

7:

如图，已知是矩形，，，．求到平面的距离．

8、圆锥如图5所示，图6是它的正（主）视图．已知圆的直径为，是的中点，为的中点．

（1）求该圆锥的侧面积；

（2）证明：

；

（3）求点到平面的距离．