高考数学全国乙卷理科考前抢分必做高考大题纵横练二 Word版含答案.docx

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高考数学全国乙卷理科考前抢分必做高考大题纵横练二Word版含答案

高考大题纵横练

（二）

.在△中，，，分别为内角，，的对边，且＋－＝.

（）求角的大小；

（）设函数（）＝＋，＝，（）＝＋，求.

解（）在△中，∵＋－＝，

由余弦定理可得＝＝＝，

∵<<π，∴＝.

（）（）＝＋

＝＋＋＝（＋）＋，

（）＝（＋）＋＝＋，∴＝.

∵＝，

即＝，

∴＝＝.

.如图，已知在长方体－中，＝＝＝，点是棱上一点，且＝λ.

（）证明：

⊥；

（）若二面角－－的余弦值为，求与平面所成的角.

（）证明以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）.

因为＝λ，所以（，，），

于是＝（，，－），＝（－，，－）.

所以·＝（，，－）·（－，，－）＝，

即⊥，故⊥.

（或用几何法先证出⊥平面，然后证出⊥）

（）解因为⊥平面，

所以平面的一个法向量为＝（，，）.

又＝（，－，），＝（，－，），

设平面的法向量为＝（，，），

则·＝＋（－）＝，

·＝－＋＝，

所以向量的一个解是（－，，）.

因为二面角——的余弦值为，

则＝，解得λ＝.所以（，，），

故＝（，，），＝（，，），＝（，－，），

因此·＝，·＝，

即⊥，⊥，故⊥平面.

即与平面所成角为.

.已知数列{}的首项＝，＋＝－，其中∈*.

（）设＝，求证：

数列{}是等差数列，并求出{}的通项公式；

（）设＝，数列{＋}的前项和为，是否存在正整数，使得<对于∈*恒成立？

若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.

解（）∵＋－＝－

＝－

＝－＝（常数），

∴数列{}是等差数列.

∵＝，∴＝，

因此＝＋（－）×＝，

由＝得＝.

（）由＝，＝得＝，

∴＋＝＝（－），

∴＝（－＋－＋－＋…＋－）

＝（＋－－）<，

依题意要使<对于∈*恒成立，

只需≥，即≥，解得≥或≤－，

又为正整数，∴的最小值为.

年月初，南京查获了一批问题牛肉，滁州市食药监局经民众举报获知某地个储存牛肉的冷库有个冷库牛肉被病毒感染，需要通过对库存牛肉抽样化验病毒来确定感染牛肉，以免民众食用有损身体健康.下面是两种化验方案：

方案甲：

逐个化验样品，直到能确定感染冷库为止.

方案乙：

将样品分为两组，每组个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒，则表明感染牛肉在这个样品当中，然后逐个化验，直到确定感染冷库为止；若结果不含病毒，则在另外一组样品中逐个进行化验.

（）求依据方案乙所需化验恰好为次的概率；

（）首次化验化验费元，第二次化验化验费元，第三次及其以后每次化验费都是元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？

（）试比较两种方案，估计哪种方案有利于尽快查找到感染冷库，并说明理由.

解（）方案乙所需化验次数恰好为次的事件有两种情况：

第一种，先化验一组，结果不含病毒，再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为×＝.

第二种，先化验一组，结果含有病毒，再从中逐个化验，恰第个样品含有病毒的概率为×＝.

所以依据方案乙所需化验恰好为次的概率为＋＝.

（）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为，，，，，对应的化验费用为η元，

则（ξ＝）＝（η＝）＝，

（ξ＝）＝（η＝）＝×＝，

（ξ＝）＝（η＝）＝××＝，

（ξ＝）＝（η＝）＝×××＝，

（ξ＝）＝（η＝）＝×××＝.

故其化验费用η的分布列为

η

所以（η）＝×＋×＋×＋×＋×＝（元）.

所以甲方案平均需要化验费元.

（）由（）知方案甲平均化验次数为

（ξ）＝×＋×＋×＋×＋×＝.

设方案乙化验的次数为δ，则δ可能的取值为，，

所以（δ＝）＝，（δ＝）＝－（δ＝）＝，

所以（δ）＝×＋×＝.

则（ξ）>（δ），

所以方案乙化验次数的期望值较小，可以尽快查找到感染冷库.

.已知椭圆＋＝（>>）的左，右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为的正方形.

（）求椭圆方程；

（）若，分别是椭圆长轴的左，右端点，动点满足⊥，连接，交椭圆于点，证明：

·为定值；

（）在（）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线，的交点？

若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

（）解∵＝，＝，＝＋，∴＝，

∴椭圆方程为＋＝.

（）证明（－，），（，），

设（，），（，），

则＝（，），＝（，），

直线：

＝，

即＝＋，

代入椭圆＋＝得，

（＋）＋＋－＝.

∵·（－）＝，

∴＝－，

∴＝，

∴＝（－，），

∴·＝－＋＝＝（定值）.

（）解设存在（，）满足条件，则⊥，

＝（－，－），＝（－，），

则由·＝，

得－（－）－＝.

从而得＝，

∴存在（，）满足条件.

.已知函数（）＝（是自然对数的底数），（）＝－－.

（）求曲线＝（）在点（，（））处的切线方程；

（）求（）的最大值；

（）设（）＝′（），其中′（）为（）的导函数.

