人教版九年级数学上册全册教案4Word格式文档下载.docx

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（1）随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？

直线l与⊙O的位置关系如何变化？

（2）当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？

此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？

为什么？

[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．

[生]

（1）如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1＜r，这时直线l1与⊙O的位置关系是相交；

当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d＝r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；

当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2＜r，这时直线l与⊙O的位置关系是相离．

[师]回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°

时，d达到最大．此时d＝r；

之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第

（2）题就解决了．

[生]

（2）当∠α＝90°

时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切．

[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？

请大家互相交流．

[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点．

[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：

经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．

2．做一做

已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．

分析：

根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：

经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．

[生]如下图．

（1）连接OA．

（2）过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．

3．如何作三角形的内切圆．

如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．

假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．

解：

（1）作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I（如下图）．

（2）过I作ID⊥BC，垂足为D．

（3）以I为圆心，以ID为半径作⊙I．

⊙I就是所求的圆．

[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？

[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的．

[师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribedcircleoftriangle），内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）．

4．例题讲解

3．5C）

如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°

，AT＝AB．

求证：

AT是⊙O的切线．

AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°

，所以∠ATB＝45°

．

由三角形内角和可证∠TAB＝90°

，即AT⊥AB．

请大家自己写步骤．

[生]证明：

∵AB＝AT，∠ABT＝45°

∴∠ATB＝∠ABT＝45°

∴∠TAB＝180°

－∠ABT－∠ATB＝90°

∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．

Ⅲ．课堂练习

随堂练习

Ⅳ．课时小结

本节课学习了以下内容：

1．探索切线的判定条件．

2．会经过圆上一点作圆的切线．

4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．

Ⅴ．课后作业

习题3．8

Ⅵ．活动与探究

已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．

DC是⊙O的切线．

要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°

证明：

连结OD．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，

∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∴∠3＝∠4．

∵OD＝OB，OC＝OC，

∴△ODC≌△OBC．

∴∠ODC＝∠OBC．

∵BC是⊙O的切线，

∴∠OBC＝90°

∴∠ODC＝90°

∴DC是⊙O的切线．

板书设计

§

3．5．2直线和圆的位置关系

（二）

一、1．探索切线的判定条件

3．如何作三角形的内切圆

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

圆和圆的位置关系

1．了解圆与圆之间的几种位置关系．

2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．

1．经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．

2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．

1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．

探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．

探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．

教师讲解与学生合作交流探索法

3．6A）

3．6B）

3．6C）

[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；

还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢？

没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关探讨．

一、想一想

[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢？

[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；

车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；

用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．

[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么．

二、探索圆和圆的位置关系

在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？

[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．

[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：

[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？

从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．

[生]如图：

（1）外离：

两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；

（2）外切：

两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；

（3）相交：

两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；

（4）内切：

两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；

（5）内含：

两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．

[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗？

[生]外离和内含都没有公共点；

外切和内切都有一个公共点；

相交有两个公共点．

[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．

经过大家的讨论我们可知：

（1）如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：

外离、外切、相交、内切、内含．

（2）如果只从公共点的个数来考虑分三种：

相离、相切、相交，并且相离，相切

三、例题讲解

两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示（点O，O＇是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

因为两个圆大小相同，所以半径OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O＇P，即∠OPT＝∠O＇PN＝90°

，所以∠TPN等于360°

减去∠OPT＋∠O＇PN＋∠OPO＇即可．

∵OP＝OO＇＝PO＇，

∴△PO＇O是一个等边三角形．

∴∠OPO＇＝60°

又∵TP与NP分别为两圆的切线，

∴∠TPO＝∠NPO＇＝90°

∴∠TPN＝360°

－2×

90°

－60°

＝120°

四、想一想

如图

（1），⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

切点与对称轴有什么位置关系？

如果⊙O1与⊙O2内切呢？

〔如图

（2）〕

[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢？

这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：

第一步是假设结论不成立；

第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；

第三步是证明假设错误，则原来的结论成立．

假设切点T不在O1O2上．

因为圆是轴对称图形，所以T关于O1O2的对称点T＇也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假设不成立．

则T在O1O2上．

由此可知图

（1）是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上．

在图

（2）中应有同样的结论．

通过上面的讨论，我们可以得出结论：

两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图

（1）和图

（2）都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．

五、议一议

设两圆的半径分别为R和r．

（1）当两圆外切时，两圆圆心之间的距离（简称圆心距）d与R和r具有怎样的关系？

反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？

（2）当两圆内切时（R＞r），圆心距d与R和r具有怎样的关系？

反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？

[师]如图，请大家互相交流．

[生]在图

（1）中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A＋O2A＝R＋r，即d＝R＋r；

反之，当d＝R＋r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．

在图

（2）中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B．因为切点B在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1B－O2B，即d＝R－r；

反之，当d＝R－r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2＝O1B－O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．

