学年第二学期高二数学《数学归纳法》学案含答案Word下载.docx
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②探求递推公式要善于观察式子的变化规律,观察n处在哪个位置.
③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.
方向1 用数学归纳法证明恒成立问题
【例1-1】 求证:
(n+1)(n+2)·
…·
(n+n)=2n·
1·
3·
(2n-1)(n∈N*).
证明
(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边=21×
1=2,左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,
即(k+1)(k+2)·
(k+k)=2k·
(2k-1),
那么,当n=k+1时,
左边=(k+2)(k+3)·
(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
=(k+1)(k+2)(k+3)·
(k+k)·
=2k·
(2k-1)(2k+1)·
2
=2k+1·
(2k-1)·
[2(k+1)-1]=右边.
∴当n=k+1时,等式也成立.
由
(1)
(2)可知,对一切n∈N*,原等式均成立.
方向2 用数学归纳法证明不等式问题
【例1-2】 已知{an}为等比数列且an=2n-1,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),用数学归纳法证明对任意的n∈N*,不等式·
·
>成立.
证明 由已知条件可得bn=2n(n∈N*),
∴所证不等式为·
>.
(1)当n=1时,左边=,右边=,
左边>右边,
∴不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立.
即·
>,
则当n=k+1时,·
>·
=.
要证当n=k+1时,不等式成立,只需证≥,
即证≥,
由基本不等式,得=≥成立,
∴≥成立,
∴当n=k+1时,不等式成立.
由
(1)
(2)可知,对一切n∈N*,原不等式均成立.
方向3 用数学归纳法证明整除问题
【例1-3】 求证n∈N*时,an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.
证明
(1)当n=1时,a1+1+(a+1)2×
1-1=a2+a+1,命题显然成立.
(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,
则当n=k+1时,
ak+2+(a+1)2k+1=a·
ak+1+(a+1)2·
(a+1)2k-1
=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1
=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1.
由归纳假设,上式中的两项均能被a2+a+1整除,
故当n=k+1时命题成立.
由
(1)
(2)知,对任意n∈N*,命题成立.
方向4 用数学归纳法解决平面几何问题
【例1-4】 已知n个平面都过同一点,但其中任何三个平面都不经过同一直线,求证:
这n个平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.
证明
(1)当n=1时,1个平面把空间分成2部分,而f
(1)=1×
(1-1)+2=2(部分),所以命题正确.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,命题成立,即k个符合条件的平面把空间分为f(k)=k(k-1)+2(部分),
当n=k+1时,第k+1个平面和其他每一个平面相交,使其所分成的空间都增加2部分,所以共增加2k部分,
故f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2+2k=k(k-1+2)+2=(k+1)[(k+1)-1]+2(部分),
即当n=k+1时,命题也成立.
根据
(1)
(2),知n个符合条件的平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.
规律方法 1.用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项
(1)明确首先取值n0,并验证真假(必不可少);
(2)“假设n=k时命题正确”并写出命题形式;
(3)分析“n=k+1时”命题是什么,并找出与“n=k”时命题形式的差别,弄清左端应增加的项;
(4)明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:
因式分解、添拆项、配方等,并用上假设.
2.利用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一,应用过程中应注意:
(1)证明不等式的第二步即从n=k到n=k+1的推导过程中要应用归纳假设.
(2)在凑证明目标时,比较法、综合法、分析法都适用.
3.数学归纳法证明有关数或整式的整除问题
(1)原理:
若干个数(或整式)都能被某一个数(或整式)整除,则其和、差、积也能被这个数(或整式)整除.
(2)用“配凑法”完成从“k”到“k+1”的过渡:
由f(k)⇒f(k+1)的整式变形是难点,找出它们之间的差异,从而决定n=k+1时,f(k+1)做何种变形,一般地,n=k+1时,将f(k+1)的整式利用加、减项,拆、并项等恒等变形的方法,配凑成f(k)的形式,再利用归纳假设和基本事实来证明.
4.用数学归纳法证明几何问题
(1)用数学归纳法可以证明与正整数n有关的几何问题,常见的形式有交点的个数问题,直线的条数问题,划分区域问题,以及构成的角度问题.
