三维设计高考数学总复习基础知识+高频考点+解题训练第八章 抛物线教学案 新人教A版.docx

三维设计高考数学总复习基础知识+高频考点+解题训练第八章 抛物线教学案 新人教A版.docx

《三维设计高考数学总复习基础知识+高频考点+解题训练第八章 抛物线教学案 新人教A版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三维设计高考数学总复习基础知识+高频考点+解题训练第八章 抛物线教学案 新人教A版.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

三维设计高考数学总复习基础知识+高频考点+解题训练第八章抛物线教学案新人教A版

抛_物_线

[知识能否忆起]

1．抛物线定义

平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y2＝2px（p＞0）

y2＝－2px（p＞0）

图形

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

对称轴

x轴

顶点坐标

原点O（0,0）

焦点坐标

准线方程

x＝－

x＝

离心率

e＝1

标准方程

x2＝2py（p＞0）

x2＝－2py（p＞0）

图形

范围

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

对称轴

y轴

顶点坐标

原点O（0,0）

焦点坐标

准线方程

y＝－

y＝

离心率

e＝1

[小题能否全取]

1．（教材习题改编）已知抛物线的焦点坐标是（0，－3），则抛物线的标准方程是（　　）

A．x2＝－12y　　　　　　　B．x2＝12y

C．y2＝－12xD．y2＝12x

解析：

选A　∵＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.

2．（教材习题改编）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是（　　）

A.B．－

C．8D．－8

解析：

选B　抛物线的标准方程为x2＝y.

则a＜0且2＝－，得a＝－.

3．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为（　　）

A．4B．6

C．10D．16

解析：

选D　设点A（x1，y1），B（x2，y2），则依题意得焦点F（0，1），准线方程是y＝－1，直线l：

y＝x＋1，由消去x得y2－14y＋1＝0，y1＋y2＝14，|AB|＝|AF|＋|BF|＝（y1＋1）＋（y2＋1）＝（y1＋y2）＋2＝16.

4．（2012·郑州模拟）已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a＞0）的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为________．

解析：

依题意得，|OF|＝，又直线l的斜率为2，可知|AO|＝2|OF|＝，△AOF的面积等于·|AO|·|OF|＝＝4，则a2＝64.又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y2＝8x.

答案：

y2＝8x

5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．

解析：

其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，则P点横坐标xP＝4，由定义知|PF|＝xP＋＝6.

答案：

6

1.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．

2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．

3．由y2＝mx（m≠0）或x2＝my（m≠0）求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可．

抛物线的定义及应用

典题导入

[例1]　

（1）（2011·辽宁高考）已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）

A.　　　　　　　　　　　B．1

C.D.

（2）（2012·曲阜师大附中质检）在抛物线C：

y＝2x2上有一点P，若它到点A（1,3）的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（　　）

A．（－2,1）B．（1,2）

C．（2,1）D．（－1,2）

[自主解答]　

（1）如图，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，|CD|＝，所以中点C的横坐标为－＝.

（2）由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是（1,2）．

[答案]　

（1）C　

（2）B

由题悟法

涉及抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线（焦点）的距离问题求解．

以题试法

1．（2012·安徽高考）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.

解析：

由题意知，抛物线的焦点F的坐标为（1,0），又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.

将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝2，

∴A（2,2），∴直线AF的方程为y＝2（x－1）．

又解得或

由图知，点B的坐标为，

∴|BF|＝－（－1）＝.

答案：

抛物线的标准方程及几何性质

典题导入

[例2]　

（1）（2012·山东高考）已知双曲线C1：

－＝1（a>0，b>0）的离心率为2.若抛物线C2：

x2＝2py（p>0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（　　）

A．x2＝y　　　　　　B．x2＝y

C．x2＝8yD．x2＝16y

（2）（2012·四川高考）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（　　）

A．2B．2

C．4D．2

[自主解答]　

（1）∵双曲线C1：

－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，

∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：

x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.

