直线和圆知识点总结文档格式.docx
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x
0;
(4)若x1
0时,直线即为
x轴,方程为
0。
4.已知直线l1:
y
k1xb1,直线l2:
yk2xb2,则
①l1与l2相交
②l1与l2平行
③l1与l2重合
④l1与l2垂直
5.已知直线l1:
A1x
B1y
C1
0,直线l2:
A2xB2y
C2
0,则
6.两点P(1x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离PP12
=
点P(x,y)到直线l:
Ax
By
C
0的距离d
两平行直线l
:
Ax
0与l
ByC
0之间的距离d
7.圆的标准方程为
(x
a)2
(y
b)2
r2(r
0),其中
为圆心,
为半径;
圆的一般方程为
DxEyF
0表示圆的充要条件是D2
E2
4F
0,
其中圆心为
,半径为
8.点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x
a)2
(yb)2
r2
,点M(x,y
),
(1)点在圆上:
(x0
(y0
r2;
(2)点在圆外:
(3)点在圆内:
r2。
9.直线与圆的位置关系
判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法:
(1)代数法:
直线方程和圆的方程联立方程组消去
x或y整理成一元二次方程后,
计算判别式①
b2
4ac
②
③
。
(2)几何法:
利用圆心到直线的距离
d和圆半径的大小关系
①dr
②d
r
dr
10.圆的切线方程
①若圆的方程为x2
r2,点P(x0,y0)在圆上,则过
P点,且与圆x2
r2相
切的切线方程为
xx0
yy0
②经过圆(x
r2上的P(x0,y0)的切线方程为:
(x0a)(x
a)(y0
b)(y
b)
y0
k(xx0)
点P(x,y)在圆外,则可设切线方程为
yy0
k(x
x0),利用直线与圆相切,利用
圆心到直线的距离等于半径,解出k。
11.计算直线被圆截得的弦长的两种方法:
(1)几何法:
运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
(2)代数法:
利用韦达定理及弦长公式
AB
1k2xA
xB
(1
k2)(xA
xB)2
4xAxB
12.设圆
C1:
(xx1)2
y1)
r12
,圆C2:
(x
x2)2
(yy2)2
r22
,则有两圆
①相离
C1C2
②外切
③内切
④相交C1C2;
⑤内含C1C2.
13.对称问题
①点关于点的对称:
利用中点坐标公式。
②直线关于点对称:
利用取特殊点法或转移法。
③点关于直线对称:
利用垂直和平分。
④直线关于直线对称:
转化为点关于直线对称问题解决。
如果是平行直线,还可以利用
平行直线之间距离。
如果是相交直线,可以利用已知交点,夹角相等的方法。
常用的对称关系:
点(a,b)
点(a,b)关于原点的对称点
(-a,-b),
点(a,b)关于点(a0,b0)的对称点的坐标为
(2a0a,2b0a)
点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b),
点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b),
点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a),
点(a,b)关于直线y=-x的对称点(-b,-a),
点(a,b)关于直线
y=x+m的对称点为(b-m,a+m),
y=
-x+m
的对称点
(m-b,m-a).
练习题(第一部分)
1.直线的倾斜角为
若sin
3
,则此直线的斜率是(
)
5
A.3
B.4
C.
D.
4
2x垂直,则
2.直线
过点(-1,2)且与直线y
的方程是
A.3x2y10
B.
3x2y70
C.
2x3y50
D.
2x3y80
3.已知两条直线
ax
2和y
(a
2)x1互相垂直,则
a等于(
A.2
B.1
C.0
D.1
解析:
两条直线y
ax2和y
2)x
1互相垂直,则
a(a
2)
1,∴a=-1,选D.
