塑性成形理论课后答案2.docx

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塑性成形理论课后答案2

第一章

1-10．已知一点的应力状态MPa，试求该应力空间中的斜截面上的正应力和切应力为多少？

解：

若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：

，，

因此：

，；

Sx＝σxl＋τxym＋τxzn=

Sy＝τxyl＋σym＋τzyn=

Sz＝τxzl＋τyzm＋σzn=

1-11已知OXYZ坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：

，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。

解：

=100+50-10=140

=100×50+50×（-10）+100×（-10）-402-（-20）2-302

=600

==-192000

σ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5

σm=140/3=46.7

σ8=σm=46.7

1-12设物体内的应力场为，，，，试求系数c1，c2，c3。

解：

由应力平衡方程的：

即：

（1）

（2）

有

（1）可知：

因为x与y为任意实数且为平方，要使

（1）为零，必须使其系数项为零，

因此，-6-3c2=0（3）

3c1-c3=0（4）

联立

（2）、（3）和（4）式得：

即：

c1=1，c2=－2，c3=3

1-13．已知受力物体内一点应力张量为：

求外法线方向余弦为l=m=，n=的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。

解：

Sx＝σxl＋τxym＋τxzn=

Sy＝τxyl＋σym＋τzyn=

Sz＝τxzl＋τyzm＋σzn=

S=111.7

J1=20

J2=16025

J3=-806250

σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根！

σ1=-138.2,σ2=99.6,σ3=58.6

1-14．在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为

a）MPa；b）MPa；c）MPa

1）画出该点的应力单元体；

2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。

解：

a）点的应力单元体如下图

2）

a）MPa该点的应力不变量：

J1=10MPa，J2=200MPa，J3=0MPa，

主应力和主方向：

σ1=20MPa，l=m=0；n=

σ2=-10MPa，l=m=n=0

σ3=0MPa，l=m=0；n=

主剪应力τ12=±15MPa；τ23=±5MPa；τ12=±10MPa

最大剪应力τmax=15MPa

八面体应力σ8=3.3MPa；τ8=12.47MPa。

等效应力MPa

应力偏张量及球张量。

MPa；MPa；

b）点的应力单元体如下图

MPa该点的应力不变量：

J1=10MPa，J2=2500MPa，J3=500MPa，

主应力和主方向：

σ1=10MPa，l=m=n=0

σ2=50MPa，l=m=n=0；

σ3=-50MPa，l=m=n=0。

主剪应力τ12=±20MPa；τ23=±50MPa；τ12=±30MPa

最大剪应力τmax=30MPa

八面体应力σ8=3.3MPa；τ8=41.1MPa。

等效应力MPa

应力偏张量及球张量。

MPa；MPa；

c）点的应力单元体如下图

MPa该点的应力不变量：

J1=-18MPa，J2=33MPa，J3=230MPa，

主应力和主方向：

σ1=10MPa，l=m=n=0

σ2=50MPa，l=m=n=0；

σ3=-50MPa，l=m=n=0。

主剪应力τ12=±20MPa；τ23=±50MPa；τ12=±30MPa

最大剪应力τmax=30MPa

八面体应力σ8=-6MPa；τ8=9.7MPa。

等效应力=20.6MPa

应力偏张量及球张量。

；

1-19．平板在x方向均匀拉伸（图1-23），在板上每一点=常数，试问为多大时，等效应力为最小？

并求其最小值。

图1-23（题19）

解：

等效应力：

令，要使等效应力最小，必须使y值最小，两边微分得：

等效应力最小值：

1-20．在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上，其正应力为σ（σ＜0），切应力为τ，且为最大切应力K，如图1-24所示。

试画出该点的应力莫尔圆，并求出在y方向上的正应力σy及切应力τxy，且将σy﹑τyz及σx、τxy所在平面标注在应力莫尔圆上。

图1-24（题20）

解：

由题意得知塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上的切应力为为最大切应力K，因此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图1-25所示。

图1-25

第二章

2-9．设，其中a、b为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？

解：

对求y的2次偏导，即：

（1）

对求x的2次偏导，即：

（2）

对求x和y的偏导，即：

（3）

带

（1）、

（2）和（3）入变形协调方程（4），得：

（4）

即：

时上述应变场成立。

2-10试判断下列应变场是否存在？

（1），，，，，

（2），，，，

（1）解：

对、和分别求x、y或z的2次偏导，对、和分别求x、y和z的2次偏导，则：

；（a）

；（b）

，；（c）

，；（d）

将（a）、（b）、（c）和（d）代入变形协调方程（e）：

（e）

则（e）第一式不等，即：

这说明应变场不存在。

（2）对、和分别求x、y或z的2次偏导，对和分别求x、y和z的2次偏导，

；（a）

；（b）

，；（c）

，；（d）

则：

，说明应变场不存在。

2-11．设物体中任一点的位移分量为

求点A（0.5，－1，0）的应变分量、应变球张量，主应变，八面体应变、等效应变。

解：

将点A的x=0.5，y=－1，z=0代入上式，得点A的应变分量

对于点A：

即：

2-12．物体中一点应变状态为：

，，，，，，试求主应变。

解：

由题可知：

即：

解方程得主应变：

2-13．已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为，，试求该点的应变分量，并求出主应变的大小与方向。

