直线与方程 优秀教案选Word下载.docx
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经过两点P1（x1,y1），P2（x2,y2）（x1x2）的直线的斜率公式为k______________________．当
x1x2时，直线的斜率__________．
（3）直线的倾斜角与斜率k的关系
当为锐角时，越大k越____；
当为钝角时，越大k越____；
y2y1x2x1
答案：
1．
（1）①正向，向上，0；
②0180；
（2）①正切值，tan在．（3）大，大．
2．yy0k（xx0），ykxb，
yy1y2y1
，1，AxByC0（A2B20）．
x2x1ab
垂直于x轴；
垂直于x轴；
垂直于坐标轴；
垂直于坐标轴、过原点．3．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1//l2____________．特别地，当直线的斜率l1、l2都不存在时，l1与l2________．
（2）两条直线垂直
如果两条直线斜率l1、l2存在，设为k1、k2，则l1l2____________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线________．4．两直线相交
交点：
直线l1：
A1xB1yC10和l2：
A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组
A1xB1yC10
的解一一对应．
AxByC0222
相交方程组有__________，交点坐标就是方程组的解；
平行方程组________；
重合方程组有______________．5．三种距离公式
（1）点Ax1,y1、Bx2,y2间的距离：
（2）点Px0,y0到直线l：
AxByC0的距离：
（3）两平行直线l1：
A1xB1yC10与l2：
A2xB2yC20（C1C2）间的距离为d______________．
6．直线中的对称问题有哪些？
（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？
如何求直线关于点的对称直
线以及直线关于点的对称直线呢？
三、【范例导航】
例1已知直线l:
mxym20与以A2,3、B3,0为端点的线段相交，求直线l的斜率k的取值范围．
【分析】可用两点式写出直线AB的方程，联立直线l和AB的方程，解出交点的坐标M，利用2xM3，解出m的取值范围，由m与斜率k的关系，即得斜率k的取值范围．这样求解，显然非常繁琐，不宜采用．既然直线l的方程中含有参数m，可以得到直线l必过一定点P，将直线l绕定点P转动，寻找与线段
AB相交的位置．由“直线l与线段AB相交”展开联想．
（1）结合图形，运用运动变化的观点，考虑直线斜率与倾斜角的变化关系，可求出符合条件的直线斜率的取值范围．
（2）直线l与线段AB相交于点M，则点A、B分别在直线l的两侧或其中一点在直线l上，可考虑利用不等式表示的平面区域求解．
【解答】直线l的方程可以化为y2mx10，它表示经过直线y20和x10的交
y20,x10,
x1,y2,
点的直线方程，由解得
所以直线l必过定点P（1,2）．
法一：
设PA与PB的倾斜角分别为，．kPA5，kPB
．如图，当直线l由PA变化到与y
轴平行的位置PC时，其倾斜角由增至900，斜率k的变化范围是5,．当直线l由PC变化到PB的位置时，其倾斜角由900增至，斜率k的变化范围是,．
故斜率k的取值范围是,5,．
法二：
设直线l的方程为y2kx1，即kxyk20．
∵点A、B分别在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴2k3k23k0k20，
解得k5或k
．故斜率k的取值范围是,5,．22
【点评】
（1）求直线过定点的步骤是：
①将直线方程整理为fx,ymgx,y0（其中m为参数）；
fx,y0,
②解方程组即得定点坐标．
gx,y0,
（2）本题确定直线斜率k的取值范围用了以下两种方法：
①数形结合法：
根据直线的变化规律，借助直线的倾斜角与斜率k的关系：
“当为锐角时，越大k越大k0；
当为钝角时，越大k越大k0”去探究k的变化规律．
②利用不等式表示的平面区域：
当Ax1,y1、Bx2,y2在直线AxByC0的异侧时，则
Ax1Ax1
By1CAxByC0；
当Ax1,y1、Bx2,y2在直线AxByC0的同侧时，则22By1CAxByC0．22
变式训练：
在上述条件中，若P点坐标为3,2，则直线l的斜率的取值范围有何变化？
解当P点坐标为3,2时，kPA5，kPB率始终是存在的，故斜率k的取值范围是5,．
．直线l由PA转动到PB的过程中，直线l的斜
例2求适合下列条件的直线方程：
（1）过点A（1,3），斜率是直线y3x的斜率的
（2）经过点P（3,2），且在两坐标轴上的截距相等；
（3）过点A（1,1）与已知直线l1:
2xy60相交于B点且AB5．
