高中数学新人教版必修2教案第2章 232 平面与平面垂直的判定 含答案.docx

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高中数学新人教版必修2教案第2章232平面与平面垂直的判定含答案

2.3.2　平面与平面垂直的判定

1．理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．（难点、易错点）

2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．（重点）

3．熟悉线线垂直、线面垂直的转化．（重点）

[基础·初探]

教材整理1　二面角

阅读教材P67“练习”以下至P68“观察”以上的内容，完成下列问题．

1．定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（如图2313）．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．

记法：

αABβ，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作PABQ；当棱记为l时，可记作αlβ或PlQ.

图2313

2．二面角的平面角

（1）定义：

在二面角αlβ的棱l上任取一点O，如图2314所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．

（2）直二面角：

平面角是直角的二面角．

图2314

如图2315，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小等于________．

图2315

【解析】　∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，故∠BAC为二面角BPAC的平面角，又∠BAC＝90°.∴二面角BPAC的大小为90°.

【答案】　90°

教材整理2　平面与平面垂直的判定

阅读教材P68“观察”以下至P69“例3”以上的内容，完成下列问题．

1．平面与平面垂直

（1）定义：

如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（2）画法：

图2316

记作：

α⊥β.

2．判定定理

文字语言

图形语言

符号语言

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

⇒α⊥β

对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（　　）

A．m⊥n，m∥α，n∥β　　B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α

C．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β

【解析】　因为m∥n，n⊥β，则m⊥β，

又m⊂α，故α⊥β，所以C正确．

【答案】　C

[小组合作型]

二面角

　如图2317，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值．

图2317

【精彩点拨】　解答本题的关键是作出二面角的平面角，利用△BA1C1与△B1A1C1均为等腰三角形，根据二面角的平面角定义可作出平面角求解．

【自主解答】　取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，

所以BO⊥A1C1，

所以∠BOB1是二面角BA1C1B1的平面角．

因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.

设正方体的棱长为a，

则OB1＝a，

在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，

所以二面角BA1C1B1的正切值为.

1．求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．

2．为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．

[再练一题]

1．在四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，求二面角VABC的大小.

【解】　如图，作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB，取AB中点H，连接VH，OH，则VH⊥AB.

∵VH∩VO＝V，∴AB⊥平面VHO，∴AB⊥OH，

∴∠VHO为二面角VABC的平面角．

易求VH2＝VA2－AH2＝（）2－2＝4，

∴VH＝2.而OH＝AB＝1，∴∠VHO＝60°.

故二面角VABC的大小是60°.

平面与平面垂直的判定

　如图2318，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：

图2318

（1）DE＝DA；

（2）平面BDM⊥平面ECA；

（3）平面DEA⊥平面ECA.

【精彩点拨】　

（1）要证DE＝DA，只需证明Rt△EFD≌Rt△DBA；

（2）注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDM过平面ECA的一条垂线即可；（3）仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线．

【自主解答】　

（1）取EC的中点F，连接DF.

∵EC⊥BC，易知DF∥BC，

∴DF⊥EC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

∵EF＝EC＝BD，FD＝BC＝AB，

∴Rt△EFD≌Rt△DBA.

∴ED＝DA.

（2）取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊EC，

∴MN∥BD，∴N点在平面BDMN内．

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.

又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.

∵BN在平面MNBD内，

∴平面MNBD⊥平面ECA.

即平面BDM⊥平面ECA.

（3）∵BD綊EC，MN綊EC.

∴MNBD为平行四边形．∴DM∥BN.

由

（2）知BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.

又DM⊂平面DEA，

∴平面DEA⊥平面ECA.

1．证明平面与平面垂直的方法

（1）利用定义：

证明二面角的平面角为直角；

（2）利用面面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．

2．根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．

[再练一题]

2．如图2319所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：

平面PDC⊥平面PAD.

图2319

【证明】　∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.

又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD.

又∵CD⊂平面PDC.

∴平面PDC⊥平面PAD.

