人教版初中数学九年级第二十二章二次函数221二次函数的图象和性质习题10最新整理Word格式文档下载.docx

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最小值1

y＝－x2－42

（0，－4）

最大值－4

6.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝－2x2，y＝－2x2＋3的图象．

（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；

（2）抛物线y＝－2x2＋3与抛物线y＝－2x2有什么关系？

解：

如图所示：

（1）抛物线y＝－2x2开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．抛物线y＝－2x2＋3开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，3）．

（2）抛物线y＝－2x2＋3可由抛物线y＝－2x2向上平移3个单位长度得到．

知识点2二次函数y＝ax2＋k的性质

7．（河池中考）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是（D）A．若y1＝y2，则x1＝x2

B．若x1＝－x2，则y1＝－y2

C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2

D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2

8.下列关于抛物线y＝－x2＋2的说法正确的是（D）

A．抛物线开口向上B．顶点坐标为（－1，2）C．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大D．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大

9.二次函数y＝3x2－3的图象开口向上，顶点坐标为（0，－3），对称轴为y轴，当x>

0时，y

随x的增大而增大；

当x<

0时，y随x的增大而减小．因为a＝3>

0，所以y有最小值，当x＝0

时，y的最小值是－3．

10.能否通过适当地上下平移二次函数y＝x2的图象，使得到的新的函数图象经过点（3，－3），

3

若能，说出平移的方向和距离；

若不能，说明理由．

设平移后的函数解析式为y＝x2＋k，

把（3，－3）代入，得－3＝×

32＋k，

解得k＝－6.

∴把y＝x2的图象向下平移6个单位长度，得到的新的函数图象经过点（3，－3）．3

02中档题

11．（山西农业大学附中月考）在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是（C）

12．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A（－3，y1），B（1，y2），C（2，y3），且y2<

y3<

y1，则a的取值范围是（A）

A．a>

0B．a<

C．a≥0D．a≤0

13．（山西农业大学附中月考）已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等．当x取x1＋x2时，函数值为（D）

A．a＋cB．a－c

C．－cD．c

14．（泸州中考）已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：

该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的

4

距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（个动点，则△PMF周长的最小值是（C）

3，3），P是抛物线y＝x2＋1上一

A．3B．4C．5D．6

15.已知y＝（m＋2）xm2＋m－4－3是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则m＝－

3．

16.将抛物线y＝ax2＋c向下平移3个单位长度，得到抛物线y＝－2x2－1，则a＝－2，c＝2．

17.若抛物线y＝ax2＋k（a≠0）与y＝－2x2＋4关于x轴对称，则a＝2，k＝－4．

18.把y＝－x2的图象向上平移2个单位长度．

2

（1）求新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴；

（2）画出平移后的函数图象；

（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．

（1）新图象的函数解析式为y＝－x2＋2，顶点坐标是（0，2），对称轴是y轴．

（2）略．

（3）当x＝0时，y有最大值，为2.

03综合题

19．（大连中考改编）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋4与y轴相交于点A，

点B在y轴上，且在点A的上方，AB＝OA.

（1）填空：

点B的坐标是（0，2）；

（2）

过点B的直线y＝kx＋b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由．

∵B点坐标为（0，），

∴设直线的解析式为y＝kx＋.

令y＝0，得kx＋＝0，

解得x＝－.

2k

∴OC＝－.

∵PB＝PC，∴点P只能在x轴上方．

过B作BD⊥l于点D，设PB＝PC＝m，则BD＝OC＝－，CD＝OB＝，

2k2

∴PD＝PC－CD＝m－.

在Rt△PBD中，由勾股定理，得

PB2＝PD2＋BD2，即m2＝（m－）2＋（－）2，

22k

解得m＝＋2.

44k

∴PB＝＋2.

111

∴P点坐标为（－，＋

2）．

2k44k

当x＝－时，代入抛物线的解析式可得y＝＋，

2k44k2

∴点P在抛物线上．

第2课时二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质

01基础题

知识点1二次函数y＝a（x－h）2的图象

1.在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x－2）2的图象可能是（D）

2.抛物线y＝－4（x＋3）2与x轴的交点坐标是（－3，0），与y轴的交点坐标是（0，－36）．

3.将抛物线y＝ax2向左平移2个单位长度后，经过点（－4，－4），则a＝－1．

4．（教材P35练习变式）在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝（x＋2）2，y＝（x－2）2

的图象，并写出对称轴及顶点坐标．

图象如图：

抛物线y＝x2的对称轴是直线x＝0，顶点坐标为（0，0）．

抛物线y＝（x＋2）2的对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为（－2，0）．抛物线y＝（x－2）2的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，0）．

知识点2二次函数y＝a（x－h）2的性质5．下列对二次函数y＝2（x＋4）2的增减性描述正确的是（D）

A.当x＞0时，y随x的增大而减小

B.当x＜0时，y随x的增大而增大

C.当x＞－4时，y随x的增大而减小

D.当x＜－4时，y随x的增大而减小

6.描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数y＝（x－2）2，下列说法：

①图象经过点（1，1）；

②当x＝2时，y有最小值0；

③y随x的增大而增大；

④该函数图象关于直线x＝2对称．其中正确的是（B）

A．①②B．①②④

C．①②③④D．②③④

7.如果二次函数y＝a（x＋3）2有最大值，那么a<

0，当x＝－3时，函数的最大值是0.