（2）依题意，设抛物线方程是y2＝2px（p>0），则有2＋＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是（2，±2），|OM|＝＝2.

[答案]　

（1）D　

（2）B

由题悟法

1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式．

2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．

以题试法

2．（2012·南京模拟）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________.（　　）

解析：

过N作准线的垂线，垂足为H，则|NF|＝|NH|＝|MN|，如图．∴cos∠MNH＝，

∴∠MNH＝，∴∠NMF＝.

答案：

直线与抛物线的位置关系

典题导入

[例3]　（2012·福建高考）如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：

x2＝2py（p>0）上．

（1）求抛物线E的方程；

（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

[自主解答]　

（1）依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.

设B（x，y），则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12.

因为点B（4，12）在x2＝2py上，所以（4）2＝2p×12，解得p＝2.

故抛物线E的方程为x2＝4y.

（2）证明：

由

（1）知y＝x2，y′＝x.

设P（x0，y0），则x0≠0，y0＝x，且l的方程为

y－y0＝x0（x－x0），即y＝x0x－x.

由得

所以Q为.

设M（0，y1），令·＝0对满足y0＝x（x0≠0）的x0，y0恒成立．

由于＝（x0，y0－y1），＝，

由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，

即（y＋y1－2）＋（1－y1）y0＝0.（*）

由于（*）式对满足y0＝x（x0≠0）的y0恒成立，

所以解得y1＝1.

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0,1）．

由题悟法

1．设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.

（1）若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；

当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；

当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．

（2）若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．

2．与焦点弦有关的常用结论．（以右图为依据）

（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.

（2）|AB|＝x1＋x2＋p＝（θ为AB的倾斜角）．

（3）S△AOB＝（θ为AB的倾斜角）．

（4）＋为定值.

（5）以AB为直径的圆与准线相切．

（6）以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

（7）∠CFD＝90°.

以题试法

3．（2012·泉州模拟）如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：

y2＝4x的焦点F.

（1）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；

（2）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．

解：

（1）抛物线的焦点F（1,0），

当直线l的斜率不存在时，即x＝1不符合题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：

y＝k（x－1），即kx－y－k＝0.

所以，＝，解得k＝±.

故直线l的方程为：

y＝±（x－1），即x±y－1＝0.

（2）直线AB与抛物线相切，证明如下：

设A（x0，y0），则y＝4x0.

因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B（－x0,0）．

所以直线AB的方程为：

y＝（x＋x0），

整理得：

x＝－x0①

把方程①代入y2＝4x得：

y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，

Δ＝64x－16x0y＝64x－64x＝0，

所以直线AB与抛物线相切．

1．（2012·济南模拟）抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为（　　）

A．x2＝－4y　　　　　　B．y2＝－4x

C．x2＝－4yD．y2＝－4x

解析：

选A　由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在y轴上，下焦点坐标为（0，－c），其中c＝＝.∴抛物线焦点坐标为（0，－），∴抛物线方程为x2＝－4y.

2．（2012·东北三校联考）若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（　　）

A．2B．18

C．2或18D．4或16

解析：

选C　设P（x0，y0），则

∴36＝2p，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或18.

3．（2013·大同模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为（　　）

A．2B．1

C.D.

解析：

选A　注意到抛物线y2＝2px的准线方程是x＝－，曲线x2＋y2－6x－7＝0，即（x－3）2＋y2＝16是圆心为（3,0），半径为4的圆．于是依题意有＝4.又p＞0，因此有＋3＝4，解得p＝2.

4．（2012·郑州模拟）已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是（　　）

A.或B.或

C.或D.

解析：

选B　由焦点弦长公式|AB|＝得＝12，

所以sinθ＝，所以θ＝或.

5．（2012·唐山模拟）抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为（1,2）．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为（　　）

A．x＋y＝0B．x－y＝0

C．2x＋y－1＝0D．2x－y－1＝0

解析：

选C　∵点A在抛物线上，∴4＝2p，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，焦点F（1,0）

设点B（x1，y1），点C（x2，y2），则有y＝4x1，①

y