三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质 三角形中心矢量Word下载.docx

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Saoc:

Saob=a:

b:

c

故aOAbOBcOC-0或sinAOAsinBOBsinCOC=0；

|AB|PC|BC|PA|CA|PB=0=P是ABC的内心;

向量■（冉-A^）r-0）所在直线过-ABC的内心（是.BAC的角平|AB||AC|

分线所在直线）；

范例

（一）将平面向量与三角形内心结合考查

例1.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABACI

OP=OA•■（），'

■则P点的轨迹一定通过ABC的（）

HlACl

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

解析：

因为-AB是向量aB的单位向量设aB与AC方向上的单位向量分别为e2,又

网_

OP—OA=Ap，则原式可化为AP「（qe2），由菱形的基本性质知AP平分.BAC，那么在MBC中，AP平分NBAC，则知选B.

（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

由HAHB=HB

例2.H是厶ABC所在平面内任一点，HAHB=HB'

HC=HCHA二点H是厶ABC的垂心.

■m■m卡甲、甲甲■

HCHB（HC_HA）=0=HBAC=0=HB_AC,

同理HC_AB，HA_BC.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略））

例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一点，若PAP^PBP^PCPA，贝UP是厶ABC的（D）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解析:

由PAPB二PBPC得PAPB—PBPC=0.即卩PB（PA-PC）=0,即PBCA=0

则PB_CA,同理PA_BC,PC_AB所以P为ABC的垂心.故选D.

（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4.G是厶ABC所在平面内一点，GAgb・GC=0=点G是厶ABC的

重心.

证明作图如右，图中GB，GC二GE

连结BE和CE,贝UCE=GB，BE=GC=BGCE为平行四边形=D是BC的中点，AD为BC边上的中线•

将GBGC=GE代入GAGBGC=0，

得GAEG=0=GA=：

~GE=-2GD，故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略））

例5.P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心=P^-（PAPBPC）.3

证明PG=PAAG二PBBG二PCCG二3PG二（AGBGCG）（PAPBPC）

•/G是厶ABC的重心IGAGBGC=0=AGBGCG=0，即卩3PG二PAPBPC

由此可得PG=-（PAPBPC）.（反之亦然（证略））

例6若O为厶ABC内一点,

，则O是ABC的（

OAOBOC=0

3

由O?

+O^+O3=0得品+O^=—OA，如图以oboc为相邻两边构作平行四边形，则OB+OC=OD，由平行四边形性质知贰彌，OA=2OE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选Do

（四）将平面向量与三角形外心结合考查

例7若O为ABC内一点，OA=OB=OC，则O是ABC的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。

故O是ABC的外心，选B。

（五）将平面向量与三角形四心结合考查

例8.已知向量OR，OP2，OP3满足条件OR+OP2+OP3=0，|OR|=|OP2|=|OP31=1，

反之，若点o是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有旳+匝+匝=0且|^|=|OP2i=|Op3|.

即O是厶ABC所在平面内一点，

OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3匸点O是正△P1P2P3的中心.

例9.在△ABC中，已知QGH分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证：

QGH三点共线，且QG:

GH=1:

2

【证明】:

以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系

C（x2,y2），DE、F分别为ABBCAC的中点，则有：

D（今,0）、E（笃字乎）、F（乎普）由题设可设Q（

X1X2

G（_v

xx

AH=（x2,y4）,QF=（亍-寸

X1

设A（0,0）、B（X1,0）、

BC弋2-X1』2）

AH*BC=x2（x2_xjy2y4=0.„_X2（X2—X1）

y4

y2

-T,―*

’QF—AC

QF*AC"

（X2今）」2（¥

-丫3）"

222

X2（X2—X1）丄y2

y3

o

”3）

求证△P1P2P3是正三角形•（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）

「•IRP2FIP2P3FIP3P1|='

、3，从而△P1P2P3是正三角形.

NX?

2x2%

2__

3X2（X2-xjyz）

—石2—~~2）

QH

0H=0AOB0C.

证明若厶ABC的垂心为H，外心为0,如图.

连B0并延长交外接圆于D，连结AD,CD.

•••AD_AB，CD_BC.又垂心为H，AH_BC，CH_AB，•••AH//CD，CH//AD，

•四边形AHCD为平行四边形，

AH=DC=D0-+OC，故OH=OA+AH=0A+0B+0C.

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.

例ii.设0、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证OG

证明按重心定理G是厶ABC的重心：

=OG=*（0A0B0C）

按垂心定理OH=0AOBOC由此可得OG二丄OH.

补充练习

i•已知A、B、C是平面上不共线的三点，0是三角形ABC的重心，动点P满足

0P=（0A+—0B+20C）,则点P一定为三角形ABC的（B）

322

A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）

C.重心D.AB边的中点

—-—-—-ii—-i—h

i.B取AB边的中点M，贝UOA0B=20M，由OP=（0A+—0B+20C）可得

———322

30P=30M-2MC,•MP=ZMC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且

点P不过重心，故选B.

为三角形的（B）

A

外心

B

内心

C

重心

D

垂心

6.