8.完成表格：

函数

增减性

y＝－2x2

（0，0）

当x＞0时，y随x的增大而减小；

当x＜0时，y随x的增大而增大.

y最大＝0

y＝－2（x－5）2

直线x＝5

（5，0）

当x＞5时，y随x的增大而减小；

当x＜5时，y随x的增大而增大.

y＝3（x＋3）2

直线

x＝－3

（－3，0）

当x＞－3时，y随x

的增大而增大；

当x＜

－3时，y随x的增大

而减小.

y最小＝0

9.（衡阳中考）已知函数y＝－（x－1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2

的大小关系是y1＞y2（填“＜”“＞”或“＝”）．

10．已知抛物线y＝a（x－h）2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过点（1，－3），求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．

当x＝2时，有最大值，∴h＝2.

又∵此抛物线过点（1，－3），

∴－3＝a（1－2）2.解得a＝－3.

∴此抛物线的解析式为y＝－3（x－2）2.

当x＞2时，y随x的增大而减小．

易错点1混淆二次函数图象的平移方向与h的加减关系

11．（上海中考）如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（C）A．y＝x2－1B．y＝x2＋1

C．y＝（x－1）2D．y＝（x＋1）2

易错点2二次函数增减性相关的易错

12．已知二次函数y＝2（x－h）2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的值满足h≤3．

02中档题

13．（玉林中考）对于函数y＝－2（x－m）2的图象，下列说法不正确的是（D）A．开口向下B．对称轴是x＝m

C．最大值为0D．与y轴不相交

14．在同一平面直角坐标系中，抛物线y＝（x－a）2与直线y＝a＋ax的图象可能是（D）

15．已知A（－4，y1），B（－3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝－2（x＋2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y3<

y1<

y2．

16.已知二次函数y＝2（x－1）2的图象如图所示，则△ABO的面积是1．

17.已知某抛物线与抛物线y＝－x2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（－5，

0）．根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．

∵所求抛物线与y＝－x2＋3形状相同，开口方向相反，

∴所求抛物线解析式的二次项系数是.

又∵顶点坐标是（－5，0），

∴所求抛物线的解析式为y＝（x＋5）2.

18.二次函数y＝a（x－h）2的图象如图，已知a＝，OA＝OC，试求该抛物线的解析式．

由题意，得C（h，0），

y＝（x－h）2.

∵OA＝OC，∴A（0，h）．

将点A（0，h）代入抛物线的解析式，得h2＝h.

∴h1＝2，h2＝0（不合题意，舍去）．

∴该抛物线的解析式为y＝（x－2）2.

03综合题

19.已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x－1）2上的点，且点P在第一象限内．

（1）求m的值；

（2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x－1）2于点Q.若a的值为3，试求P点，Q点及原点O

围成的三角形的面积．

（1）∵点P（m，a）是抛物线y＝a（x－1）2上的点，

∴a＝a（m－1）2，解得m＝2或m＝0.又∵点P在第一象限内，∴m＝2.

（2）∵a的值为3，

∴抛物线的解析式为y＝3（x－1）2.

∵m＝2，a＝3，∴点P的坐标为（2，3）．

∵PQ∥x轴交抛物线y＝a（x－1）2于点Q，

∴Q点纵坐标也为3.

令y＝3，即3＝3（x－1）2，解得x＝2或x＝0.

∴点Q的坐标为（0，3）．∴PQ＝2.

∴S△OPQ＝·

PQ·

yP＝×

2×

3＝3.

