高中数学人教a版选修44学案第一讲 三 1 圆的极坐标方程 含答案.docx

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高中数学人教a版选修44学案第一讲三1圆的极坐标方程含答案

三简单曲线的极坐标方程1．圆的极坐标方程

1．曲线的极坐标方程

（1）在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f（ρ，θ）＝0，并且坐标适合方程f（ρ，θ）＝0的点都在曲线C上，那么方程f（ρ，θ）＝0叫做曲线C的极坐标方程．

（2）建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：

①建立适当的极坐标系，设P（ρ，θ）是曲线上任意一点．

②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式．

③将列出的关系式整理、化简．

④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．

2．圆的极坐标方程

（1）圆心在C（a,0）（a＞0），半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos_θ.

（2）圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r.

（3）圆心在点（a，）处且过极点的圆的方程为ρ＝2asinθ（0≤θ≤π）．

圆的极坐标方程

[例1]　求圆心在（ρ0，θ0），半径为r的圆的方程．

[思路点拨]　结合圆的定义求其极坐标方程．

[解]　在圆周上任取一点P（如图）

设其极坐标为（ρ，θ）．

由余弦定理知：

CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，

故其极坐标方程为

r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos（θ－θ0）．

几种特殊情形下的圆的极坐标方程

当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cosθ，若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cosθ＝2rcosθ，若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos（θ－θ0），这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．

1．求圆心在C，半径为1的圆的极坐标方程．

解：

设圆C上任意一点的极坐标为M（ρ，θ），如图，在△OCM中，由余弦定理，得

|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM＝|CM|2，

即ρ2－2ρcos＋1＝0.

当O，C，M三点共线时，点M的极坐标也适合上式，

所以圆的极坐标方程为

ρ2－2ρcos＋1＝0.

2．求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程．

解：

设M（ρ，θ）为圆上除O、B外的任意一点，连结OM、MB，则有OB＝4，OM＝ρ，

∠MOB＝θ－π.

∠BMO＝90°，从而△BOM为直角三角形．

∴有|OM|＝|OB|cos∠MOB

即ρ＝4cos＝－4sinθ.

极坐标方程与直角坐标方程的互化

[例2]　进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：

（1）y2＝4x；

（2）x2＋y2－2x－1＝0；

（3）ρ＝.

[思路点拨]　将方程的互化转化为点的互化：

[解]　

（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，

得（ρsinθ）2＝4ρcosθ.

化简，得ρsin2θ＝4cosθ.

（2）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，

得（ρsinθ）2＋（ρcosθ）2－2ρcosθ－1＝0，

化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.

（3）∵ρ＝，

∴2ρ－ρcosθ＝1.

∴2－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.

在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：

（1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．

（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．

（3）由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．

（4）由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．

3．把下列直角坐标方程化为极坐标方程．

（1）y＝x；

（2）x2－y2＝1.

解：

（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y＝x

得ρsinθ＝ρcosθ，从而θ＝.

（2）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2－y2＝1，

得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化简，得ρ2＝.

4．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．

（1）ρ2cos2θ＝1；

（2）ρ＝2cos（θ－）．

解：

（1）因为ρ2cos2θ＝1，

所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1.

所以化为直角坐标方程为x2－y2＝1.

（2）因为ρ＝2cosθcos＋2sinθsin＝cosθ＋sinθ，

所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.

所以化为直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.

一、选择题

1．极坐标方程ρ＝1表示（　　）

A．直线　　　　　　　　B．射线

C．圆D．半圆

解析：

∵ρ＝1，∴ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.∴表示圆．

答案：

C

2．极坐标方程ρ＝asinθ（a＞0）所表示的曲线的图形是（　　）

解析：

如图所示．

设M（ρ，θ）是圆上任意一点，则∠ONM＝∠MOx＝θ，

在Rt△NMO中，|OM|＝|ON|sin∠ONM，

即ρ＝2rsinθ＝asinθ.

