直线和圆知识点总结文档格式.docx
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x
0；
（4）若x1
0时，直线即为
x轴，方程为
0。
4．已知直线l1：
y
k1xb1，直线l2：
yk2xb2，则
①l1与l2相交
②l1与l2平行
③l1与l2重合
④l1与l2垂直
5．已知直线l1：
A1x
B1y
C1
0，直线l2：
A2xB2y
C2
0，则
6．两点P（1x1,y1），P2（x2,y2）之间的距离PP12
=
点P（x,y）到直线l：
Ax
By
C
0的距离d
两平行直线l
：
Ax
0与l
ByC
0之间的距离d
7．圆的标准方程为
（x
a）2
（y
b）2
r2（r
0），其中
为圆心，
为半径；
圆的一般方程为
DxEyF
0表示圆的充要条件是D2
E2
4F
0，
其中圆心为
，半径为
8．点与圆的位置关系
圆的标准方程为（x
a）2
（yb）2
r2
，点M（x,y
），
（1）点在圆上：
（x0
（y0
r2；
（2）点在圆外：
（3）点在圆内：
r2。
9．直线与圆的位置关系
判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法：
（1）代数法：
直线方程和圆的方程联立方程组消去
x或y整理成一元二次方程后，
计算判别式①
b2
4ac
②
③
。
（2）几何法：
利用圆心到直线的距离
d和圆半径的大小关系
①dr
②d
r
dr
10．圆的切线方程
①若圆的方程为x2
r2，点P（x0,y0）在圆上，则过
P点，且与圆x2
r2相
切的切线方程为
xx0
yy0
②经过圆（x
r2上的P（x0,y0）的切线方程为：
（x0a）（x
a）（y0
b）（y
b）
y0
k（xx0）
点P（x,y）在圆外，则可设切线方程为
yy0
k（x
x0）,利用直线与圆相切，利用
圆心到直线的距离等于半径，解出k。
11．计算直线被圆截得的弦长的两种方法：
（1）几何法：
运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
（2）代数法：
利用韦达定理及弦长公式
AB
1k2xA
xB
（1
k2）（xA
xB）2
4xAxB
12．设圆
C1：
（xx1）2
y1）
r12
，圆C2：
（x
x2）2
（yy2）2
r22
，则有两圆
①相离
C1C2
②外切
③内切
④相交C1C2；
⑤内含C1C2．
13．对称问题
①点关于点的对称：
利用中点坐标公式。
②直线关于点对称：
利用取特殊点法或转移法。
③点关于直线对称：
利用垂直和平分。
④直线关于直线对称：
转化为点关于直线对称问题解决。
如果是平行直线，还可以利用
平行直线之间距离。
如果是相交直线，可以利用已知交点，夹角相等的方法。
常用的对称关系：
点（a,b）
点（a,b）关于原点的对称点
（-a,-b）,
点（a,b）关于点（a0,b0）的对称点的坐标为
（2a0a,2b0a）
点（a,b）关于x轴的对称点（a,-b），
点（a,b）关于y轴的对称点为（-a,b），
点（a,b）关于直线y=x的对称点为（b,a），
点（a,b）关于直线y=-x的对称点（-b,-a），
点（a,b）关于直线
y=x+m的对称点为（b-m,a+m）,
y=
-x+m
的对称点
（m-b,m-a）.
练习题（第一部分）
1．直线的倾斜角为
若sin
3
，则此直线的斜率是（
）
5
A．3
B．4
C．
D．
4
2x垂直，则
2.直线
过点（-1，2）且与直线y
的方程是
A．3x2y10
B.
3x2y70
C.
2x3y50
D.
2x3y80
3．已知两条直线
ax
2和y
（a
2）x1互相垂直，则
a等于（
A．2
B．1
C．0
D．1
解析：
两条直线y
ax2和y
2）x
1互相垂直，则
a（a
2）
1，∴a=－1，选D.