22

第3课时二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质

知识点1二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象

1．（大同市期中）抛物线y＝（x－1）2＋2的顶点坐标是（D）A．（－1，2）B．（－1，－2）

C．（1，－2）D．（1，2）

2．（呼伦贝尔中考）二次函数y＝（x＋2）2－1的图象大致为（D）

3.将抛物线y＝x2＋1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数解

析式为（D）

A．y＝（x－2）2＋4B．y＝（x－2）2－2

C．y＝（x＋2）2＋4D．y＝（x＋2）2－2

4.如图是二次函数y＝a（x＋1）2＋2图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1，

0）．

5．（教材P37练习变式）说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：

顶点

y＝－4（x＋3）2＋5

直线x＝－3

（－3，5）

y＝3（x＋1）2－2

直线x＝－1

（－1，－2）

y＝（x－5）2－7

（5，－7）

y＝－2（x－2）2＋6

直线x＝2

（2，6）

6.画出函数y＝（x－1）2－1的图象．解：

列表：

x

…

－2

－1

y

8

描点并连线：

知识点2二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质

7．（台州中考）设二次函数y＝（x－3）2－4图象的对称轴为直线l.若点M在直线l上，则点M

的坐标可能是（B）

A．（1，0）B．（3，0）

C．（－3，0）D．（0，－4）

8．（吕梁市文水县期中）对于抛物线y＝－（x＋1）2＋3，下列结论：

①抛物线的开口向下；

②

对称轴为直线x＝1；

③顶点坐标为（－1，3）；

④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为（C）

A．1B．2C．3D．4

9．二次函数y＝（x＋4）2＋m2，当x＞m＋1时，y随x的增大而增大，当x＜m＋1时，y随x

的增大而减小，则m的值是－5．

10．（河南中考）已知点A（4，y1），B（2，y2），C（－2，y3）都在二次函数y＝（x－2）2－1的图象

上，则y1，y2，y3的大小关系是y2＜y1＜y3．

易错点1对抛物线的顶点理解不清

11．抛物线y＝（2x＋1）2＋1的顶点坐标是（－2，1）．

易错点2将图象平移与坐标轴平移混淆

12.在平面直角坐标系中，若抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为y＝3（x＋1）2－1．

13.与抛物线y＝4（x－1）2－7的形状相同的抛物线是（B）A．y＝（4x－1）2－7B．y＝（2x－3）2

C．y＝x2＋7D．y＝（x－1）2＋9

44

14.若二次函数y＝（x－m）2－1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（C）A．m＝1B．m＞1

C．m≥1D．m≤1

15.如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位长度后，其顶点在直线上的A处，则

平移后抛物线的解析式是（C）

A．y＝（x＋1）2－1B．y＝（x＋1）2＋1

C．y＝（x－1）2＋1D．y＝（x－1）2－1

16.如果二次函数y＝（x－h）2＋k的图象经过点（－2，0）和（4，0），那么h的值为1．

17.将抛物线y＝a（x－h）2＋k先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝－2（x＋3）2＋1的图象．

（1）确定a、h、k的值；

（2）指出二次函数y＝a（x－h）2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值．

（1）∵将抛物线y＝a（x－h）2＋k先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到平移后的二次函数解析式为y＝－2（x－h＋2）2＋k＋3，

∴a＝－2，－h＋2＝3，k＋3＝1.

∴a＝－2，h＝－1，k＝－2.

（2）∵二次函数的解析式为y＝a（x－h）2＋k＝－2（x＋1）2－2，

∴图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标为（－1，－2）．

（3）∵图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，

∴当x＜－1时，y随x的增大而增大；

当x>

－1时，y随x的增大而减小．

且当x＝－1时，y有最大值，y的最大值是－2.

18．（教材P36例4变式）如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝－（x－1）2＋2.25.

（1）求喷出的水流离地面的最大高度；

（2）求喷嘴离地面的高度；

（3）若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？

（1）∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝－（x－1）2＋2.25，

∴喷出的水流离地面的最大高度为2.25m.

（2）当x＝0时，y＝－（0－1）2＋2.25＝1.25.

∴喷嘴离地面的高度为1.25m.

（3）令y＝0，即0＝－（x－1）2＋2.25，解得x1＝－0.5，x2＝2.5.

∴水池半径至少为2.5m时，才能使喷出的水流不落在水池外．

19．如图是二次函数y＝（x＋m）2＋k的图象，其顶点坐标为M（1，－4）．

（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；

5

（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB＝S△MAB？

若存在，求出点P的坐标；

若不

存在，请说明理由．

（1）∵抛物线y＝（x＋m）2＋k的顶点坐标为M（1，－4），

∴y＝（x－1）2－4.

令y＝0，即（x－1）2－4＝0.

解得x1＝3，x2＝－1.

∴A（－1，0），B（3，0）．

（2）∵△PAB与△MAB同底，且S△PAB＝S△MAB，

55

∴|yP|＝|yM|＝×

4＝5，即yP＝±

5.

又∵点P在二次函数y＝（x－1）2－4的图象上，

∴yP≥－4.∴yP＝5.

∴（x－1）2－4＝5，解得x1＝4，x2＝－2.

∴存在这样的点P，其坐标为（4，5）或（－2，5）．

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