【分析】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．【解答】
（1）设所求直线的斜率为k，依题意k由点斜式,得直线方程为y3
．又直线经过点A（1,3），
（x1），即3x4y150．
（2）法一：
设直线l在x，y轴上的截距均为a．
①若a0，则l过点（0,0）和（3,2），由点斜式，得l的方程为y②若a0，则设l的方程为∴l的方程为xy50．
综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50．
由题意，所求直线的斜率必定存在．设所求直线方程为y3kx2，它在x轴、y轴上的截距分别为2
x，即2x3y0．
1，∵l过点（3,2），∴1，解得a5，aaa
、32k，于是2
32k，解得k
或k1，所以直线方程为
x2或y3x2，即2x3y0或x
（3）法一：
过点A（1,1）与y轴平行的直线为x1．解方程组，求得B点坐标为
2xy60
（1,4），此时AB5，即x1为所求．
设过A（1,1）且与y轴不平行的直线为y1k（x1），解方程组
2xy60,y1k（x1）,
得两直线交点为
k7x,k2
（k2，否则与已知直线平行），则B点坐标为（k7,4k2）．
k2k2y4k2,
4k2k2
）5，解得k
，∴y1
（x1），即3x4y10．
综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10．
设Ba,62a，由AB5，得a172a25，整理，得a26a50，解得a1或a5．由两点式，得直线的方程为x1或3x4y10．
（1）用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；
若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
（2）求直线方程需要两个条件．当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程，如第
（1）题；
当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程，如第
（2）和第（3）题．
（3）对于直线上的点，我们往往运用直线方程，将该点的坐标一元化，从而简化运算过程，如第（3）题的法二，若设Ba,b，则需列方程组求解，过程较为繁琐．
求满足下列条件的直线l的方程：
（1）过点A（0,2），它的倾斜角的正弦值是；
（2）过点A（2,1），它的倾斜角是直线l1:
3x4y50的倾斜角的一半；
（3）过点A（2,1）和直线x2y30与2x3y20的交点．答案
（1）3x4y80或3x4y80．
（2）3xy50．
x2y30,（3）法一：
由解得交点坐标为5,4，由两点式，得所求直线方程为
2x3y20,
5x7y30．
设所求直线方程为x2y3m2x3y20（其中mR），将点A（2,1）代入，解得
m3，从而所求直线方程为5x7y30．
例3.
（1）已知两直线l1：
xmy60，l2：
m2x3my2m0，若l1//l2，求实数m的值；
（2）已知两直线l1：
ax2y60和l2：
xa1ya10．若l1l2，求实数a的值．
【分析】
（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和
l2，l1//l2k1k2，l1l2k1k21．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
（2）①若直线l1和l2有斜截式方程l1：
yk1xb1，l2：
yk2xb2，则l1l2k1k21．
②设l1：
A1xB1yC10，l2：
A2xB2yC20．则：
l1l2A1A2B1B20．【解答】
（1）方法一：
①当m0时，l1：
x60，l2：
x0，l1//l2；
②当m0时，l1：
y
，l2：
y
m3m∴m1．
故所求实数m的值为0或1．
方法二:
A2xB2yC20平行的等价条件是：
A1B2A2B10且B1C2B2C10或A1C2A2C10，由所给直线方程可得：
m20且12m6m20
mm2m30且m3
m0或1，故所求实数m的值为0或1．
（2）方法一：
由直线l1的方程知其斜率为，
当a1时，直线l2的斜率不存在，l1与l2不垂直；
当a1时，直线l2的斜率为
．1a
2a13
故所求实数a的值为
直线l1：
A2xB2yC20垂直的等价条件是A1A2B1B20．
由所给直线方程可得：
a12a10a
，故所求实数a的值为
【点评】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，注意转化与化归思想的应用．
变式训练:
已知两直线l1：
mx8yn0和l2：
2xmy10．试确定m、n的值，使
（1）l1与l2相交于点Pm,1；
（2）l1//l2；
（3）l1l2，且l1在y轴上的截距为1．
m28n0
（1）由题意得：
，解得m1,n7．
2mm10
（2）当m0时，显然l1不平行于l2；
m820