[师]由此可知，当两圆相外切时，有d＝R＋r，反过来，当d＝R＋r时，两圆相外切，即两圆相外切d＝R＋r．

当两圆相内切时，有d＝R－r，反过来，当d＝R－r时，两圆相内切，即两圆相内切d＝R－r．

本节课学习了如下内容：

1．探索圆和圆的五种位置关系；

2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；

3．探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系．

习题3．9

已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径．

根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O3的半径为r，则O1O3＝O2O3＝R＋r，连接OO3就有OO3⊥O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r．

连接O2O3、OO3，

∴∠O2OO3＝90°

，OO3＝2R－r，

O2O3＝R＋r，OO2＝R．

∴（R＋r）2＝（2R－r）2＋R2．

∴r＝R．

3．6圆和圆的位置关系

一、1．想一想2．探索圆和圆的位置关系

3．例题讲解4．想一想5．议一议

弧长及扇形的面积

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．

2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．

2．了解弧长及扇形面积计算公式．

3．会用公式解决问题．

1．探索弧长及扇形面积计算公式．

2．用公式解决实际问题．

学生互相交流探索法

2．投影片四张

3．7A）

3．7B）

3．7C）

第四张：

3．7D）

[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？

它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？

本节课我们将进行探索．

一、复习

1．圆的周长如何计算？

2．圆的面积如何计算？

3．圆的圆心角是多少度？

[生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°

二、探索弧长的计算公式

如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．

（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？

（2）转动轮转1°

，传送带上的物品A被传送多少厘米？

（3）转动轮转n°

[师]分析：

转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；

因为圆的周长对应360°

的圆心角，所以转动轮转1°

，传送带上的物品A被传送圆周长的；

转动轮转n°

，传送带上的物品A被传送转1°

时传送距离的n倍．

[生]解：

（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×

10＝20πcm；

，传送带上的物品A被传送cm；

，传送带上的物品A被传送n×

＝cm．

[师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°

的圆心角所对的弧长的计算公式吗？

[生]根据刚才的讨论可知，360°

的圆心角对应圆周长2πR，那么1°

的圆心角对应的弧长为，n°

的圆心角对应的弧长应为1°

的圆心角对应的弧长的n倍，即n×

．

[师]表述得非常棒．

在半径为R的圆中，n°

的圆心角所对的弧长（arclength）的计算公式为：

l＝．

下面我们看弧长公式的运用．

制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长（结果精确到0.1mm）．

要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l＝可求得的长，其中n为圆心角，R为半径．

R＝40mm，n＝110．

∴的长＝πR＝×

40π≈76.8mm．

因此，管道的展直长度约为76.8mm．

在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．

（1）这只狗的最大活动区域有多大？

（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°

角，那么它的最大活动区域有多大？

[师]请大家互相交流．

[生]

（1）如图

（1），这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；

（2）如图

（2），狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°

的圆心角对应的圆面积，1°

的圆心角对应圆面积的，即×

9π＝，n°

的圆心角对应的圆面积为n×

＝．

[师]请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式．

[生]如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°

的圆心角对应的扇形面积为，n°

的圆心角对应的扇形面积为n·

．因此扇形面积的计算公式为S扇形＝πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角．

五、弧长与扇形面积的关系

[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°

的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°

的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？

[生]∵l＝πR，S扇形＝πR2，

∴πR2＝R·

πR．∴S扇形＝lR．

六、扇形面积的应用

扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°

，求的长（结果精确到0.1cm）和扇形AOB的面积（结果精确到0.1cm2）

要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．

的长＝π×

12≈25.1cm．

S扇形＝π×

122≈150.7cm2．

因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2．

1．探索弧长的计算公式l＝πR，并运用公式进行计算；

2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算；

3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．

习题3．10

如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm，的长为10πcm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积．

要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．

设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°

，根据已知条件有：

得．

∴3（R＋12）＝5R，∴R＝18．

∴OC＝18＋12＝30．

∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝×

10π×

30－×

6π×

18＝96πcm2．

所以阴影部分的面积为96πcm2．

3．7弧长及扇形的面积

一、1．复习圆的周长和面积计算公式；

2．探索弧长的计算公式；

3．例题讲解；

4．想一想；

5．弧长及扇形面积的关系；

6．扇形面积的应用．

圆锥的侧面积

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．

2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．

1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．

2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．

经历探索圆锥侧面积计算公式．

观察——想象——实践——总结法

一个圆锥模型（纸做）

投影片两张

3．8A）

3．8B）

[师]大家见过圆锥吗？

你能举出实例吗？

[主]见过，如漏斗、蒙古包．

[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？

[生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．

[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？

应怎样计算它的面积呢？

本节课我们将解决这些问题．

Ⅲ．新课讲解

一、探索圆锥的侧面展开图的形状

[师]（向学生展示圆锥模型）请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状．

[生]圆锥的侧面展开图是扇形．

[师]能说说理由吗？

[生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是扇形．

[师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理由吗？

[生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型．

[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？

下面我就给大家做个演示（把圆锥沿一母线剪开），请大家观察侧面展开图是什么形状的？

[生]是扇形．

[师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？

这将是我们进一步研究的对象．