解：

即：

解方程得主应变：

由：

得：

解这个方程得：

m1=0.5575,m2=5.16。

由于m2=5.16＞1，与方向余弦规定不符，因此，m1=0.5575才是正确解。

由此得：

l=0.689。

即ε1=-0.039时，方向余弦为：

l=0.689，m=0.5575，n=0。

同理可求：

ε2=0.029时，方向余弦为：

l=0.8025，m=0.5966，n=0。

第三章

3-6．某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为σx=75，σy=15，σz=0，τxy=15（应力单位为MPa），若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？

解：

由由密席斯屈服准则：

得该材料的屈服应力为：

3-7．试证明密席斯屈服准则可用主应力偏量表达为：

证明：

由密席斯屈服准则：

即：

（1）

而：

（2）

所以：

（1）式与

（2）式相等。

3-8．试分别用密席斯和屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态是否存在？

如存在，应力处于弹性还是塑性状态？

（材料为理想塑性材料）

a），b），

c），d），e），f）

解：

a）由屈雷斯加屈服准则：

σ1-σ3=σs得：

σs-0=σs，存在。

应力处于塑性状态。

由密席斯屈服准则。

存在。

应力处于塑性状态。

b）由屈雷斯加屈服准则：

σ1-σ3=σs得：

-4σs+5σs=σs，存在。

应力处于塑性状态。

由密席斯屈服准则

存在。

应力处于塑性状态。

c）由屈雷斯加屈服准则：

σ1-σ3=σs得：

1.2σs-0=1.2σs＞σs，不存在。

由密席斯屈服准则

不存在。

d）由屈雷斯加屈服准则：

σ1-σ3=σs得：

0.5σs+0.6σs=1.1σs＞σs，不存在。

由密席斯屈服准则

存在。

应力处于弹性状态。

e）由屈雷斯加屈服准则：

σ1-σ3=σs得：

-0.5σs+1.5σs=σs=σs，存在，应力处于塑性状态。

由密席斯屈服准则

存在。

应力处于弹性状态。

f）由屈雷斯加屈服准则：

τmax=（σ1-σ3）/2=σs/2得：

τmax=0.45σs＜σs，存在，应力处于弹性状态。

由密席斯屈服准则

存在。

应力处于弹性状态。

3-9已知开始塑性变形时点的应力状态为，

试求：

（1）主应力大小；

（2）作为平面应力问题处理时的最大切应力和单轴向屈服应力；

（3）作为空间应力状态处理时按屈雷斯加和米塞斯准则计算的单轴向屈服应力。

解：

由于点的应力状态为平面应力状态，由得主应力σ1和σ2：

主应力为：

σ1=78.54，σ2=11.46，σ3=0

最大切应力：

τmax=33.54

单轴向屈服应力为：

作为空间应力状态处理时按屈雷斯加准则计算：

单轴向屈服应力：

σs=σ1－σ3=78.54；

作为空间应力状态处理时按米塞斯准则计算的单轴向屈服应力：

σs=73.48

第四章

4-5．有一金属块，在x方向作用有150MPa的压应力。

在Y方向作用有150MPa的压应力，z方向作用有200MPa的压应力。

试求金属块的单位体积变化率（设E=207×103MPa，ν=0.3）。

解：

各方向应力为：

σx=σy=-150MPa，σz=-200MPa，则球应力为：

σm=-166.7MPa

单位体积变化率为：

即：

εm=-3.22×10-4

4-6．已知一点的应力状态如图4-16所示，试写出其应力偏量并画出主应变简图。

图4-16（题15）

解：

设σ1＞σ2＞σ3，则：

平均应力：

应力偏量为：

由列维—米赛斯增量理论得：

主应变简图如图示：

4-7．两端封闭的细长薄壁管平均直径为r，平均壁厚为l，承受内压力p而产生塑性变形，设管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。

解：

4-8．求出下列两种情况下塑性应变增量的比：

①单向应力状态：

②纯剪力应力状态：

①解：

设σ1＞σ2＞σ3，则：

，因此，应力偏量为：

由列维—米赛斯增量理论得：

塑性应变增量的比为：

②解：

已知纯剪力应力状态：

应力张量为：

由列维—米赛斯增量理论得：

塑性应变增量的比为：

第六章

1.20#钢圆柱毛坯，原始尺寸为Ф50×50mm，室温下压缩至高度h=25mm，设接触表面摩擦切应力τ=0.2Y，已知Y=746ε0.20MPa，试求所需变形力P和单位流动压力p。

解：

圆柱压缩时体积不变，则当h=25mm时，

mm。

τ=0.2Y=0.2×746ε0.20=129.9MPa

当τ=τmax，

τmax=K=129.9MPa

由于圆柱压缩是轴对称问题，宜采用柱座标。

由题意得圆柱界面上的摩擦为τ=0.2Y，Y=746ε0.20MPa，设三个坐标方向的正应力σr、σφ和σz视为主应力，且与对称轴z无关。

某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平衡方程为：

令sin（dφ/2）≈dφ/2，并忽略二次微分项，则得

由于轴对称条件，σr=σφ。

此时平衡方程简化为

1-1

根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为

或

代入式（1-1），得

因