点评：
直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，
同时兼顾到斜率为零和不存
在两种情况
A（2,3）
、
B（
3,
，直线
l过
P（1,1）
且与线段
有交点，设直线l的斜率为k，
．已知
则k的取值范围（
3或
3或k
3k
D
Ak
B
k4
过点B（3,
2）、P（1,1）的直线斜为k1
3，过点A（2,
3）、P（1,1）的直
3）
线斜率为k2
，画图可看出过点
P（1,1）的直线与线段
AB有公共点可
看作直线绕点
P（1,1）从PB旋转至PA的全过程。
5．直线l经过点P（2,1）
，且与两坐标轴围成的三角形的面积为
S，如果符合条件的直线
l能
作且只能作三条，则
S
C．5
D．8
设直线方程为
，
a
b
1，则有
1，当a,b
0时，
ab
得ab8，即l与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为
4，显然与两坐标
轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为
4，共可作且只可作三条符合条件的
直线l。
6．已知直线l：
x
0，l1：
2x
y20，若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程
为（
A．x2y10
B．x2y10
C．xy10
D．x2y10
在l1上取两点（0,
2）,（1,0），则它关于直线
l的对称点为（1,
1）,（1,0），所以l2的方
程为x2y
0。
7．已知点M（0,1）
，点N在直线xy
10上，若直线MN垂直于直线x
2y
则点N的坐标是（
A．（2,1）
B．
（2,3）
C．（2,1）
D．（2,1）
二、填空题
8．过点（1，2）且与直线x2y10平行的直线方程是_x2y50_.
9．已知两条直线l1:
ax3y
0,l2:
4x
6y
10.若l1//l2，则
____.
解：
两条直线l1:
ax
3y
0,l2:
6y
0.若l1//l2
，则a
2．
10．若过点P（1
a,1
a）和Q（3,2a）的直线的倾斜角为钝角，那么实数
a的取值范围是
.
（2,1）
11．如果ab0,直线ax
by
c
0的倾斜角为
且sin
sin
sin,则
___________.
直线的斜率为
由sin
cos
因为ab
0,直线axby
所以tan
0，又0,
所以
），所以0
所以sin
（sin
）2cos
所以tan
2，k
tan
2tan
4。
三、解答题
12.已知直线
l经过直线
3x
4y
0与直线
2x
0的交点P，且垂直于直线
x2y
（Ⅰ）求直线l
的方程；
（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积
S.
（Ⅰ）由
4y20,
解得
2,
0.
2.
由于点P的坐标是（
2，2）.
则所求直线l与直线x2y
0垂直，
可设直线l的方程为
0.
把点P的坐标代入得
，即C
2.
所求直线l的方程为
（Ⅱ）由直线l
的方程知它在
x轴、y轴上的截距分别是
1、
2，
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积
1.
13.求经过直线l1：
3x4y50与直线l2：
2x3y80的交点M，且满足下列条件
①经过原点；
②与直线l3：
2xy50平行；
③与直线l4：
2xy50垂直的直
线方程。
答案：
x2y50
14.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴
的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使
A点落在线段DC上，若折痕所在
的直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程。
O
5（A）BX
（1）当k
0时，A、D重合，折痕所在直线方程为
（2）当k
0时，设折叠后
A落在线段上的点为
G（a,1），
所以A与G关于折痕所在直线对称。
kAG
1，可得a
k,
从而G（
k,1），线段OG之中点为M（
k,1），
折痕所在直线方程为
k（x
k），化简得y
kx
k2
练习题（第二部分）
1．直线y
3x与圆（x
1）2
1的位置关系是（
A．相交但直线不过圆心
B.相切
C.相离
D.相交且直线过圆心
．与圆
C:
35
同圆心，且面积为圆
C面积的一半的圆的方程为（
A.（x1）2
y2
18
B.（x1）2
9
（x
1）2
6
D.
3．圆心为C1,3的圆与直线l:
x2y30交于P、Q两点，O为坐标原点，且满
足OPOQ0，则圆C的方程为（）
A．（x
（y3）2
B．
C．（x
（y3）2
25
D．
3）2
4．P（x,y）是曲线
1cos
2）2
4）2的最大值为（
sin.
上任意一点，则（x
A．36
B．26
C．25
D．6
5．两个圆C1：
x2
2x2y
20与C2：
4x
10的公切线有且仅
有（
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
因为r1
r2
0,r1
4,O1O2
13，所以r1
O1O2
r1r2，所以两圆相
交，故两圆公切线有
2条。
6．从圆x2
2y
0外一点P
3,2
向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余
弦值为（
D．0
A．
圆x2
2y1
0的圆心为
M（1，1），半径为
1，从外一点P（3,2）向这个
圆
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