学年第二学期高二数学《数学归纳法》学案含答案Word下载.docx

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②探求递推公式要善于观察式子的变化规律，观察n处在哪个位置.

③在书写f（k＋1）时，一定要把包含f（k）的式子写出来，尤其是f（k）中的最后一项.除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚.

方向1　用数学归纳法证明恒成立问题

【例1－1】　求证：

（n＋1）（n＋2）·

…·

（n＋n）＝2n·

1·

3·

（2n－1）（n∈N*）.

证明　

（1）当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×

1＝2，左边＝右边，等式成立.

（2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，

即（k＋1）（k＋2）·

（k＋k）＝2k·

（2k－1），

那么，当n＝k＋1时，

左边＝（k＋2）（k＋3）·

（k＋k）（k＋k＋1）（k＋k＋2）

＝（k＋1）（k＋2）（k＋3）·

（k＋k）·

＝2k·

（2k－1）（2k＋1）·

2

＝2k＋1·

（2k－1）·

[2（k＋1）－1]＝右边.

∴当n＝k＋1时，等式也成立.

由

（1）

（2）可知，对一切n∈N*，原等式均成立.

方向2　用数学归纳法证明不等式问题

【例1－2】　已知{an}为等比数列且an＝2n－1，记bn＝2（log2an＋1）（n∈N*），用数学归纳法证明对任意的n∈N*，不等式·

·

＞成立.

证明　由已知条件可得bn＝2n（n∈N*），

∴所证不等式为·

＞.

（1）当n＝1时，左边＝，右边＝，

左边＞右边，

∴不等式成立.

（2）假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立.

即·

＞，

则当n＝k＋1时，·

＞·

＝.

要证当n＝k＋1时，不等式成立，只需证≥，

即证≥，

由基本不等式，得＝≥成立，

∴≥成立，

∴当n＝k＋1时，不等式成立.

由

（1）

（2）可知，对一切n∈N*，原不等式均成立.

方向3　用数学归纳法证明整除问题

【例1－3】　求证n∈N*时，an＋1＋（a＋1）2n－1能被a2＋a＋1整除.

证明　

（1）当n＝1时，a1＋1＋（a＋1）2×

1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立.

（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时，ak＋1＋（a＋1）2k－1能被a2＋a＋1整除，

则当n＝k＋1时，

ak＋2＋（a＋1）2k＋1＝a·

ak＋1＋（a＋1）2·

（a＋1）2k－1

＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a＋1）2（a＋1）2k－1－a（a＋1）2k－1

＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a2＋a＋1）（a＋1）2k－1.

由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，

故当n＝k＋1时命题成立.

由

（1）

（2）知，对任意n∈N*，命题成立.

方向4　用数学归纳法解决平面几何问题

【例1－4】　已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：

这n个平面把空间分成f（n）＝n（n－1）＋2部分.

证明　

（1）当n＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f

（1）＝1×

（1－1）＋2＝2（部分），所以命题正确.

（2）假设当n＝k（k∈N*）时，命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f（k）＝k（k－1）＋2（部分），

当n＝k＋1时，第k＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分，

故f（k＋1）＝f（k）＋2k＝k（k－1）＋2＋2k＝k（k－1＋2）＋2＝（k＋1）[（k＋1）－1]＋2（部分），

即当n＝k＋1时，命题也成立.

根据

（1）

（2），知n个符合条件的平面把空间分成f（n）＝n（n－1）＋2部分.

规律方法　1.用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项

（1）明确首先取值n0，并验证真假（必不可少）；

（2）“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式；

（3）分析“n＝k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；

（4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：

因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.

2.利用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中应注意：

（1）证明不等式的第二步即从n＝k到n＝k＋1的推导过程中要应用归纳假设.

（2）在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用.

3.数学归纳法证明有关数或整式的整除问题

（1）原理：

若干个数（或整式）都能被某一个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除.

（2）用“配凑法”完成从“k”到“k＋1”的过渡：

由f（k）⇒f（k＋1）的整式变形是难点，找出它们之间的差异，从而决定n＝k＋1时，f（k＋1）做何种变形，一般地，n＝k＋1时，将f（k＋1）的整式利用加、减项，拆、并项等恒等变形的方法，配凑成f（k）的形式，再利用归纳假设和基本事实来证明.