证明：

对任意>，（）<＋－.

（）解由（）＝，得（）＝，

′（）＝，

所以＝′（）＝，

所以曲线＝（）在点（，（））处的切线方程为＝.

（）解因为（）＝－－（＞）.

所以′（）＝－－.令′（）＝得，＝－.

因此当∈（，－）时，′（）>，（）单调递增；

当∈（－，＋∞）时，′（）<，（）单调递减.

所以（）在＝－处取得极大值，也是最大值.

（）的最大值为（－）＝＋－.

（）证明因为（）＝′（），

所以（）＝（>），

（）<＋－等价于－－<（＋－）.

由（）知（）的最大值为（－）＝＋－，

故－－≤＋－.

只需证明>时，>成立，这显然成立.

所以－－≤＋－<（＋－），

因此对任意>，（）<＋－.

学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷

一、选择题：

本大题共小题，每小题分，满分分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

．已知集合{，，}，{}，若∪{，，，}，则的值为（　　）

．．．．

．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（　　）

．球．圆柱．圆台．圆锥

．在区间[，]内任取一个实数，则此数大于的概率为（　　）

．．．．

．某程序框图如图所示，若输入的值为，则输出的值是（　　）

．．．．

．已知向量（，），（，），若∥，则实数的值为（　　）

．．．﹣．﹣

．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为，，．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（　　）

．，，．，，．，，．，，

．如图，在正方体﹣中，直线与的位置关系是（　　）

．平行．相交．异面但不垂直．异面且垂直

．不等式（）（﹣）≤的解集为（　　）

．{﹣≤≤}．{﹣＜＜}．{≥或≤﹣}．{＞或＜﹣}

．已知两点（，），（，），则以线段为直径的圆的方程是（　　）

．（）（）．（﹣）（﹣）．（﹣）（﹣）．（）（）

．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点、到点的距离，且∠°，则、两点间的距离为（　　）

．．．．

二、填空题：

本大题共小题，每小题分，满分分．

．计算：

．

．已知，，成等比数列，则实数．

．已知点（，）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则的最大值是．

．已知是函数（）﹣的零点，则的值为•

．如图，在矩形中，，、分别是、的中点，现在沿把这个矩形折成一个直二面角﹣﹣（如图），则在图中直线与平面所成的角的大小为．

三、解答题：

本大题共小题，满分分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

．已知，＜θ＜π．（）求θ；（）求的值．

．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了位职员的早餐日平均费用（单位：

元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清．

（）试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；

（）已知该公司有名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于元？

．已知等比数列{}的公比，且，，成等差数列．

（）求及；

（）设，求数列{}的前项和．

．已知二次函数（）满足（），（）

（）求函数（）解析式

（）求函数（）在∈[﹣，]的最大值和最小值．

．已知圆：

﹣．

（）求圆的圆心的坐标和半径长；

（）直线经过坐标原点且不与轴重合，与圆相交于（，）、（，）两点，求证：

为定值；

（）斜率为的直线与圆相交于、两点，求直线的方程，使△的面积最大．

学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：

本大题共小题，每小题分，满分分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

．已知集合{，，}，{}，若∪{，，，}，则的值为（　　）

．．．．

【考点】并集及其运算．

【分析】根据及与的并集，求出的值，确定出即可．

【解答】解：

∵集合{，，}，{}，且∪{，，，}，

∴，

故选：

．

．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（　　）

．球．圆柱．圆台．圆锥

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．

【解答】解：

根据三视图可知，该几何体为圆锥．

故选．

．在区间[，]内任取一个实数，则此数大于的概率为（　　）

．．．．

【考点】几何概型．

【分析】由题意，要使此数大于，只要在区间（，]上取即可，利用区间长度的比求．

【解答】解：

要使此数大于，只要在区间（，]上取即可，

由几何概型的个数得到此数大于的概率为为；

故选．

．某程序框图如图所示，若输入的值为，则输出的值是（　　）

．．．．

【考点】程序框图．

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．

【解答】解：

模拟程序框图的运行过程，如下；

输入，

﹣，

输出的值为．

故选：

．

．已知向量（，），（，），若∥，则实数的值为（　　）

．．．﹣．﹣

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．

【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．

【解答】解：

∵∥，

∴﹣，得，

故选：

．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为，，．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（　　）

．，，．，，．，，．，，

【考点】分层抽样方法．

【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．

【解答】解：

∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为，，．

∴从这三个年级中抽取名学生进行座谈，

则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，

高二：

，

高三：

﹣﹣．

故选：

．如图，在正方体﹣中，直线与的位置关系是（　　）

．平行．相交．异面但不垂直．异面且垂直

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】连接，则∥，⊥，即可得出结论．

【解答】解：

∵正方体的对面平行，∴直线与异面，

连接，则∥，⊥，

∴直线与垂直，

∴直线与异面且垂直，

故选：

．

．不等式（）（﹣）≤的解集为（　　）

．{﹣≤≤}．{﹣＜＜}．{≥或≤﹣}．{＞或＜﹣}

【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．

【解答】解：

不等式（）（﹣）≤对应方程的两个实数根为﹣和，

所以该不等式的解集为{﹣≤≤}．

故选：

．

．已知两点（，），（，），则以线段