[探究共研型]

线面、面面垂直的综合应用

探究1　如图2320，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？

图2320

【提示】　∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.

同理可证PD⊥AD，

∵AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，

∴PD⊥平面ABCD.

探究2　上述问题中条件不变，请证明：

平面PAC⊥平面PBD.

【提示】　由探究1知PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，

∴AC⊥平面PBD.

∵AC⊂平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD.

探究3　通过以上探究，试总结证明线、面之间的垂直关系转化特征．

【提示】　线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：

线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握．

　如图2321所示，已知三棱锥PABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.

图2321

（1）求证：

平面PAC⊥平面ABC；

（2）求二面角DAPC的正弦值；

（3）若M为PB的中点，求三棱锥MBCD的体积．

【精彩点拨】　

（1）由△ABC是直角三角形以及△PDB为正三角形，寻找线线垂直，得线面垂直，进而求面面垂直．

（2）先找出二面角的平面角，再求其值．

（3）关键是由垂直找到三棱锥的高，再求其体积．

【自主解答】　

（1）证明：

∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20，

∴PD＝AB＝10，∴AP⊥PB.

又AP⊥PC，PB∩PC＝P，

∴AP⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.

又AC⊥BC，AP∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC.

∵BC⊂平面ABC，

∴平面PAC⊥平面ABC.

（2）∵PA⊥PC，且PA⊥PB，

∴∠BPC是二面角DAPC的平面角．

由

（1）知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，

∴sin∠BPC＝＝.

（3）∵D为AB的中点，M为PB的中点，

∴DM綊PA，且DM＝5，

由

（1）知PA⊥平面PBC，

∴DM⊥平面PBC，

∵S△BCM＝S△PBC＝2，

∴VMBCD＝VDBCM＝×5×2＝10.

1．利用判定定理，证明两个平面垂直，实质是转化为证明线面垂直，进一步转化为线线垂直问题求解．

2．求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：

线面的垂直，图形的对称性，与棱垂直的面等．

[再练一题]

3．在如图2322所示的四面体ABDC中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD＝1.

（1）求证：

平面ACD⊥平面ABC；

（2）求二面角CABD的大小．

图2322

【解】　

（1）证明：

∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.

又∵CD⊂平面ACD，

∴平面ACD⊥平面ABC.

（2）∵AB⊥BC，AB⊥CD，BC∩CD＝C，

∴AB⊥平面BCD.

∴AB⊥BD.

∴∠CBD是二面角CABD的平面角．

∵在Rt△BCD中，BC＝CD，

∴∠CBD＝45°.

∴二面角CABD的大小为45°.

1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面（　　）

A．有1个　　B．有2个

C．有无数个D．不存在

【解析】　由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．

【答案】　C

2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（　　）

A．平面ABC⊥平面ACD

B．平面ABC⊥平面ABD

C．平面ABC⊥平面BCD

D．平面ADC⊥平面BCD

【解析】　∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，

∴AD⊥平面BCD.

又∵AD⊂平面ADC，

∴平面ADC⊥平面BCD.

【答案】　D

3．如图2323，在正方体ABCDA1B1C1D1中，

图2323

（1）二面角D1ABD的大小是________；

（2）二面角A1ABD的大小是________．

【解析】　

（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面AD1，则AB⊥AD1.又AB⊥AD，

所以∠D1AD即为二面角D1ABD的平面角，在Rt△D1AD中，∠D1AD＝45°.所以二面角D1ABD的平面角为45°.

（2）与

（1）同理，∠A1AD为二面角A1ABD的平面角，所以二面角A1ABD的大小为90°.

【答案】　

（1）45°　

（2）90°

4．下列四个命题中，正确的序号有________.

①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；

②α∥β，β∥γ，则α∥γ；

③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；

④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.

【解析】　③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．

【答案】　①②

5．在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：

平面ABD⊥平面BCD.

【证明】　如图所示，∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，

∴取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.

∴∠AEC