4.用数学归纳法证明几何问题

（1）用数学归纳法可以证明与正整数n有关的几何问题，常见的形式有交点的个数问题，直线的条数问题，划分区域问题，以及构成的角度问题.

（2）证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素由k个变成k＋1个，所证的几何量将增加多少，这需要用到几何知识或借助于几何图形来分析.

（3）几何问题的证明：

一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明.

题型二　归纳、猜想、证明

【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝，且a1＝.

（1）求a2，a3；

（2）猜想数列{an}的通项公式，并证明.

解　

（1）a2＝＝，a1＝，

则a2＝，类似地求得a3＝.

（2）由a1＝，a2＝，a3＝，…，

猜得：

an＝.

证明：

①当n＝1时，由a1＝可知等式成立；

②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，

那么，当n＝k＋1时，由题设an＝，

得ak＝，ak＋1＝，

所以Sk＝k（2k－1）ak＝k（2k－1）＝，

Sk＋1＝（k＋1）（2k＋1）ak＋1，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝（k＋1）（2k＋1）ak＋1－.

因此，k（2k＋3）ak＋1＝，所以ak＋1＝＝.

这就证明了当n＝k＋1时命题成立.

由①②可知命题对任何n∈N*都成立.

规律方法　1.“归纳—猜想—证明”的解题步骤

2.归纳法的作用

归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想.“观察—猜想—证明”是解答与自然数有关命题的有效途径.

【训练】　已知数列{an}的前n项和Sn满足：

Sn＝＋－1，且an>

0，n∈N*.

（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；

（2）证明通项公式的正确性.

（1）解　当n＝1时，

由已知得a1＝＋－1，

a＋2a1－2＝0.

∴a1＝－1（an>

0）.

当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，

将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.

∴a2＝－（an>

同理可得a3＝－.

猜想an＝－（n∈N*）.

（2）证明　①由

（1）知，当n＝1，2，3时，通项公式成立.

②假设当n＝k（k≥3，k∈N*）时，通项公式成立，

即ak＝－.

由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，

将ak＝－代入上式并整理得

a＋2ak＋1－2＝0，

解得ak＋1＝－（an>

0），

即当n＝k＋1时，通项公式也成立.

由①和②可知，对所有n∈N*，an＝－都成立.

课堂达标

1.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝（a≠1，n∈N*），在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是（　　）

A.1B.1＋a

C.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a4

解析　当n＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1＋a，故选B.

答案　B

2.用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞（n≥2）的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（　　）

A.增加了一项

B.增加了两项，

C.增加了两项，，又减少了一项

D.增加了一项，又减少了一项

解析　n＝k时，左边为＋＋…＋，①

n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，②

比较①②可知C正确.

答案　C

3.已知f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*），证明不等式f（2n）>

时，f（2k＋1）比f（2k）多的项数是______.

解析　观察f（n）的表达式可知，右端分母是连续的正整数，

f（2k）＝1＋＋＋…＋，而f（2k＋1）＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.

因此f（2k＋1）比f（2k）多了2k项.

答案　2k

4.用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3，n∈N*）第一步应验证________.

解析　n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立.

答案　n＝3时是否成立

5.用数学归纳法证明＋＋…＋＝（n∈N*）.

证明　①当n＝1时，左边＝＝，

右边＝＝，

左边＝右边.

所以当n＝1时等式成立.

②假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即：

＋＋…＋＝，

则当n＝k＋1时，左边＝＋

＝＋＝

＝＝＝右边.

∴当n＝k＋1时等式成立.

由①②知，对一切n∈N*等式成立.

课堂小结

1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可.

有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；

有二无一，第二步就失去了递推的基础.

2.归纳假设的作用.

在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：

（1）归纳假设就是已知条件；

（2）在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设.

3.利用归纳假设的技巧.

在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.

4.数学归纳法的适用范围.

数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n项和等问题中.

基础过关

1.某个与正整数有关的命题：

如果当n＝k（k∈N*）时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得（　　）

A.当n＝4时命题不成立

B.当n＝6时命题不成立

C.当n＝4时命题成立

D.当n＝6时命题成立

解析　因为当n＝k（k∈N*）时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立.