在三角形

ABC

中，动点

P

满足：

—-2

CA二

zCB-2AB・CP，贝UP点轨迹一定通过厶ABC的

（

B）

7.已知非零向量Ab与AC满足（"

AB+AC）•Bc=o且"

AB•AC£

则厶abc为（）

|AB||AC||AB||AC|2

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形

TT

非零向量与满足（）=0，即角A的平分线垂直于BC，.・.AB=AC，又

|AB||AC|

8.ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH二m（OAOBOC），则实数m=_」

9.点O是ABC所在平面内的一点，满足OAOB=OBOC=OCOA，则点O是ABC的（B）

（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点

（C）三条中线的交点（D）三条高的交点

10.如图1,已知点G是ABC的重心，过G乍直线与ABAC两边分别交于MN两点，且市二xAB，

AN二yAC，贝u——=3o

xy

证点G是MBC的重心，知GAGBGC=Q

得-AG（AB-AG）（AC-AG）=o,有AG二1（AB^C）。

又MN,G三点共线（A不在直线MN3

上）,

于是存在■，使得AG=■AM：

!

-aN（且■-J=1）,

有AG=xAB订二yAC=〔（ABZC），

■'

■-1

11

得1，于是得1•丄=30

，x="

yxy

I3

例讲三角形中与向量有关的问题

教学目标：

1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法

2、向量的加法、数量积等性质

3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题

4、数形结合

教学重点：

灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题

教学难点：

针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题

教学过程：

1、课前练习

——2——22

1.1已知0是厶ABC内的一点，若OA=OB=OC，则O是厶ABC£

〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

*・'

・'

**■—►.▼■饥.▼°

-

1.2在厶ABC中,有命题①AB-AC二BC;

②ABBCCA=0；

③若ABAC•AB-AC=0,

则厶ABC为等腰三角形；

④若ABMC0,则厶ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔〕

A、①②B、①④C、②③D、②③④

2、知识回顾

2.1三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法

2.2向量的有关性质

2.3上述两者间的关联

3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题

例1、已知△ABC中，有代+悟*B^=0和tab*的二1,试判断△ABC的形状。

」AB||ac|丿|ab||ac|2

练习1、已知△ABC中,AB二a,BC=b,B是厶ABC中的最大角，若a*b-0，试判断厶ABC的形状。

4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题

例2、已知O是厶ABC所在平面内的一点，满足|oa2・|bc2Tob「|ac2=|oc2*b|2，则

O是厶ABCM〔〕

D、内心

A、重心B、垂心C、外心

5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题

例3、已知P是厶ABC所在平面内的一动点，且点P满足OP=OA+扎一十一,，扎Jab|ac丿

C、外心D、内心

，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足

、外心D、内心

作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，

AM二x・AB,AN二y*AC，求证:

6小结处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。

7、作业

1、

已知O是厶ABC内的一点，若OAOB0^0，贝U0是厶ABC的:

〕

a*0Ab*0Bc*0C=0，贝U0是厶ABC的:

、内心

4、已知P是厶ABC所在平面内与A不重合的一点，满足ABAC=3AP，则P是厶ABC的〔

A、重心B、垂心C、外心D、

■百—►

5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足OAOBOC=0,

△ABC为正三角形。

6在厶ABC中,O为中线AM上的一个动点，若AMh2,求oa（oboc）

三角形四心与向量的典型问题分析

向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。

在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；

另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。

在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。

下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。

既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感

重心”的向量风采

【命题1】G是厶ABC所在平面上的一点,

图⑵

AB,C是平面上不共线的三个点，动点

P满足

OP=OA，（ABAC），

若GAGBGC=0，则G是厶ABC的重心.如图⑴.

■（0,*），贝UP的轨迹一定通过△ABC的重心.

【解析】由题意A^=（ABAC），当…（0，：

）时，由于（ABAC）表示BC边上的中线所在

直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，如图⑵.

垂心”的向量风采

【命题3】P是厶ABC所在平面上一点，若PA=PB=PCPA，贝UP是厶ABC的垂心.

【解析】由

PA品启捏，得PB点启）=。

，即7BCA=。

，所以7B丄CA.同理可证

垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，如图⑷.

三、内心”的向量风采

【命题5】已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB=c，AC=b，BC=a.若

则由题意得（abc）IAbABcA^=0，

•••aI与/BAC平分线共线，即Al平分.BAC.

同理可证：

Bl平分.ABC,Cl平分.ACB.从而I是△ABC的内心，如图⑸.

【命题6】已知0是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

方向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心，如图⑹.

四、“外心”的向量风采

【命题7】已知0是厶ABC所在平面上一点，若OA^OB^=00^，则0是厶ABC的外心.

2^^2^^2

【解析】若0A=0B=0C，则

【解析】由于¥

过BC的中点，当^（0心时

ABIeosB

^AC—

ACeosC

表示垂直于BC

外心，如图⑺。

【命题7】已知0是平面上的一定点，AB，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

，■（0,=），则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心。

的向量（注意：

理由见二、4条解释。

），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的外心，如图⑻。