答案：

C

3．在极坐标系中，方程ρ＝6cosθ表示的曲线是（　　）

A．以点（－3,0）为圆心，3为半径的圆

B．以点（3，π）为圆心，3为半径的圆

C．以点（3,0）为圆心，3为半径的圆

D．以点（3，）为圆心，3为半径的圆

解析：

由ρ＝6cosθ得ρ2＝6ρcosθ，即x2＋y2－6x＝0，

表示以（3,0）为圆心，半径为3的圆．

答案：

C

4．以极坐标系中的点（1,1）为圆心，1为半径的圆的方程是（　　）

A．ρ＝2cos（θ－）B．ρ＝2sin（θ－）

C．ρ＝2cos（θ－1）D．ρ＝2sin（θ－1）

解析：

在极坐标系中，圆心在（ρ0，θ0），半径为r的圆的方程为：

r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos（θ－θ0），所以可得ρ＝2cos（θ－1）．

答案：

C

二、填空题

5．把圆的普通方程x2＋（y－2）2＝4化为极坐标方程为________．

解析：

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得

ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.

答案：

ρ＝4sinθ

6．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sinθ，则曲线C的直角坐标方程为________．

解析：

由ρ＝3sinθ，得ρ2＝3ρsinθ，

故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝0.

答案：

x2＋y2－3y＝0

7．在极坐标系中，若过点A（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________.

解析：

由题意知，直线方程为x＝3，

曲线方程为（x－2）2＋y2＝4，

将x＝3代入圆的方程，

得y＝±，则|AB|＝2.

答案：

2

三、解答题

8．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．

（1）x2＋y2－2x＝0；

（2）ρ＝cosθ－2sinθ；

（3）ρ2＝cos2θ.

解：

（1）∵x2＋y2－2x＝0，

∴ρ2－2ρcosθ＝0.

∴ρ＝2cosθ.

（2）∵ρ＝cosθ－2sinθ，

∴ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ.

∴x2＋y2＝x－2y，

即x2＋y2－x＋2y＝0.

（3）∵ρ2＝cos2θ，

∴ρ4＝ρ2cos2θ＝（ρcosθ）2.

∴（x2＋y2）2＝x2，

即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.

9．从极点O引定圆ρ＝2cosθ的弦OP，延长OP到Q使＝，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？

解：

设Q（ρ，θ），P（ρ0，θ0）

则θ＝θ0，＝，∴ρ0＝ρ

∵ρ0＝2cosθ0.

∴ρ＝2cosθ，即ρ＝5cosθ

它表示一个圆．

10．若圆C的方程是ρ＝2asinθ，求：

（1）关于极轴对称的圆的极坐标方程．

（2）关于直线θ＝对称的圆的极坐标方程．

解：

法一：

设所求圆上任意一点M的极坐标为（ρ，θ）．

（1）点M（ρ，θ）关于极轴对称的点为（ρ，－θ），

代入圆C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin（－θ），

即ρ＝－2asinθ为所求．

（2）点M（ρ，θ）关于直线θ＝对称的点为，代入圆C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin，

即ρ＝－2acosθ为所求．

法二：

由圆的极坐标方程ρ＝2asinθ得ρ2＝2ρasinθ，

利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝，

化为直角坐标方程为x2＋y2＝2ay，

即x2＋（y－a）2＝a2，故圆心为C（0，a），半径为|a|.

（1）关于极轴对称的圆的圆心为（0，－a），

圆的方程为x2＋（y＋a）2＝a2，

即x2＋y2＝－2ay，所以ρ2＝－2ρasinθ，

故ρ＝－2asinθ为所求．

（2）由θ＝得tanθ＝－1，

故直线θ＝的直角坐标方程为y＝－x.

圆x2＋（y－a）2＝a2关于直线y＝－x对称的圆的方程为（－y）2＋（－x－a）2＝a2，即（x＋a）2＋y2＝a2，于是x2＋y2＝－2ax，所以ρ2＝－2ρacosθ.

故此圆的极坐标方程为ρ＝－2acosθ.