答案　A

2.满足1×

2＋2×

3＋3×

4＋…＋n×

（n＋1）＝3n2－3n＋2的自然数n等于（　　）

A.1B.1或2C.1，2，3D.1，2，3，4

解析　当n＝1，2，3时满足，当n＝4时，左边＝1×

4＋4×

5＝40，右边＝3×

42－3×

4＋2＝38.所以左边＞右边，即n＝4不满足.

3.记凸k边形的内角和为f（k），则f（k＋1）－f（k）＝（　　）

A.B.πC.D.2π

解析　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f（k＋1）－f（k）＝π.

4.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×

4＋2×

7＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2，则当n＝k＋1时，表达式为______________.

答案　1×

7＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）（3k＋4）＝（k＋1）（k＋2）2

5.用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为____________.

解析　（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k2＋3k＋6＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.

∵k（k＋1）为偶数，∴3k（k＋1）能被6整除，

∴（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.

答案　（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6

6.用数学归纳法证明·

＝（n≥2，n∈N*）.

证明　

（1）当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，所以左边＝右边，所以n＝2时等式成立.

（2）假设n＝k（k≥2，k∈N*）时等式成立，即·

＝，

那么n＝k＋1时，·

＝＝·

＝＝，

即n＝k＋1时等式成立.

综合

（1）

（2）知，对任意n≥2，n∈N*等式恒成立.

7.平面内有n（n∈N*，n≥2）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f（n）＝.

证明　

（1）当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f

（2）＝×

2×

（2－1）＝1，

∴当n＝2时，命题成立.

（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥2）时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f（k）＝k（k－1），

任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f（k）＝k（k－1），

l与其他k条直线的交点个数为k，

从而k＋1条直线共有f（k）＋k个交点，

即f（k＋1）＝f（k）＋k＝k（k－1）＋k＝k（k－1＋2）＝k（k＋1）＝（k＋1）[（k＋1）－1]，

∴当n＝k＋1时，命题成立.

由

（1）

（2）可知，对任意n∈N*（n≥2）命题都成立.

能力提升

8.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an（n≥2），而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于（　　）

A.B.

C.D.

解析　a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.

9.用数学归纳法证明“n3＋（n＋1）3＋（n＋2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（　　）

A.（k＋3）3B.（k＋2）3

C.（k＋1）3D.（k＋1）3＋（k＋2）3

解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，

即k3＋（k＋1）3＋（k＋2）3能被9整除.

当n＝k＋1时，（k＋1）3＋（k＋2）3＋（k＋3）3为了能用上面的归纳假设，只需将（k＋3）3展开，让其出现k3即可.

10.用数学归纳法证明“2n>

n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取________.

答案　5

11.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*）的过程如下：

（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.

（2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是________.

解析　本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.

答案　未用归纳假设

12.设f（x）＝，x1＝1，xn＝f（xn－1）（n≥2，n∈N*）.

（1）求x2，x3，x4的值；

（2）归纳数列{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明.

解　

（1）x2＝f（x1）＝，x3＝f（x2）＝＝＝，x4＝f（x3）＝＝.

（2）根据计算结果，可以归纳出xn＝.

①当n＝1时，x1＝＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立.

②假设当n＝k（k∈N*）时，公式成立，即xk＝，

那么，xk＋1＝＝

所以当n＝k＋1时，公式也成立.

由①②知，当n∈N*时，xn＝.

13.（选做题）在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列（n∈N*），求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测数列{an}，{bn}的通项公式，证明你的结论.

解　由题意得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，

由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.

猜测an＝n（n＋1），bn＝（n＋1）2，n∈N*.

用数学归纳法证明如下：

①当n＝1时，由a1＝2，b1＝4可得结论成立.

②假设当n＝k（k≥2且k∈N*）时，结论成立，

即ak＝k（k＋1），bk＝（k＋1）2，

那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝2bk－ak＝2（k＋1）2－k（k＋1）

＝（k＋1）（k＋2）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]，

bk＋1＝＝

＝（k＋2）2＝[（k＋1）＋1]2.

所以当n＝k＋1时，结论也成立.

由①②可知，an＝n（n＋1），bn＝（n＋1）2对一切n∈N*都成立.