当m0时，由得，2m181mn0
m4m4
n2n2
即m4,n2时或m4,n2时，l1//l2．
（3）当且仅当m28m0，即m0时，l1l2，又即m0，n8时，l1l2且l1在y轴上的截距为1．
1，∴n8．
例4．求经过直线l1：
3x2y10和l2：
5x2y10的交点，且垂直于直线l3：
3x5y60的直线l的方程．
【分析】运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：
（1）与直线AxByC0平行的直线系方程是：
AxBym0mR且mC；
（2）与直线AxByC0垂直的直线系方程是
BxAym0mR；
（3）过直线l1：
A2xB2yC20的交点的直线系
方程为A1xB1yC1A2xB2yC20R，但不包括l2．
3x2y103
【解答】方法一：
先解方程组，得l1、l2的交点坐标为1,2，再由l3的斜率求出l的斜
55x2y10
率为，于是由直线的点斜式方程求出l：
y2x1，即5x3y10.
33方法二：
由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1、l2的交点1,2，故
5132C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.
方法三：
由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x2y15x2y10中的一条，将其整理，得
35x22y10，其斜率
为5x3y10.
3522
，代入直线系方程即得l的方程
【点评】准确定位直线的各个要素才能快速求出直线方程，常规方法及直线系方程的恰当使用能够起到事半功倍的效果．
直线l被两条直线l1：
4xy30和l2：
3x5y50截得的线段的中点为P1,2，
求直线l的方程．
设直线l与l1的交点为Ax0,y0，由已知条件，得直线l与l2的交点为B2x0,4y0，并且满足
4x0y0304x0y030x02
，即，解得：
，因此直线l的方程为：
32x54y503x5y310y500000y252
x121
，即3xy10．
四、【解法小结】1．斜率的求法
（1）定义法：
已知倾斜角，可根据ktan求解；
（2）公式法：
已知直线上两点Ax1,y1、Bx2,y2x1x2，可根据斜率公式k
式与两点顺序无关）求解．
2．求直线方程．直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；
同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性．
（1）直接法：
当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程．
（1）待定系数法：
当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程．
3．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，
l1//l2k1k2，l1l2k1k21．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意．
．在运用两平行直线间的距离公式d相等的系数．
时，一定要注意将两方程中的x，y项系数化为分别
五、【布置作业】必做题：
1．已知a0，若平面内三点A（1,a）,B（2,a2）,C（3,a3）共线，则a．2．经过点P（1,4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，求直线的方程．
3.已知直线l1：
k3x4ky10与l2：
2k3x2y30平行，则k的值是．4．若直线l1：
ykx4与直线l2关于点2,1对称，则直线l2恒过定点是．5．已知2xy5
0的最小值是．
6．设直线l经过点1,1，则当点2,1与直线l的距离最大时，直线l的方程为．
2．2xy603．3或5；
4．0,2；
5
6．3x2y50
1．已知直线l:
kxy12k0kR．
（1）证明直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，求使
2.已知直线l：
2x3y10，点A1,2．求：
（1）点A关于直线l的对称点A的坐标；
（2）直线m：
3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；
AOB面积最小时直线l的方程．
（3）直线l关于点A1,2对称的直线l的方程．答案：
1．
（1）定点2,1；
（2）0,；
（3）x2y40．
33y22
x113x13
2.【解答】
（1）设Ax,y，由已知，解得：
，
2x13y210y41322
∴A,
（2）在直线m上取一点，如M
2,0，则M2,0关于直线l的对称点M必在直线m上．设对称点
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