(2)证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素由k个变成k+1个,所证的几何量将增加多少,这需要用到几何知识或借助于几何图形来分析.
(3)几何问题的证明:
一要注意数形结合,二要注意要有必要的文字说明.
题型二 归纳、猜想、证明
【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,其中an=,且a1=.
(1)求a2,a3;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
解
(1)a2==,a1=,
则a2=,类似地求得a3=.
(2)由a1=,a2=,a3=,…,
猜得:
an=.
证明:
①当n=1时,由a1=可知等式成立;
②假设当n=k时猜想成立,即ak=,
那么,当n=k+1时,由题设an=,
得ak=,ak+1=,
所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)=,
Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,
ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-.
因此,k(2k+3)ak+1=,所以ak+1==.
这就证明了当n=k+1时命题成立.
由①②可知命题对任何n∈N*都成立.
规律方法 1.“归纳—猜想—证明”的解题步骤
2.归纳法的作用
归纳法是一种推理方法,数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想,而数学归纳法的作用是证明猜想.“观察—猜想—证明”是解答与自然数有关命题的有效途径.
【训练】 已知数列{an}的前n项和Sn满足:
Sn=+-1,且an>
0,n∈N*.
(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;
(2)证明通项公式的正确性.
(1)解 当n=1时,
由已知得a1=+-1,
a+2a1-2=0.
∴a1=-1(an>
0).
当n=2时,由已知得a1+a2=+-1,
将a1=-1代入并整理得a+2a2-2=0.
∴a2=-(an>
同理可得a3=-.
猜想an=-(n∈N*).
(2)证明 ①由
(1)知,当n=1,2,3时,通项公式成立.
②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时,通项公式成立,
即ak=-.
由于ak+1=Sk+1-Sk=+--,
将ak=-代入上式并整理得
a+2ak+1-2=0,
解得ak+1=-(an>
0),
即当n=k+1时,通项公式也成立.
由①和②可知,对所有n∈N*,an=-都成立.
课堂达标
1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an=(a≠1,n∈N*),在验证当n=1时,左边计算所得的式子是( )
A.1B.1+a
C.1+a+a2D.1+a+a2+a4
解析 当n=1时,左边的最高次数为1,即最后一项为a,左边是1+a,故选B.
答案 B
2.用数学归纳法证明不等式+++…+>(n≥2)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式的左边( )
A.增加了一项
B.增加了两项,
C.增加了两项,,又减少了一项
D.增加了一项,又减少了一项
解析 n=k时,左边为++…+,①
n=k+1时,左边为++…+++,②
比较①②可知C正确.
答案 C
3.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),证明不等式f(2n)>
时,f(2k+1)比f(2k)多的项数是______.
解析 观察f(n)的表达式可知,右端分母是连续的正整数,
f(2k)=1+++…+,而f(2k+1)=1+++…++++…+.
因此f(2k+1)比f(2k)多了2k项.
答案 2k
4.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*)第一步应验证________.
解析 n的最小值为3,所以第一步验证n=3时是否成立.
答案 n=3时是否成立
5.用数学归纳法证明++…+=(n∈N*).
证明 ①当n=1时,左边==,
右边==,
左边=右边.
所以当n=1时等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即:
++…+=,
则当n=k+1时,左边=+
=+=
===右边.
∴当n=k+1时等式成立.
由①②知,对一切n∈N*等式成立.
课堂小结
1.数学归纳法的两个步骤相互依存,缺一不可.
有一无二,是不完全归纳法,结论不一定可靠;
有二无一,第二步就失去了递推的基础.
2.归纳假设的作用.
在用数学归纳法证明问题时,对于归纳假设要注意以下两点:
(1)归纳假设就是已知条件;
(2)在推证n=k+1时,必须用上归纳假设.
3.利用归纳假设的技巧.
在推证n=k+1时,可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标,又要掌握n=k与n=k+1之间的关系.在推证时,分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.
4.数学归纳法的适用范围.
数学归纳法是直接证明的一种重要方法,应用十分广泛,主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n项和等问题中.