点评:
直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系,
同时兼顾到斜率为零和不存
在两种情况
A(2,3)
、
B(
3,
,直线
l过
P(1,1)
且与线段
有交点,设直线l的斜率为k,
.已知
则k的取值范围(
3或
3或k
3k
D
Ak
B
k4
过点B(3,
2)、P(1,1)的直线斜为k1
3,过点A(2,
3)、P(1,1)的直
3)
线斜率为k2
,画图可看出过点
P(1,1)的直线与线段
AB有公共点可
看作直线绕点
P(1,1)从PB旋转至PA的全过程。
5.直线l经过点P(2,1)
,且与两坐标轴围成的三角形的面积为
S,如果符合条件的直线
l能
作且只能作三条,则
S
C.5
D.8
设直线方程为
,
a
b
1,则有
1,当a,b
0时,
ab
得ab8,即l与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为
4,显然与两坐标
轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为
4,共可作且只可作三条符合条件的
直线l。
6.已知直线l:
x
0,l1:
2x
y20,若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程
为(
A.x2y10
B.x2y10
C.xy10
D.x2y10
在l1上取两点(0,
2),(1,0),则它关于直线
l的对称点为(1,
1),(1,0),所以l2的方
程为x2y
0。
7.已知点M(0,1)
,点N在直线xy
10上,若直线MN垂直于直线x
2y
则点N的坐标是(
A.(2,1)
B.
(2,3)
C.(2,1)
D.(2,1)
二、填空题
8.过点(1,2)且与直线x2y10平行的直线方程是_x2y50_.
9.已知两条直线l1:
ax3y
0,l2:
4x
6y
10.若l1//l2,则
____.
解:
两条直线l1:
ax
3y
0,l2:
6y
0.若l1//l2
,则a
2.
10.若过点P(1
a,1
a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,那么实数
a的取值范围是
.
(2,1)
11.如果ab0,直线ax
by
c
0的倾斜角为
且sin
sin
sin,则
___________.
直线的斜率为
由sin
cos
因为ab
0,直线axby
所以tan
0,又0,
所以
),所以0
所以sin
(sin
)2cos
所以tan
2,k
tan
2tan
4。
三、解答题
12.已知直线
l经过直线
3x
4y
0与直线
2x
0的交点P,且垂直于直线
x2y
(Ⅰ)求直线l
的方程;
(Ⅱ)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积
S.
(Ⅰ)由
4y20,
解得
2,
0.
2.
由于点P的坐标是(
2,2).
则所求直线l与直线x2y
0垂直,
可设直线l的方程为
0.
把点P的坐标代入得
,即C
2.
所求直线l的方程为
(Ⅱ)由直线l
的方程知它在
x轴、y轴上的截距分别是
1、
2,
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积
1.
13.求经过直线l1:
3x4y50与直线l2:
2x3y80的交点M,且满足下列条件
①经过原点;
②与直线l3:
2xy50平行;
③与直线l4:
2xy50垂直的直
线方程。
答案:
x2y50
14.在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边分别在x轴、y轴
的正半轴上,A点与坐标原点重合,将矩形折叠,使
A点落在线段DC上,若折痕所在
的直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程。
O
5(A)BX
(1)当k
0时,A、D重合,折痕所在直线方程为
(2)当k
0时,设折叠后
A落在线段上的点为
G(a,1),
所以A与G关于折痕所在直线对称。
kAG
1,可得a
k,
从而G(
k,1),线段OG之中点为M(
k,1),
折痕所在直线方程为
k(x
k),化简得y
kx
k2
练习题(第二部分)
1.直线y
3x与圆(x
1)2
1的位置关系是(
A.相交但直线不过圆心
B.相切
C.相离
D.相交且直线过圆心
.与圆
C:
35
同圆心,且面积为圆
C面积的一半的圆的方程为(
A.(x1)2
y2
18
B.(x1)2
9
(x
1)2
6
D.
3.圆心为C1,3的圆与直线l:
x2y30交于P、Q两点,O为坐标原点,且满
足OPOQ0,则圆C的方程为()
A.(x
(y3)2
B.
C.(x
(y3)2
25
D.
3)2
4.P(x,y)是曲线
1cos
2)2
4)2的最大值为(
sin.
上任意一点,则(x
A.36
B.26
C.25
D.6
5.两个圆C1:
x2
2x2y
20与C2:
4x
10的公切线有且仅
有(
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
因为r1
r2
0,r1
4,O1O2
13,所以r1
O1O2
r1r2,所以两圆相
交,故两圆公切线有
2条。
6.从圆x2
2y
0外一点P
3,2
向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余
弦值为(
D.0
A.
圆x2
2y1
0的圆心为
M(1,1),半径为
1,从外一点P(3,2)向这个
圆