基础过关
1.某个与正整数有关的命题:
如果当n=k(k∈N*)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时命题不成立,那么可以推得( )
A.当n=4时命题不成立
B.当n=6时命题不成立
C.当n=4时命题成立
D.当n=6时命题成立
解析 因为当n=k(k∈N*)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立,所以假设当n=4时命题成立,那么n=5时命题也成立,这与已知矛盾,所以当n=4时命题不成立.
答案 A
2.满足1×
2+2×
3+3×
4+…+n×
(n+1)=3n2-3n+2的自然数n等于( )
A.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4
解析 当n=1,2,3时满足,当n=4时,左边=1×
4+4×
5=40,右边=3×
42-3×
4+2=38.所以左边>右边,即n=4不满足.
3.记凸k边形的内角和为f(k),则f(k+1)-f(k)=( )
A.B.πC.D.2π
解析 由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形,故f(k+1)-f(k)=π.
4.用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为1×
4+2×
7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为______________.
答案 1×
7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
5.用数学归纳法证明n3+5n能被6整除的过程中,当n=k+1时,式子(k+1)3+5(k+1)应变形为____________.
解析 (k+1)3+5(k+1)=k3+1+3k2+3k+5k+5=(k3+5k)+3k2+3k+6=(k3+5k)+3k(k+1)+6.
∵k(k+1)为偶数,∴3k(k+1)能被6整除,
∴(k+1)3+5(k+1)应变形为(k3+5k)+3k(k+1)+6.
答案 (k3+5k)+3k(k+1)+6
6.用数学归纳法证明·
=(n≥2,n∈N*).
证明
(1)当n=2时,左边=1-=,右边==,所以左边=右边,所以n=2时等式成立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,即·
=,
那么n=k+1时,·
==·
==,
即n=k+1时等式成立.
综合
(1)
(2)知,对任意n≥2,n∈N*等式恒成立.
7.平面内有n(n∈N*,n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,求证交点的个数f(n)=.
证明
(1)当n=2时,两条直线的交点只有一个,又f
(2)=×
2×
(2-1)=1,
∴当n=2时,命题成立.
(2)假设当n=k(k∈N*,k≥2)时命题成立,即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)=k(k-1),
任取一条直线l,除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)=k(k-1),
l与其他k条直线的交点个数为k,
从而k+1条直线共有f(k)+k个交点,
即f(k+1)=f(k)+k=k(k-1)+k=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)[(k+1)-1],
∴当n=k+1时,命题成立.
由
(1)
(2)可知,对任意n∈N*(n≥2)命题都成立.
能力提升
8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于( )
A.B.
C.D.
解析 a2=,a3=,a4=,猜想an=.
9.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开( )
A.(k+3)3B.(k+2)3
C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3
解析 假设当n=k时,原式能被9整除,
即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.
当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.
10.用数学归纳法证明“2n>
n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取________.
答案 5
11.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:
(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1.所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*,等式都成立.上述证明的错误是________.
解析 本题在由n=k成立,证n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上假设条件,这与数学归纳法的要求不符.
答案 未用归纳假设
12.设f(x)=,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N*).
(1)求x2,x3,x4的值;
(2)归纳数列{xn}的通项公式,并用数学归纳法证明.
解
(1)x2=f(x1)=,x3=f(x2)===,x4=f(x3)==.
(2)根据计算结果,可以归纳出xn=.
①当n=1时,x1==1,与归纳相符,归纳出的公式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,公式成立,即xk=,
那么,xk+1==
所以当n=k+1时,公式也成立.
由①②知,当n∈N*时,xn=.
13.(选做题)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*),求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测数列{an},{bn}的通项公式,证明你的结论.
解 由题意得2bn=an+an+1,a=bnbn+1,
由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.
猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2,n∈N*.
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,由a1=2,b1=4可得结论成立.
②假设当n=k(k≥2且k∈N*)时,结论成立,
即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,
那么当n=k+1时,
ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)
=(k+1)(k+2)=(k+1)[(k+1)+1],
bk+1==
=(k+2)2=[(k+1)+1]2.
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切n∈N*都成立.